Theorem xrlelttrd 13120

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13116	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  xlt2add  13220  ixxub  13327  elioc2  13370  elicc2  13372  limsupgre  15447  xrsdsreclblem  21329  mnfnei  23108  blgt0  24287  xblss2ps  24289  xblss2  24290  metustexhalf  24444  tgioo  24684  blcvx  24686  xrge0tsms  24723  metdcnlem  24725  metdscnlem  24744  ioombl  25466  uniioombllem1  25482  dvferm2lem  25890  dvlip2  25900  ftc1a  25944  coe1mul3  26004  ply1remlem  26070  idomrootle  26078  pserulm  26331  isblo3i  30730  xrge0infss  32683  iocinioc2  32702  xrge0tsmsd  33002  deg1addlt  33565  q1pvsca  33569  ply1degltdimlem  33618  ply1degltdim  33619  rtelextdg2lem  33716  sibfinima  34330  heicant  37649  itg2gt0cn  37669  ftc1anclem7  37693  ftc1anc  37695  dvrelog3  42053  aks6d1c5lem3  42125  aks6d1c6lem1  42158  aks6d1c6lem3  42160  supxrgelem  45333  supxrge  45334  xralrple2  45350  infxr  45363  infleinflem2  45367  xrralrecnnle  45379  unb2ltle  45411  eliocre  45507  iocopn  45518  ge0lere  45530  iccdificc  45537  limsupre  45639  limsuppnflem  45708  limsupre3lem  45730  limsupub2  45810  xlimmnfv  45832  fourierdlem27  46132  sge0isum  46425  meassre  46475  meaiuninclem  46478  omessre  46508  omeiunltfirp  46517  sge0hsphoire  46587  hoidmv1lelem1  46589  hoidmv1lelem2  46590  hoidmv1lelem3  46591  hoidmvlelem1  46593  hoidmvlelem4  46596  pimiooltgt  46708  pimincfltioc  46714  preimaleiinlt  46719  fsupdm  46840