Theorem phlipf 21584

Description: The inner product operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipffn.1	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipffn.2	⊢ , = (·if‘𝑊)
phlipf.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
phlipf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
phlipf	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)

Proof of Theorem phlipf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlipf.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		ipffn.1	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		phlipf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5	1, 2, 3, 4	ipcl 21565	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
6	5	3expb 1118	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
7	6	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
8		ipffn.2	. . . 4 ⊢ , = (·if‘𝑊)
9	3, 2, 8	ipffval 21580	. . 3 ⊢ , = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
10	9	fmpo 8072	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾 ↔ , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)
11	7, 10	sylib 217	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058   × cxp 5676  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  Scalarcsca 17236  ·_𝑖cip 17238  PreHilcphl 21556  ·_ifcipf 21557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-ghm 19168  df-lmhm 20907  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-phl 21558  df-ipf 21559

This theorem is referenced by:  ipcn  25187