Theorem xrlelttrd 13144

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13140	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 696	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ℝ^*cxr 11252   < clt 11253   ≤ cle 11254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259

This theorem is referenced by:  xlt2add  13244  ixxub  13350  elioc2  13392  elicc2  13394  limsupgre  15430  xrsdsreclblem  21192  mnfnei  22946  blgt0  24126  xblss2ps  24128  xblss2  24129  metustexhalf  24286  tgioo  24533  blcvx  24535  xrge0tsms  24571  metdcnlem  24573  metdscnlem  24592  ioombl  25315  uniioombllem1  25331  dvferm2lem  25739  dvlip2  25748  ftc1a  25790  coe1mul3  25853  ply1remlem  25916  pserulm  26171  isblo3i  30322  xrge0infss  32241  iocinioc2  32258  xrge0tsmsd  32480  deg1addlt  32946  q1pvsca  32950  ply1degltdimlem  32996  ply1degltdim  32997  sibfinima  33637  heicant  36827  itg2gt0cn  36847  ftc1anclem7  36871  ftc1anc  36873  dvrelog3  41237  idomrootle  42240  supxrgelem  44346  supxrge  44347  xralrple2  44363  infxr  44376  infleinflem2  44380  xrralrecnnle  44392  unb2ltle  44424  eliocre  44521  iocopn  44532  ge0lere  44544  iccdificc  44551  limsupre  44656  limsuppnflem  44725  limsupre3lem  44747  limsupub2  44827  xlimmnfv  44849  fourierdlem27  45149  sge0isum  45442  meassre  45492  meaiuninclem  45495  omessre  45525  omeiunltfirp  45534  sge0hsphoire  45604  hoidmv1lelem1  45606  hoidmv1lelem2  45607  hoidmv1lelem3  45608  hoidmvlelem1  45610  hoidmvlelem4  45613  pimiooltgt  45725  pimincfltioc  45731  preimaleiinlt  45736  fsupdm  45857