Theorem xrlelttrd 12648

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 12644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5040  ℝ^*cxr 10764   < clt 10765   ≤ cle 10766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771

This theorem is referenced by:  xlt2add  12748  ixxub  12854  elioc2  12896  elicc2  12898  limsupgre  14940  xrsdsreclblem  20275  mnfnei  21984  blgt0  23164  xblss2ps  23166  xblss2  23167  metustexhalf  23321  tgioo  23560  blcvx  23562  xrge0tsms  23598  metdcnlem  23600  metdscnlem  23619  ioombl  24329  uniioombllem1  24345  dvferm2lem  24750  dvlip2  24759  ftc1a  24801  coe1mul3  24864  ply1remlem  24927  pserulm  25181  isblo3i  28748  xrge0infss  30670  iocinioc2  30687  xrge0tsmsd  30906  sibfinima  31888  heicant  35467  itg2gt0cn  35487  ftc1anclem7  35511  ftc1anc  35513  dvrelog3  39724  idomrootle  40632  supxrgelem  42454  supxrge  42455  xralrple2  42471  infxr  42484  infleinflem2  42488  xrralrecnnle  42500  unb2ltle  42533  eliocre  42627  iocopn  42638  ge0lere  42650  iccdificc  42657  limsupre  42764  limsuppnflem  42833  limsupre3lem  42855  limsupub2  42935  xlimmnfv  42957  fourierdlem27  43257  sge0isum  43547  meassre  43597  meaiuninclem  43600  omessre  43630  omeiunltfirp  43639  sge0hsphoire  43709  hoidmv1lelem1  43711  hoidmv1lelem2  43712  hoidmv1lelem3  43713  hoidmvlelem1  43715  hoidmvlelem4  43718  pimiooltgt  43827  pimincfltioc  43832  preimaleiinlt  43837