Theorem xrlelttrd 12240

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 12236	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1491	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 691	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  ℝ^*cxr 10362   < clt 10363   ≤ cle 10364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-po 5233  df-so 5234  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369

This theorem is referenced by:  xlt2add  12339  ixxub  12445  elioc2  12485  elicc2  12487  limsupgre  14553  xrsdsreclblem  20114  mnfnei  21354  blgt0  22532  xblss2ps  22534  xblss2  22535  metustexhalf  22689  tgioo  22927  blcvx  22929  xrge0tsms  22965  metdcnlem  22967  metdscnlem  22986  ioombl  23673  uniioombllem1  23689  dvferm2lem  24090  dvlip2  24099  ftc1a  24141  coe1mul3  24200  ply1remlem  24263  pserulm  24517  isblo3i  28181  xrge0infss  30043  iocinioc2  30059  xrge0tsmsd  30301  sibfinima  30917  heicant  33933  itg2gt0cn  33953  ftc1anclem7  33979  ftc1anc  33981  idomrootle  38554  supxrgelem  40293  supxrge  40294  xralrple2  40310  infxr  40323  infleinflem2  40327  xrralrecnnle  40342  unb2ltle  40381  eliocre  40476  iocopn  40487  ge0lere  40499  iccdificc  40506  limsupre  40613  limsuppnflem  40682  limsupre3lem  40704  xlimmnfv  40800  fourierdlem27  41090  sge0isum  41383  meassre  41433  meaiuninclem  41436  omessre  41466  omeiunltfirp  41475  sge0hsphoire  41545  hoidmv1lelem1  41547  hoidmv1lelem2  41548  hoidmv1lelem3  41549  hoidmvlelem1  41551  hoidmvlelem4  41554  pimiooltgt  41663  pimincfltioc  41668  preimaleiinlt  41673