MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlelttrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrlelttrd 12556
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xrlttrd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4 (𝜑𝐴𝐵)
xrlelttrd.5 (𝜑𝐵 < 𝐶)
Assertion
Ref Expression
xrlelttrd (𝜑𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd
StepHypRef Expression
1 xrlelttrd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 xrlelttrd.5 . 2 (𝜑𝐵 < 𝐶)
3 xrlttrd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
4 xrlttrd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 xrlttrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
6 xrlelttr 12552 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
81, 2, 7mp2and 697 1 (𝜑𝐴 < 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  wcel 2113   class class class wbr 5069  *cxr 10677   < clt 10678  cle 10679
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684
This theorem is referenced by:  xlt2add  12656  ixxub  12762  elioc2  12802  elicc2  12804  limsupgre  14841  xrsdsreclblem  20594  mnfnei  21832  blgt0  23012  xblss2ps  23014  xblss2  23015  metustexhalf  23169  tgioo  23407  blcvx  23409  xrge0tsms  23445  metdcnlem  23447  metdscnlem  23466  ioombl  24169  uniioombllem1  24185  dvferm2lem  24586  dvlip2  24595  ftc1a  24637  coe1mul3  24696  ply1remlem  24759  pserulm  25013  isblo3i  28581  xrge0infss  30487  iocinioc2  30505  xrge0tsmsd  30696  sibfinima  31601  heicant  34931  itg2gt0cn  34951  ftc1anclem7  34977  ftc1anc  34979  idomrootle  39801  supxrgelem  41611  supxrge  41612  xralrple2  41628  infxr  41641  infleinflem2  41645  xrralrecnnle  41659  unb2ltle  41695  eliocre  41791  iocopn  41802  ge0lere  41814  iccdificc  41821  limsupre  41928  limsuppnflem  41997  limsupre3lem  42019  limsupub2  42099  xlimmnfv  42121  fourierdlem27  42426  sge0isum  42716  meassre  42766  meaiuninclem  42769  omessre  42799  omeiunltfirp  42808  sge0hsphoire  42878  hoidmv1lelem1  42880  hoidmv1lelem2  42881  hoidmv1lelem3  42882  hoidmvlelem1  42884  hoidmvlelem4  42887  pimiooltgt  42996  pimincfltioc  43001  preimaleiinlt  43006
  Copyright terms: Public domain W3C validator