Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipassr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipassr2 20413
 Description: "Associative" law for inner product. Conjugate version of ipassr 20412. (Contributed by NM, 25-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
phlsrng.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
phllmhm.h , = (·𝑖𝑊)
phllmhm.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ipdir.f 𝐾 = (Base‘𝐹)
ipass.s · = ( ·𝑠𝑊)
ipass.p × = (.r𝐹)
ipassr.i = (*𝑟𝐹)
Assertion
Ref Expression
ipassr2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶) = (𝐴 , (( 𝐶) · 𝐵)))

Proof of Theorem ipassr2
StepHypRef Expression
1 simpl 487 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝑊 ∈ PreHil)
2 simpr1 1192 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐴𝑉)
3 simpr2 1193 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐵𝑉)
4 phlsrng.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
54phlsrng 20397 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝐹 ∈ *-Ring)
6 simpr3 1194 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → 𝐶𝐾)
7 ipassr.i . . . . 5 = (*𝑟𝐹)
8 ipdir.f . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
97, 8srngcl 19695 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐶𝐾) → ( 𝐶) ∈ 𝐾)
105, 6, 9syl2an2r 685 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( 𝐶) ∈ 𝐾)
11 phllmhm.h . . . 4 , = (·𝑖𝑊)
12 phllmhm.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 ipass.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
14 ipass.p . . . 4 × = (.r𝐹)
154, 11, 12, 8, 13, 14, 7ipassr 20412 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉 ∧ ( 𝐶) ∈ 𝐾)) → (𝐴 , (( 𝐶) · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( ‘( 𝐶))))
161, 2, 3, 10, 15syl13anc 1370 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → (𝐴 , (( 𝐶) · 𝐵)) = ((𝐴 , 𝐵) × ( ‘( 𝐶))))
177, 8srngnvl 19696 . . . 4 ((𝐹 ∈ *-Ring ∧ 𝐶𝐾) → ( ‘( 𝐶)) = 𝐶)
185, 6, 17syl2an2r 685 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ( ‘( 𝐶)) = 𝐶)
1918oveq2d 7167 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × ( ‘( 𝐶))) = ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶))
2016, 19eqtr2d 2795 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝐾)) → ((𝐴 , 𝐵) × 𝐶) = (𝐴 , (( 𝐶) · 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  Basecbs 16542  .rcmulr 16625  *𝑟cstv 16626  Scalarcsca 16627   ·𝑠 cvsca 16628  ·𝑖cip 16629  *-Ringcsr 19684  PreHilcphl 20390 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-tpos 7903  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-4 11740  df-5 11741  df-6 11742  df-7 11743  df-8 11744  df-ndx 16545  df-slot 16546  df-base 16548  df-sets 16549  df-plusg 16637  df-mulr 16638  df-sca 16640  df-vsca 16641  df-ip 16642  df-0g 16774  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-mhm 18023  df-ghm 18424  df-mgp 19309  df-ur 19321  df-ring 19368  df-oppr 19445  df-rnghom 19539  df-staf 19685  df-srng 19686  df-lmod 19705  df-lmhm 19863  df-lvec 19944  df-sra 20013  df-rgmod 20014  df-phl 20392 This theorem is referenced by:  ipcau2  23935
 Copyright terms: Public domain W3C validator