Theorem ipassr2 21589

Description: "Associative" law for inner product. Conjugate version of ipassr 21588. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.f	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ipass.p	⊢ × = (.r‘𝐹)
ipassr.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipassr2	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶) = (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)))

Proof of Theorem ipassr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		phlsrng.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5	4	phlsrng 21573	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
6		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
7		ipassr.i	. . . . 5 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝐹)
8		ipdir.f	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	7, 8	srngcl 20769	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ( ∗ ‘𝐶) ∈ 𝐾)
10	5, 6, 9	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ( ∗ ‘𝐶) ∈ 𝐾)
11		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
12		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		ipass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		ipass.p	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝐹)
15	4, 11, 12, 8, 13, 14, 7	ipassr 21588	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( ∗ ‘𝐶) ∈ 𝐾)) → (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶))))
16	1, 2, 3, 10, 15	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶))))
17	7, 8	srngnvl 20770	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶)) = 𝐶)
18	5, 6, 17	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶)) = 𝐶)
19	18	oveq2d 7385	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶))) = ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶))
20	16, 19	eqtr2d 2765	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶) = (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  *_𝑟cstv 17198  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  ·_𝑖cip 17201  *-Ringcsr 20758  PreHilcphl 21566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-0g 17380  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-mhm 18692  df-ghm 19127  df-mgp 20061  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-rhm 20392  df-staf 20759  df-srng 20760  df-lmod 20800  df-lmhm 20961  df-lvec 21042  df-sra 21112  df-rgmod 21113  df-phl 21568

This theorem is referenced by:  ipcau2  25167