Theorem xrlelttrd 13197

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13193	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝ^*cxr 11253   < clt 11254   ≤ cle 11255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260

This theorem is used by:  xlt2add  13298  ixxub  13405  elioc2  13448  elicc2  13450  limsupgre  15552  xrsdsreclblem  21593  mnfnei  23408  blgt0  24587  xblss2ps  24589  xblss2  24590  metustexhalf  24744  tgioo  24984  blcvx  24986  xrge0tsms  25023  metdcnlem  25025  metdscnlem  25044  ioombl  25755  uniioombllem1  25771  dvferm2lem  26176  dvlip2  26185  ftc1a  26227  coe1mul3  26287  ply1remlem  26353  idomrootle  26361  pserulm  26616  isblo3i  31200  xrge0infss  33151  iocinioc2  33170  xrge0tsmsd  33433  deg1addlt  33930  q1pvsca  33934  vietadeg1  34008  ply1degltdimlem  34052  ply1degltdim  34053  rtelextdg2lem  34156  sibfinima  34770  heicant  38339  itg2gt0cn  38359  ftc1anclem7  38383  ftc1anc  38385  dvrelog3  42865  aks6d1c5lem3  42937  aks6d1c6lem1  42970  aks6d1c6lem3  42972  supxrgelem  46086  supxrge  46087  xralrple2  46103  infxr  46115  infleinflem2  46119  xrralrecnnle  46131  unb2ltle  46162  eliocre  46258  iocopn  46269  ge0lere  46281  iccdificc  46288  limsupre  46388  limsuppnflem  46457  limsupre3lem  46479  limsupub2  46559  xlimmnfv  46581  fourierdlem27  46881  sge0isum  47174  meassre  47224  meaiuninclem  47227  omessre  47257  omeiunltfirp  47266  sge0hsphoire  47336  hoidmv1lelem1  47338  hoidmv1lelem2  47339  hoidmv1lelem3  47340  hoidmvlelem1  47342  hoidmvlelem4  47345  pimiooltgt  47457  pimincfltioc  47463  preimaleiinlt  47468  fsupdm  47589