Theorem xrlelttrd 12547

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 12543	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ℝ^*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675

This theorem is referenced by:  xlt2add  12647  ixxub  12753  elioc2  12793  elicc2  12795  limsupgre  14832  xrsdsreclblem  20585  mnfnei  21823  blgt0  23003  xblss2ps  23005  xblss2  23006  metustexhalf  23160  tgioo  23398  blcvx  23400  xrge0tsms  23436  metdcnlem  23438  metdscnlem  23457  ioombl  24160  uniioombllem1  24176  dvferm2lem  24577  dvlip2  24586  ftc1a  24628  coe1mul3  24687  ply1remlem  24750  pserulm  25004  isblo3i  28572  xrge0infss  30478  iocinioc2  30496  xrge0tsmsd  30687  sibfinima  31592  heicant  34921  itg2gt0cn  34941  ftc1anclem7  34967  ftc1anc  34969  idomrootle  39788  supxrgelem  41598  supxrge  41599  xralrple2  41615  infxr  41628  infleinflem2  41632  xrralrecnnle  41646  unb2ltle  41682  eliocre  41778  iocopn  41789  ge0lere  41801  iccdificc  41808  limsupre  41915  limsuppnflem  41984  limsupre3lem  42006  limsupub2  42086  xlimmnfv  42108  fourierdlem27  42413  sge0isum  42703  meassre  42753  meaiuninclem  42756  omessre  42786  omeiunltfirp  42795  sge0hsphoire  42865  hoidmv1lelem1  42867  hoidmv1lelem2  42868  hoidmv1lelem3  42869  hoidmvlelem1  42871  hoidmvlelem4  42874  pimiooltgt  42983  pimincfltioc  42988  preimaleiinlt  42993