Theorem xrlelttrd 13329

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13325	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1399	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388

This theorem is used by:  xlt2add  13430  ixxub  13537  elioc2  13580  elicc2  13582  limsupgre  15692  xrsdsreclblem  21771  mnfnei  23594  blgt0  24773  xblss2ps  24775  xblss2  24776  metustexhalf  24930  tgioo  25170  blcvx  25172  xrge0tsms  25209  metdcnlem  25211  metdscnlem  25230  ioombl  25941  uniioombllem1  25957  dvferm2lem  26361  dvlip2  26370  ftc1a  26412  coe1mul3  26472  ply1remlem  26538  idomrootle  26546  pserulm  26806  isblo3i  31460  xrge0infss  33448  iocinioc2  33467  xrge0tsmsd  33733  deg1addlt  34235  evls1degle1  34239  q1pvsca  34241  rngunsnply1chr2lem1  34250  vietadeg1  34321  ply1degltdimlem  34365  ply1degltdim  34366  rtelextdg2lem  34469  sibfinima  35082  heicant  38841  itg2gt0cn  38861  ftc1anclem7  38885  ftc1anc  38887  dvrelog3  43381  aks6d1c5lem3  43453  aks6d1c6lem1  43486  aks6d1c6lem3  43488  supxrgelem  46622  supxrge  46623  xralrple2  46639  infxr  46651  infleinflem2  46655  xrralrecnnle  46667  unb2ltle  46698  eliocre  46794  iocopn  46805  ge0lere  46817  iccdificc  46824  limsupre  46924  limsuppnflem  46993  limsupre3lem  47015  limsupub2  47095  xlimmnfv  47117  fourierdlem27  47417  sge0isum  47710  meassre  47760  meaiuninclem  47763  omessre  47793  omeiunltfirp  47802  sge0hsphoire  47872  hoidmv1lelem1  47874  hoidmv1lelem2  47875  hoidmv1lelem3  47876  hoidmvlelem1  47878  hoidmvlelem4  47881  pimiooltgt  47993  pimincfltioc  47999  preimaleiinlt  48004  fsupdm  48125