MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ipassr2 21500
Description: "Associative" law for inner product. Conjugate version of ipassr 21499. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
phllmhm.h , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
phllmhm.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ipdir.f 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
ipass.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
ipass.p Γ— = (.rβ€˜πΉ)
ipassr.i βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
ipassr2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝐴 , 𝐡) Γ— 𝐢) = (𝐴 , (( βˆ— β€˜πΆ) Β· 𝐡)))
Proof of Theorem ipassr2
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ π‘Š ∈ PreHil)
2 simpr1 1191 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 simpr2 1192 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
4 phlsrng.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
54phlsrng 21484 . . . 4 (π‘Š ∈ PreHil β†’ 𝐹 ∈ *-Ring)
6 simpr3 1193 . . . 4 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐾)
7 ipassr.i . . . . 5 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜πΉ)
8 ipdir.f . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
97, 8srngcl 20683 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾) β†’ ( βˆ— β€˜πΆ) ∈ 𝐾)
105, 6, 9syl2an2r 682 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜πΆ) ∈ 𝐾)
11 phllmhm.h . . . 4 , = (Β·π‘–β€˜π‘Š)
12 phllmhm.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
13 ipass.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
14 ipass.p . . . 4 Γ— = (.rβ€˜πΉ)
154, 11, 12, 8, 13, 14, 7ipassr 21499 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ ( βˆ— β€˜πΆ) ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (( βˆ— β€˜πΆ) Β· 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜( βˆ— β€˜πΆ))))
161, 2, 3, 10, 15syl13anc 1369 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ (𝐴 , (( βˆ— β€˜πΆ) Β· 𝐡)) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜( βˆ— β€˜πΆ))))
177, 8srngnvl 20684 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐢 ∈ 𝐾) β†’ ( βˆ— β€˜( βˆ— β€˜πΆ)) = 𝐢)
185, 6, 17syl2an2r 682 . . 3 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ( βˆ— β€˜( βˆ— β€˜πΆ)) = 𝐢)
1918oveq2d 7417 . 2 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝐴 , 𝐡) Γ— ( βˆ— β€˜( βˆ— β€˜πΆ))) = ((𝐴 , 𝐡) Γ— 𝐢))
2016, 19eqtr2d 2765 1 ((π‘Š ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑉 ∧ 𝐢 ∈ 𝐾)) β†’ ((𝐴 , 𝐡) Γ— 𝐢) = (𝐴 , (( βˆ— β€˜πΆ) Β· 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  *π‘Ÿcstv 17195  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Β·π‘–cip 17198  *-Ringcsr 20672  PreHilcphl 21477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-0g 17383  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-mhm 18700  df-ghm 19124  df-mgp 20025  df-ur 20072  df-ring 20125  df-oppr 20221  df-rhm 20359  df-staf 20673  df-srng 20674  df-lmod 20693  df-lmhm 20855  df-lvec 20936  df-sra 21006  df-rgmod 21007  df-phl 21479
This theorem is referenced by:  ipcau2  25072
  Copyright terms: Public domain W3C validator