Theorem xrlelttrd 13211

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13207	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273

This theorem is used by:  xlt2add  13312  ixxub  13419  elioc2  13462  elicc2  13464  limsupgre  15568  xrsdsreclblem  21626  mnfnei  23446  blgt0  24625  xblss2ps  24627  xblss2  24628  metustexhalf  24782  tgioo  25022  blcvx  25024  xrge0tsms  25061  metdcnlem  25063  metdscnlem  25082  ioombl  25793  uniioombllem1  25809  dvferm2lem  26213  dvlip2  26222  ftc1a  26264  coe1mul3  26324  ply1remlem  26390  idomrootle  26398  pserulm  26658  isblo3i  31282  xrge0infss  33231  iocinioc2  33250  xrge0tsmsd  33513  deg1addlt  34010  q1pvsca  34014  vietadeg1  34088  ply1degltdimlem  34132  ply1degltdim  34133  rtelextdg2lem  34236  sibfinima  34850  heicant  38404  itg2gt0cn  38424  ftc1anclem7  38448  ftc1anc  38450  dvrelog3  42931  aks6d1c5lem3  43003  aks6d1c6lem1  43036  aks6d1c6lem3  43038  supxrgelem  46167  supxrge  46168  xralrple2  46184  infxr  46196  infleinflem2  46200  xrralrecnnle  46212  unb2ltle  46243  eliocre  46339  iocopn  46350  ge0lere  46362  iccdificc  46369  limsupre  46469  limsuppnflem  46538  limsupre3lem  46560  limsupub2  46640  xlimmnfv  46662  fourierdlem27  46962  sge0isum  47255  meassre  47305  meaiuninclem  47308  omessre  47338  omeiunltfirp  47347  sge0hsphoire  47417  hoidmv1lelem1  47419  hoidmv1lelem2  47420  hoidmv1lelem3  47421  hoidmvlelem1  47423  hoidmvlelem4  47426  pimiooltgt  47538  pimincfltioc  47544  preimaleiinlt  47549  fsupdm  47670