Theorem xrlelttrd 13141

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13137	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ℝ^*cxr 11249   < clt 11250   ≤ cle 11251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256

This theorem is referenced by:  xlt2add  13241  ixxub  13347  elioc2  13389  elicc2  13391  limsupgre  15427  xrsdsreclblem  20997  mnfnei  22732  blgt0  23912  xblss2ps  23914  xblss2  23915  metustexhalf  24072  tgioo  24319  blcvx  24321  xrge0tsms  24357  metdcnlem  24359  metdscnlem  24378  ioombl  25089  uniioombllem1  25105  dvferm2lem  25510  dvlip2  25519  ftc1a  25561  coe1mul3  25624  ply1remlem  25687  pserulm  25941  isblo3i  30092  xrge0infss  32011  iocinioc2  32028  xrge0tsmsd  32250  deg1addlt  32716  q1pvsca  32720  ply1degltdimlem  32766  ply1degltdim  32767  sibfinima  33407  heicant  36609  itg2gt0cn  36629  ftc1anclem7  36653  ftc1anc  36655  dvrelog3  41016  idomrootle  42019  supxrgelem  44126  supxrge  44127  xralrple2  44143  infxr  44156  infleinflem2  44160  xrralrecnnle  44172  unb2ltle  44204  eliocre  44301  iocopn  44312  ge0lere  44324  iccdificc  44331  limsupre  44436  limsuppnflem  44505  limsupre3lem  44527  limsupub2  44607  xlimmnfv  44629  fourierdlem27  44929  sge0isum  45222  meassre  45272  meaiuninclem  45275  omessre  45305  omeiunltfirp  45314  sge0hsphoire  45384  hoidmv1lelem1  45386  hoidmv1lelem2  45387  hoidmv1lelem3  45388  hoidmvlelem1  45390  hoidmvlelem4  45393  pimiooltgt  45505  pimincfltioc  45511  preimaleiinlt  45516  fsupdm  45637