Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phlipf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phlipf 20359
 Description: The inner product operation is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ipffn.1 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipffn.2 , = (·if𝑊)
phlipf.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
phlipf.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
phlipf (𝑊 ∈ PreHil → , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)

Proof of Theorem phlipf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 phlipf.s . . . . 5 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2825 . . . . 5 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
3 ipffn.1 . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 phlipf.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑆)
51, 2, 3, 4ipcl 20340 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝑉𝑦𝑉) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
653expb 1155 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑥𝑉𝑦𝑉)) → (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
76ralrimivva 3180 . 2 (𝑊 ∈ PreHil → ∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) ∈ 𝐾)
8 ipffn.2 . . . 4 , = (·if𝑊)
93, 2, 8ipffval 20355 . . 3 , = (𝑥𝑉, 𝑦𝑉 ↦ (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦))
109fmpt2 7500 . 2 (∀𝑥𝑉𝑦𝑉 (𝑥(·𝑖𝑊)𝑦) ∈ 𝐾, :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)
117, 10sylib 210 1 (𝑊 ∈ PreHil → , :(𝑉 × 𝑉)⟶𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3117   × cxp 5340  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  Scalarcsca 16308  ·𝑖cip 16310  PreHilcphl 20331  ·ifcipf 20332 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-ip 16323  df-ghm 18009  df-lmhm 19381  df-sra 19533  df-rgmod 19534  df-phl 20333  df-ipf 20334 This theorem is referenced by:  ipcn  23414
 Copyright terms: Public domain W3C validator