Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islptre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islptre 43867
Description: An equivalence condition for a limit point w.r.t. the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islptre.1 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
islptre.2 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
islptre.3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
islptre (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏   𝐡,π‘Ž,𝑏   𝐽,π‘Ž,𝑏   πœ‘,π‘Ž,𝑏

Proof of Theorem islptre
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islptre.1 . . . . . 6 𝐽 = (topGenβ€˜ran (,))
2 retopon 24130 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
31, 2eqeltri 2834 . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜β„)
43topontopi 22267 . . . 4 𝐽 ∈ Top
54a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
6 islptre.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
7 islptre.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
83toponunii 22268 . . . 4 ℝ = βˆͺ 𝐽
98islp2 22499 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 βŠ† ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
105, 6, 7, 9syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
11 simp1r 1199 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
12 iooretop 24132 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž(,)𝑏) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
1312, 1eleqtrri 2837 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž(,)𝑏) ∈ 𝐽
1413a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) ∈ 𝐽)
15 snssi 4769 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ {𝐡} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))
1615adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ {𝐡} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))
17 ssidd 3968 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))
18 sseq2 3971 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ↔ {𝐡} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
19 sseq1 3970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑣 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ↔ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
2018, 19anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)) ↔ ({𝐡} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
2120rspcev 3582 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž(,)𝑏) ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
2214, 16, 17, 21syl12anc 836 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))
23 ioossre 13326 . . . . . . . . 9 (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ
2422, 23jctil 521 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏))))
25 elioore 13295 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2625snssd 4770 . . . . . . . . . 10 (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ {𝐡} βŠ† ℝ)
2726adantl 483 . . . . . . . . 9 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ {𝐡} βŠ† ℝ)
288isnei 22457 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐡} βŠ† ℝ) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡}) ↔ ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))))
294, 27, 28sylancr 588 . . . . . . . 8 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡}) ↔ ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)))))
3024, 29mpbird 257 . . . . . . 7 (((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡}))
31303adant1 1131 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡}))
32 ineq1 4166 . . . . . . . 8 (𝑛 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) = ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})))
3332neeq1d 3004 . . . . . . 7 (𝑛 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ… ↔ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
3433rspccva 3581 . . . . . 6 ((βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ… ∧ (π‘Ž(,)𝑏) ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
3511, 31, 34syl2anc 585 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…) ∧ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
36353exp 1120 . . . 4 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)))
3736ralrimivv 3196 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
387snssd 4770 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ {𝐡} βŠ† ℝ)
398isnei 22457 . . . . . . . . 9 ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐡} βŠ† ℝ) β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡}) ↔ (𝑛 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛))))
404, 38, 39sylancr 588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡}) ↔ (𝑛 βŠ† ℝ ∧ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛))))
4140simplbda 501 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛))
421eleq2i 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
4342biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 ∈ 𝐽 β†’ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
44433ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) β†’ 𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
45 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) β†’ πœ‘)
46 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) β†’ {𝐡} βŠ† 𝑣)
47 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ {𝐡} βŠ† 𝑣) β†’ {𝐡} βŠ† 𝑣)
487adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ {𝐡} βŠ† 𝑣) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
49 snssg 4745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ ℝ β†’ (𝐡 ∈ 𝑣 ↔ {𝐡} βŠ† 𝑣))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ {𝐡} βŠ† 𝑣) β†’ (𝐡 ∈ 𝑣 ↔ {𝐡} βŠ† 𝑣))
5147, 50mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ {𝐡} βŠ† 𝑣) β†’ 𝐡 ∈ 𝑣)
5245, 46, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑣)
5344, 52jca 513 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) β†’ (𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑣))
54 tg2 22318 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑣 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐡 ∈ 𝑣) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)(𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣))
55 ioof 13365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ
56 ffn 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((,):(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ β†’ (,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*))
57 ovelrn 7531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((,) Fn (ℝ* Γ— ℝ*) β†’ (𝑒 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏)))
5855, 56, 57mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ ran (,) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏))
5958biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ ran (,) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏))
6059adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ ran (,) ∧ (𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏))
61 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) ∧ 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝐡 ∈ 𝑒)
62 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) ∧ 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏))
6361, 62eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) ∧ 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏))
64 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) ∧ 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ 𝑒 βŠ† 𝑣)
6562, 64eqsstrrd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) ∧ 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)
