Theorem xrlelttrd 13146

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13142	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 696	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ℝ^*cxr 11254   < clt 11255   ≤ cle 11256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261

This theorem is referenced by:  xlt2add  13246  ixxub  13352  elioc2  13394  elicc2  13396  limsupgre  15432  xrsdsreclblem  21195  mnfnei  22958  blgt0  24138  xblss2ps  24140  xblss2  24141  metustexhalf  24298  tgioo  24545  blcvx  24547  xrge0tsms  24583  metdcnlem  24585  metdscnlem  24604  ioombl  25327  uniioombllem1  25343  dvferm2lem  25751  dvlip2  25761  ftc1a  25803  coe1mul3  25866  ply1remlem  25929  pserulm  26184  isblo3i  30336  xrge0infss  32255  iocinioc2  32272  xrge0tsmsd  32494  deg1addlt  32960  q1pvsca  32964  ply1degltdimlem  33010  ply1degltdim  33011  sibfinima  33651  heicant  36839  itg2gt0cn  36859  ftc1anclem7  36883  ftc1anc  36885  dvrelog3  41249  idomrootle  42252  supxrgelem  44358  supxrge  44359  xralrple2  44375  infxr  44388  infleinflem2  44392  xrralrecnnle  44404  unb2ltle  44436  eliocre  44533  iocopn  44544  ge0lere  44556  iccdificc  44563  limsupre  44668  limsuppnflem  44737  limsupre3lem  44759  limsupub2  44839  xlimmnfv  44861  fourierdlem27  45161  sge0isum  45454  meassre  45504  meaiuninclem  45507  omessre  45537  omeiunltfirp  45546  sge0hsphoire  45616  hoidmv1lelem1  45618  hoidmv1lelem2  45619  hoidmv1lelem3  45620  hoidmvlelem1  45622  hoidmvlelem4  45625  pimiooltgt  45737  pimincfltioc  45743  preimaleiinlt  45748  fsupdm  45869