Theorem xrlelttrd 13089

Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xrlttrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
xrlttrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
xrlttrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
xrlelttrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
xrlelttrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
xrlelttrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Proof of Theorem xrlelttrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlelttrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		xrlelttrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐶)
3		xrlttrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		xrlttrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		xrlttrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
6		xrlelttr 13085	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5110  ℝ^*cxr 11197   < clt 11198   ≤ cle 11199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204

This theorem is referenced by:  xlt2add  13189  ixxub  13295  elioc2  13337  elicc2  13339  limsupgre  15375  xrsdsreclblem  20880  mnfnei  22609  blgt0  23789  xblss2ps  23791  xblss2  23792  metustexhalf  23949  tgioo  24196  blcvx  24198  xrge0tsms  24234  metdcnlem  24236  metdscnlem  24255  ioombl  24966  uniioombllem1  24982  dvferm2lem  25387  dvlip2  25396  ftc1a  25438  coe1mul3  25501  ply1remlem  25564  pserulm  25818  isblo3i  29806  xrge0infss  31733  iocinioc2  31750  xrge0tsmsd  31969  ply1degltdimlem  32404  ply1degltdim  32405  sibfinima  33028  heicant  36186  itg2gt0cn  36206  ftc1anclem7  36230  ftc1anc  36232  dvrelog3  40595  idomrootle  41580  supxrgelem  43692  supxrge  43693  xralrple2  43709  infxr  43722  infleinflem2  43726  xrralrecnnle  43738  unb2ltle  43770  eliocre  43867  iocopn  43878  ge0lere  43890  iccdificc  43897  limsupre  44002  limsuppnflem  44071  limsupre3lem  44093  limsupub2  44173  xlimmnfv  44195  fourierdlem27  44495  sge0isum  44788  meassre  44838  meaiuninclem  44841  omessre  44871  omeiunltfirp  44880  sge0hsphoire  44950  hoidmv1lelem1  44952  hoidmv1lelem2  44953  hoidmv1lelem3  44954  hoidmvlelem1  44956  hoidmvlelem4  44959  pimiooltgt  45071  pimincfltioc  45077  preimaleiinlt  45082  fsupdm  45203