Theorem xrlelttrd 13186

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13182	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 711	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11243   < clt 11244   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  xlt2add  13287  ixxub  13394  elioc2  13437  elicc2  13439  limsupgre  15534  xrsdsreclblem  21544  mnfnei  23359  blgt0  24537  xblss2ps  24539  xblss2  24540  metustexhalf  24694  tgioo  24934  blcvx  24936  xrge0tsms  24973  metdcnlem  24975  metdscnlem  24994  ioombl  25705  uniioombllem1  25721  dvferm2lem  26126  dvlip2  26135  ftc1a  26177  coe1mul3  26237  ply1remlem  26303  idomrootle  26311  pserulm  26566  isblo3i  31134  xrge0infss  33086  iocinioc2  33105  xrge0tsmsd  33374  deg1addlt  33871  q1pvsca  33875  vietadeg1  33949  ply1degltdimlem  33993  ply1degltdim  33994  rtelextdg2lem  34097  sibfinima  34710  heicant  38287  itg2gt0cn  38307  ftc1anclem7  38331  ftc1anc  38333  dvrelog3  42813  aks6d1c5lem3  42885  aks6d1c6lem1  42918  aks6d1c6lem3  42920  supxrgelem  46036  supxrge  46037  xralrple2  46053  infxr  46065  infleinflem2  46069  xrralrecnnle  46081  unb2ltle  46112  eliocre  46208  iocopn  46219  ge0lere  46231  iccdificc  46238  limsupre  46338  limsuppnflem  46407  limsupre3lem  46429  limsupub2  46509  xlimmnfv  46531  fourierdlem27  46831  sge0isum  47124  meassre  47174  meaiuninclem  47177  omessre  47207  omeiunltfirp  47216  sge0hsphoire  47286  hoidmv1lelem1  47288  hoidmv1lelem2  47289  hoidmv1lelem3  47290  hoidmvlelem1  47292  hoidmvlelem4  47295  pimiooltgt  47407  pimincfltioc  47413  preimaleiinlt  47418  fsupdm  47539