Theorem phlipf 21204

Description: The inner product operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipffn.1	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipffn.2	⊢ , = (·if‘𝑊)
phlipf.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
phlipf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
phlipf	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)

Proof of Theorem phlipf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlipf.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		ipffn.1	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		phlipf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5	1, 2, 3, 4	ipcl 21185	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
6	5	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
7	6	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
8		ipffn.2	. . . 4 ⊢ , = (·if‘𝑊)
9	3, 2, 8	ipffval 21200	. . 3 ⊢ , = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
10	9	fmpo 8053	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾 ↔ , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)
11	7, 10	sylib 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   × cxp 5674  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199  ·_𝑖cip 17201  PreHilcphl 21176  ·_ifcipf 21177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-ghm 19089  df-lmhm 20632  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-phl 21178  df-ipf 21179

This theorem is referenced by:  ipcn  24762