Theorem ipassr2 21915

Description: "Associative" law for inner product. Conjugate version of ipassr 21914. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
phlsrng.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h	⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
phllmhm.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.f	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipass.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
ipass.p	⊢ × = (.r‘𝐹)
ipassr.i	⊢ ∗ = (*𝑟‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ipassr2	⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶) = (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)))

Proof of Theorem ipassr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		phlsrng.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5	4	phlsrng 21899	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
6		simpr3 1215	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → 𝐶 ∈ 𝐾)
7		ipassr.i	. . . . 5 ⊢ ∗ = (*𝑟‘𝐹)
8		ipdir.f	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
9	7, 8	srngcl 21068	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ( ∗ ‘𝐶) ∈ 𝐾)
10	5, 6, 9	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ( ∗ ‘𝐶) ∈ 𝐾)
11		phllmhm.h	. . . 4 ⊢ , = (·𝑖‘𝑊)
12		phllmhm.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		ipass.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
14		ipass.p	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝐹)
15	4, 11, 12, 8, 13, 14, 7	ipassr 21914	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ( ∗ ‘𝐶) ∈ 𝐾)) → (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶))))
16	1, 2, 3, 10, 15	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶))))
17	7, 8	srngnvl 21069	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐾) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶)) = 𝐶)
18	5, 6, 17	syl2an2r 698	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶)) = 𝐶)
19	18	oveq2d 7424	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × ( ∗ ‘( ∗ ‘𝐶))) = ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶))
20	16, 19	eqtr2d 2796	1 ⊢ ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶) = (𝐴 , (( ∗ ‘𝐶) · 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Basecbs 17349  ._rcmulr 17391  *_𝑟cstv 17392  Scalarcsca 17393   ·_𝑠 cvsca 17394  ·_𝑖cip 17395  *-Ringcsr 21057  PreHilcphl 21892

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-0g 17574  df-mgm 18778  df-sgrp 18870  df-mnd 18886  df-mhm 18940  df-ghm 19390  df-mgp 20323  df-ur 20370  df-ring 20423  df-oppr 20529  df-rhm 20664  df-staf 21058  df-srng 21059  df-lmod 21099  df-lmhm 21259  df-lvec 21340  df-sra 21410  df-rgmod 21411  df-phl 21894

This theorem is used by:  ipcau2  25517