Theorem xrlelttrd 13065

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13061	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ℝ^*cxr 11156   < clt 11157   ≤ cle 11158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-po 5529  df-so 5530  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163

This theorem is referenced by:  xlt2add  13166  ixxub  13273  elioc2  13316  elicc2  13318  limsupgre  15395  xrsdsreclblem  21358  mnfnei  23156  blgt0  24334  xblss2ps  24336  xblss2  24337  metustexhalf  24491  tgioo  24731  blcvx  24733  xrge0tsms  24770  metdcnlem  24772  metdscnlem  24791  ioombl  25513  uniioombllem1  25529  dvferm2lem  25937  dvlip2  25947  ftc1a  25991  coe1mul3  26051  ply1remlem  26117  idomrootle  26125  pserulm  26378  isblo3i  30802  xrge0infss  32768  iocinioc2  32787  xrge0tsmsd  33083  deg1addlt  33609  q1pvsca  33613  vietadeg1  33662  ply1degltdimlem  33707  ply1degltdim  33708  rtelextdg2lem  33811  sibfinima  34424  heicant  37768  itg2gt0cn  37788  ftc1anclem7  37812  ftc1anc  37814  dvrelog3  42231  aks6d1c5lem3  42303  aks6d1c6lem1  42336  aks6d1c6lem3  42338  supxrgelem  45498  supxrge  45499  xralrple2  45515  infxr  45527  infleinflem2  45531  xrralrecnnle  45543  unb2ltle  45575  eliocre  45671  iocopn  45682  ge0lere  45694  iccdificc  45701  limsupre  45801  limsuppnflem  45870  limsupre3lem  45892  limsupub2  45972  xlimmnfv  45994  fourierdlem27  46294  sge0isum  46587  meassre  46637  meaiuninclem  46640  omessre  46670  omeiunltfirp  46679  sge0hsphoire  46749  hoidmv1lelem1  46751  hoidmv1lelem2  46752  hoidmv1lelem3  46753  hoidmvlelem1  46755  hoidmvlelem4  46758  pimiooltgt  46870  pimincfltioc  46876  preimaleiinlt  46881  fsupdm  47002