Theorem xrlelttrd 13102

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13098	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 705	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  xlt2add  13203  ixxub  13310  elioc2  13353  elicc2  13355  limsupgre  15434  xrsdsreclblem  21388  mnfnei  23204  blgt0  24382  xblss2ps  24384  xblss2  24385  metustexhalf  24539  tgioo  24779  blcvx  24781  xrge0tsms  24818  metdcnlem  24820  metdscnlem  24839  ioombl  25550  uniioombllem1  25566  dvferm2lem  25971  dvlip2  25980  ftc1a  26022  coe1mul3  26082  ply1remlem  26148  idomrootle  26156  pserulm  26405  isblo3i  30890  xrge0infss  32852  iocinioc2  32871  xrge0tsmsd  33154  deg1addlt  33683  q1pvsca  33687  vietadeg1  33762  ply1degltdimlem  33806  ply1degltdim  33807  rtelextdg2lem  33910  sibfinima  34523  heicant  38022  itg2gt0cn  38042  ftc1anclem7  38066  ftc1anc  38068  dvrelog3  42550  aks6d1c5lem3  42622  aks6d1c6lem1  42655  aks6d1c6lem3  42657  supxrgelem  45782  supxrge  45783  xralrple2  45799  infxr  45811  infleinflem2  45815  xrralrecnnle  45827  unb2ltle  45858  eliocre  45954  iocopn  45965  ge0lere  45977  iccdificc  45984  limsupre  46084  limsuppnflem  46153  limsupre3lem  46175  limsupub2  46255  xlimmnfv  46277  fourierdlem27  46577  sge0isum  46870  meassre  46920  meaiuninclem  46923  omessre  46953  omeiunltfirp  46962  sge0hsphoire  47032  hoidmv1lelem1  47034  hoidmv1lelem2  47035  hoidmv1lelem3  47036  hoidmvlelem1  47038  hoidmvlelem4  47041  pimiooltgt  47153  pimincfltioc  47159  preimaleiinlt  47164  fsupdm  47285