Theorem xrlelttrd 13074

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13070	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172

This theorem is referenced by:  xlt2add  13175  ixxub  13282  elioc2  13325  elicc2  13327  limsupgre  15404  xrsdsreclblem  21367  mnfnei  23165  blgt0  24343  xblss2ps  24345  xblss2  24346  metustexhalf  24500  tgioo  24740  blcvx  24742  xrge0tsms  24779  metdcnlem  24781  metdscnlem  24800  ioombl  25522  uniioombllem1  25538  dvferm2lem  25946  dvlip2  25956  ftc1a  26000  coe1mul3  26060  ply1remlem  26126  idomrootle  26134  pserulm  26387  isblo3i  30876  xrge0infss  32840  iocinioc2  32859  xrge0tsmsd  33155  deg1addlt  33681  q1pvsca  33685  vietadeg1  33734  ply1degltdimlem  33779  ply1degltdim  33780  rtelextdg2lem  33883  sibfinima  34496  heicant  37856  itg2gt0cn  37876  ftc1anclem7  37900  ftc1anc  37902  dvrelog3  42319  aks6d1c5lem3  42391  aks6d1c6lem1  42424  aks6d1c6lem3  42426  supxrgelem  45582  supxrge  45583  xralrple2  45599  infxr  45611  infleinflem2  45615  xrralrecnnle  45627  unb2ltle  45659  eliocre  45755  iocopn  45766  ge0lere  45778  iccdificc  45785  limsupre  45885  limsuppnflem  45954  limsupre3lem  45976  limsupub2  46056  xlimmnfv  46078  fourierdlem27  46378  sge0isum  46671  meassre  46721  meaiuninclem  46724  omessre  46754  omeiunltfirp  46763  sge0hsphoire  46833  hoidmv1lelem1  46835  hoidmv1lelem2  46836  hoidmv1lelem3  46837  hoidmvlelem1  46839  hoidmvlelem4  46842  pimiooltgt  46954  pimincfltioc  46960  preimaleiinlt  46965  fsupdm  47086