Theorem xrlelttrd 13174

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13170	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273

This theorem is referenced by:  xlt2add  13274  ixxub  13381  elioc2  13424  elicc2  13426  limsupgre  15495  xrsdsreclblem  21378  mnfnei  23157  blgt0  24336  xblss2ps  24338  xblss2  24339  metustexhalf  24493  tgioo  24733  blcvx  24735  xrge0tsms  24772  metdcnlem  24774  metdscnlem  24793  ioombl  25516  uniioombllem1  25532  dvferm2lem  25940  dvlip2  25950  ftc1a  25994  coe1mul3  26054  ply1remlem  26120  idomrootle  26128  pserulm  26381  isblo3i  30728  xrge0infss  32683  iocinioc2  32702  xrge0tsmsd  33002  deg1addlt  33555  q1pvsca  33559  ply1degltdimlem  33608  ply1degltdim  33609  rtelextdg2lem  33706  sibfinima  34317  heicant  37625  itg2gt0cn  37645  ftc1anclem7  37669  ftc1anc  37671  dvrelog3  42024  aks6d1c5lem3  42096  aks6d1c6lem1  42129  aks6d1c6lem3  42131  supxrgelem  45312  supxrge  45313  xralrple2  45329  infxr  45342  infleinflem2  45346  xrralrecnnle  45358  unb2ltle  45390  eliocre  45486  iocopn  45497  ge0lere  45509  iccdificc  45516  limsupre  45618  limsuppnflem  45687  limsupre3lem  45709  limsupub2  45789  xlimmnfv  45811  fourierdlem27  46111  sge0isum  46404  meassre  46454  meaiuninclem  46457  omessre  46487  omeiunltfirp  46496  sge0hsphoire  46566  hoidmv1lelem1  46568  hoidmv1lelem2  46569  hoidmv1lelem3  46570  hoidmvlelem1  46572  hoidmvlelem4  46575  pimiooltgt  46687  pimincfltioc  46693  preimaleiinlt  46698  fsupdm  46819