Theorem xrlelttrd 13282

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13278	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342

This theorem is used by:  xlt2add  13383  ixxub  13490  elioc2  13533  elicc2  13535  limsupgre  15641  xrsdsreclblem  21712  mnfnei  23532  blgt0  24711  xblss2ps  24713  xblss2  24714  metustexhalf  24868  tgioo  25108  blcvx  25110  xrge0tsms  25147  metdcnlem  25149  metdscnlem  25168  ioombl  25879  uniioombllem1  25895  dvferm2lem  26299  dvlip2  26308  ftc1a  26350  coe1mul3  26410  ply1remlem  26476  idomrootle  26484  pserulm  26742  isblo3i  31396  xrge0infss  33345  iocinioc2  33364  xrge0tsmsd  33627  deg1addlt  34125  q1pvsca  34129  vietadeg1  34203  ply1degltdimlem  34247  ply1degltdim  34248  rtelextdg2lem  34351  sibfinima  34964  heicant  38553  itg2gt0cn  38573  ftc1anclem7  38597  ftc1anc  38599  dvrelog3  43095  aks6d1c5lem3  43167  aks6d1c6lem1  43200  aks6d1c6lem3  43202  supxrgelem  46318  supxrge  46319  xralrple2  46335  infxr  46347  infleinflem2  46351  xrralrecnnle  46363  unb2ltle  46394  eliocre  46490  iocopn  46501  ge0lere  46513  iccdificc  46520  limsupre  46620  limsuppnflem  46689  limsupre3lem  46711  limsupub2  46791  xlimmnfv  46813  fourierdlem27  47113  sge0isum  47406  meassre  47456  meaiuninclem  47459  omessre  47489  omeiunltfirp  47498  sge0hsphoire  47568  hoidmv1lelem1  47570  hoidmv1lelem2  47571  hoidmv1lelem3  47572  hoidmvlelem1  47574  hoidmvlelem4  47577  pimiooltgt  47689  pimincfltioc  47695  preimaleiinlt  47700  fsupdm  47821