Theorem xrlelttrd 13202

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13198	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  xlt2add  13302  ixxub  13408  elioc2  13450  elicc2  13452  limsupgre  15517  xrsdsreclblem  21430  mnfnei  23229  blgt0  24409  xblss2ps  24411  xblss2  24412  metustexhalf  24569  tgioo  24817  blcvx  24819  xrge0tsms  24856  metdcnlem  24858  metdscnlem  24877  ioombl  25600  uniioombllem1  25616  dvferm2lem  26024  dvlip2  26034  ftc1a  26078  coe1mul3  26138  ply1remlem  26204  idomrootle  26212  pserulm  26465  isblo3i  30820  xrge0infss  32764  iocinioc2  32781  xrge0tsmsd  33065  deg1addlt  33620  q1pvsca  33624  ply1degltdimlem  33673  ply1degltdim  33674  rtelextdg2lem  33767  sibfinima  34341  heicant  37662  itg2gt0cn  37682  ftc1anclem7  37706  ftc1anc  37708  dvrelog3  42066  aks6d1c5lem3  42138  aks6d1c6lem1  42171  aks6d1c6lem3  42173  supxrgelem  45348  supxrge  45349  xralrple2  45365  infxr  45378  infleinflem2  45382  xrralrecnnle  45394  unb2ltle  45426  eliocre  45522  iocopn  45533  ge0lere  45545  iccdificc  45552  limsupre  45656  limsuppnflem  45725  limsupre3lem  45747  limsupub2  45827  xlimmnfv  45849  fourierdlem27  46149  sge0isum  46442  meassre  46492  meaiuninclem  46495  omessre  46525  omeiunltfirp  46534  sge0hsphoire  46604  hoidmv1lelem1  46606  hoidmv1lelem2  46607  hoidmv1lelem3  46608  hoidmvlelem1  46610  hoidmvlelem4  46613  pimiooltgt  46725  pimincfltioc  46731  preimaleiinlt  46736  fsupdm  46857