Theorem xrlelttrd 13181

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13177	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   ≤ cle 11240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245

This theorem is referenced by:  xlt2add  13282  ixxub  13389  elioc2  13432  elicc2  13434  limsupgre  15528  xrsdsreclblem  21528  mnfnei  23343  blgt0  24521  xblss2ps  24523  xblss2  24524  metustexhalf  24678  tgioo  24918  blcvx  24920  xrge0tsms  24957  metdcnlem  24959  metdscnlem  24978  ioombl  25689  uniioombllem1  25705  dvferm2lem  26110  dvlip2  26119  ftc1a  26161  coe1mul3  26221  ply1remlem  26287  idomrootle  26295  pserulm  26547  isblo3i  31090  xrge0infss  33042  iocinioc2  33061  xrge0tsmsd  33330  deg1addlt  33831  q1pvsca  33835  vietadeg1  33909  ply1degltdimlem  33953  ply1degltdim  33954  rtelextdg2lem  34057  sibfinima  34670  heicant  38189  itg2gt0cn  38209  ftc1anclem7  38233  ftc1anc  38235  dvrelog3  42717  aks6d1c5lem3  42789  aks6d1c6lem1  42822  aks6d1c6lem3  42824  supxrgelem  45938  supxrge  45939  xralrple2  45955  infxr  45967  infleinflem2  45971  xrralrecnnle  45983  unb2ltle  46014  eliocre  46110  iocopn  46121  ge0lere  46133  iccdificc  46140  limsupre  46240  limsuppnflem  46309  limsupre3lem  46331  limsupub2  46411  xlimmnfv  46433  fourierdlem27  46733  sge0isum  47026  meassre  47076  meaiuninclem  47079  omessre  47109  omeiunltfirp  47118  sge0hsphoire  47188  hoidmv1lelem1  47190  hoidmv1lelem2  47191  hoidmv1lelem3  47192  hoidmvlelem1  47194  hoidmvlelem4  47197  pimiooltgt  47309  pimincfltioc  47315  preimaleiinlt  47320  fsupdm  47441