Theorem xrlelttrd 13293

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13289	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347   ≤ cle 11348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353

This theorem is used by:  xlt2add  13394  ixxub  13501  elioc2  13544  elicc2  13546  limsupgre  15654  xrsdsreclblem  21725  mnfnei  23545  blgt0  24724  xblss2ps  24726  xblss2  24727  metustexhalf  24881  tgioo  25121  blcvx  25123  xrge0tsms  25160  metdcnlem  25162  metdscnlem  25181  ioombl  25892  uniioombllem1  25908  dvferm2lem  26312  dvlip2  26321  ftc1a  26363  coe1mul3  26423  ply1remlem  26489  idomrootle  26497  pserulm  26755  isblo3i  31409  xrge0infss  33399  iocinioc2  33418  xrge0tsmsd  33681  deg1addlt  34179  q1pvsca  34183  vietadeg1  34257  ply1degltdimlem  34301  ply1degltdim  34302  rtelextdg2lem  34405  sibfinima  35018  heicant  38667  itg2gt0cn  38687  ftc1anclem7  38711  ftc1anc  38713  dvrelog3  43209  aks6d1c5lem3  43281  aks6d1c6lem1  43314  aks6d1c6lem3  43316  supxrgelem  46443  supxrge  46444  xralrple2  46460  infxr  46472  infleinflem2  46476  xrralrecnnle  46488  unb2ltle  46519  eliocre  46615  iocopn  46626  ge0lere  46638  iccdificc  46645  limsupre  46745  limsuppnflem  46814  limsupre3lem  46836  limsupub2  46916  xlimmnfv  46938  fourierdlem27  47238  sge0isum  47531  meassre  47581  meaiuninclem  47584  omessre  47614  omeiunltfirp  47623  sge0hsphoire  47693  hoidmv1lelem1  47695  hoidmv1lelem2  47696  hoidmv1lelem3  47697  hoidmvlelem1  47699  hoidmvlelem4  47702  pimiooltgt  47814  pimincfltioc  47820  preimaleiinlt  47825  fsupdm  47946