Theorem xrlelttrd 13054

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13050	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141   ≤ cle 11142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147

This theorem is referenced by:  xlt2add  13154  ixxub  13261  elioc2  13304  elicc2  13306  limsupgre  15383  xrsdsreclblem  21344  mnfnei  23131  blgt0  24309  xblss2ps  24311  xblss2  24312  metustexhalf  24466  tgioo  24706  blcvx  24708  xrge0tsms  24745  metdcnlem  24747  metdscnlem  24766  ioombl  25488  uniioombllem1  25504  dvferm2lem  25912  dvlip2  25922  ftc1a  25966  coe1mul3  26026  ply1remlem  26092  idomrootle  26100  pserulm  26353  isblo3i  30773  xrge0infss  32735  iocinioc2  32754  xrge0tsmsd  33034  deg1addlt  33552  q1pvsca  33556  ply1degltdimlem  33627  ply1degltdim  33628  rtelextdg2lem  33731  sibfinima  34344  heicant  37695  itg2gt0cn  37715  ftc1anclem7  37739  ftc1anc  37741  dvrelog3  42098  aks6d1c5lem3  42170  aks6d1c6lem1  42203  aks6d1c6lem3  42205  supxrgelem  45376  supxrge  45377  xralrple2  45393  infxr  45405  infleinflem2  45409  xrralrecnnle  45421  unb2ltle  45453  eliocre  45549  iocopn  45560  ge0lere  45572  iccdificc  45579  limsupre  45679  limsuppnflem  45748  limsupre3lem  45770  limsupub2  45850  xlimmnfv  45872  fourierdlem27  46172  sge0isum  46465  meassre  46515  meaiuninclem  46518  omessre  46548  omeiunltfirp  46557  sge0hsphoire  46627  hoidmv1lelem1  46629  hoidmv1lelem2  46630  hoidmv1lelem3  46631  hoidmvlelem1  46633  hoidmvlelem4  46636  pimiooltgt  46748  pimincfltioc  46754  preimaleiinlt  46759  fsupdm  46880