Theorem xrlelttrd 13096

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13092	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190

This theorem is referenced by:  xlt2add  13196  ixxub  13303  elioc2  13346  elicc2  13348  limsupgre  15423  xrsdsreclblem  21305  mnfnei  23084  blgt0  24263  xblss2ps  24265  xblss2  24266  metustexhalf  24420  tgioo  24660  blcvx  24662  xrge0tsms  24699  metdcnlem  24701  metdscnlem  24720  ioombl  25442  uniioombllem1  25458  dvferm2lem  25866  dvlip2  25876  ftc1a  25920  coe1mul3  25980  ply1remlem  26046  idomrootle  26054  pserulm  26307  isblo3i  30703  xrge0infss  32656  iocinioc2  32675  xrge0tsmsd  32975  deg1addlt  33538  q1pvsca  33542  ply1degltdimlem  33591  ply1degltdim  33592  rtelextdg2lem  33689  sibfinima  34303  heicant  37622  itg2gt0cn  37642  ftc1anclem7  37666  ftc1anc  37668  dvrelog3  42026  aks6d1c5lem3  42098  aks6d1c6lem1  42131  aks6d1c6lem3  42133  supxrgelem  45306  supxrge  45307  xralrple2  45323  infxr  45336  infleinflem2  45340  xrralrecnnle  45352  unb2ltle  45384  eliocre  45480  iocopn  45491  ge0lere  45503  iccdificc  45510  limsupre  45612  limsuppnflem  45681  limsupre3lem  45703  limsupub2  45783  xlimmnfv  45805  fourierdlem27  46105  sge0isum  46398  meassre  46448  meaiuninclem  46451  omessre  46481  omeiunltfirp  46490  sge0hsphoire  46560  hoidmv1lelem1  46562  hoidmv1lelem2  46563  hoidmv1lelem3  46564  hoidmvlelem1  46566  hoidmvlelem4  46569  pimiooltgt  46681  pimincfltioc  46687  preimaleiinlt  46692  fsupdm  46813