Theorem phlipf 21967

Description: The inner product operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipffn.1	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipffn.2	⊢ , = (·if‘𝑊)
phlipf.s	⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
phlipf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
phlipf	⊢ (𝑊 ∈ PreHil → , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)

Proof of Theorem phlipf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phlipf.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (·𝑖‘𝑊) = (·𝑖‘𝑊)
3		ipffn.1	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		phlipf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
5	1, 2, 3, 4	ipcl 21948	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
6	5	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
7	6	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
8		ipffn.2	. . . 4 ⊢ , = (·if‘𝑊)
9	3, 2, 8	ipffval 21963	. . 3 ⊢ , = (𝑥 ∈ 𝑉, 𝑦 ∈ 𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦))
10	9	fmpo 8084	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑦 ∈ 𝑉 (𝑥(·𝑖‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐾 ↔ , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)
11	7, 10	sylib 221	1 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   × cxp 5649  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  Scalarcsca 17440  ·_𝑖cip 17442  PreHilcphl 21939  ·_ifcipf 21940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-map 8857  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-ghm 19437  df-lmhm 21306  df-sra 21457  df-rgmod 21458  df-phl 21941  df-ipf 21942

This theorem is used by:  ipcn  25576