Theorem ipassr2 21600

Description: "Associative" law for inner product. Conjugate version of ipassr 21599. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.f	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ipass.p	⊢ × = (.r‘𝐹)
ipassr.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipassr2	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶) = (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)))

Proof of Theorem ipassr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		phlsrng.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5	4	phlsrng 21584	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
6		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
7		ipassr.i	. . . . 5 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝐹)
8		ipdir.f	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	7, 8	srngcl 20780	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ( ∗ ‘𝐶) ∈ 𝐾)
10	5, 6, 9	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ( ∗ ‘𝐶) ∈ 𝐾)
11		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
12		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		ipass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		ipass.p	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝐹)
15	4, 11, 12, 8, 13, 14, 7	ipassr 21599	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( ∗ ‘𝐶) ∈ 𝐾)) → (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶))))
16	1, 2, 3, 10, 15	syl13anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶))))
17	7, 8	srngnvl 20781	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶)) = 𝐶)
18	5, 6, 17	syl2an2r 685	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶)) = 𝐶)
19	18	oveq2d 7372	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶))) = ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶))
20	16, 19	eqtr2d 2770	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶) = (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  *_𝑟cstv 17177  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  ·_𝑖cip 17180  *-Ringcsr 20769  PreHilcphl 21577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706  df-ghm 19140  df-mgp 20074  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-rhm 20406  df-staf 20770  df-srng 20771  df-lmod 20811  df-lmhm 20972  df-lvec 21053  df-sra 21123  df-rgmod 21124  df-phl 21579

This theorem is referenced by:  ipcau2  25188