6663, 65jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) ∧ 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏)) β†’ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣))
6766ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ (𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)))
6867adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ ran (,) ∧ (𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣)) β†’ (𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)))
6968reximdv 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑒 ∈ ran (,) ∧ (𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)))
7069reximdv 3168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ ran (,) ∧ (𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* 𝑒 = (π‘Ž(,)𝑏) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣)))
7160, 70mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ ran (,) ∧ (𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣))
7271rexlimiva 3145 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘’ ∈ ran (,)(𝐡 ∈ 𝑒 ∧ 𝑒 βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣))
7353, 54, 723syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣))
74 simpl3r 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑛)
7574adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ 𝑣 βŠ† 𝑛)
76 sstr 3953 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)
7776expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 βŠ† 𝑛 β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣 β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛))
7875, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣 β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛))
7978anim2d 613 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ ((𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)))
8079reximdva 3166 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)))
8180reximdva 3166 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑣) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)))
8273, 81mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛))
83823exp 1120 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑣 ∈ 𝐽 β†’ (({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛))))
8483rexlimdv 3151 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)))
8584adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ 𝐽 ({𝐡} βŠ† 𝑣 ∧ 𝑣 βŠ† 𝑛) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)))
8641, 85mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛))
8786adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛))
88 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘Žπœ‘
89 nfra1 3268 . . . . . . . 8 β„²π‘Žβˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
9088, 89nfan 1903 . . . . . . 7 β„²π‘Ž(πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
91 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘Ž 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})
9290, 91nfan 1903 . . . . . 6 β„²π‘Ž((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡}))
93 nfv 1918 . . . . . 6 β„²π‘Ž(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…
94 nfv 1918 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘πœ‘
95 nfra2w 3283 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
9694, 95nfan 1903 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏(πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
97 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑏 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})
9896, 97nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡}))
99 nfv 1918 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑏 π‘Ž ∈ ℝ*
10098, 99nfan 1903 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏(((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*)
101 nfv 1918 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑏(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…
102 inss1 4189 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† (π‘Ž(,)𝑏)
103 simp3r 1203 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)) β†’ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)
104102, 103sstrid 3956 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† 𝑛)
105 inss2 4190 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† (𝐴 βˆ– {𝐡})
106105a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† (𝐴 βˆ– {𝐡}))
107104, 106ssind 4193 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† (𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})))
108 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
1091083ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
110 simp1r 1199 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ*)
111 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ*)
112110, 111jca 513 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
113 simp3l 1202 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)) β†’ 𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏))
114 rsp2 3261 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…) β†’ ((π‘Ž ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) β†’ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)))
115109, 112, 113, 114syl3c 66 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
116 ssn0 4361 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) βŠ† (𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) ∧ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…) β†’ (𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
117107, 115, 116syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛)) β†’ (𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
1181173exp 1120 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) β†’ (𝑏 ∈ ℝ* β†’ ((𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛) β†’ (𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)))
119100, 101, 118rexlimd 3250 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) ∧ π‘Ž ∈ ℝ*) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛) β†’ (𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
120119ex 414 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ* β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛) β†’ (𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)))
12192, 93, 120rexlimd 3250 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ* βˆƒπ‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) ∧ (π‘Ž(,)𝑏) βŠ† 𝑛) β†’ (𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…))
12287, 121mpd 15 . . . 4 (((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) ∧ 𝑛 ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})) β†’ (𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
123122ralrimiva 3144 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)) β†’ βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)
12437, 123impbida 800 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ((neiβ€˜π½)β€˜{𝐡})(𝑛 ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)))
12510, 124bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ((limPtβ€˜π½)β€˜π΄) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ* βˆ€π‘ ∈ ℝ* (𝐡 ∈ (π‘Ž(,)𝑏) β†’ ((π‘Ž(,)𝑏) ∩ (𝐴 βˆ– {𝐡})) β‰  βˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βˆ– cdif 3908   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  π’« cpw 4561  {csn 4587   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„cr 11051  β„*cxr 11189  (,)cioo 13265  topGenctg 17320  Topctop 22245  TopOnctopon 22262  neicnei 22451  limPtclp 22488
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9379  df-inf 9380  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-q 12875  df-ioo 13269  df-topgen 17326  df-top 22246  df-topon 22263  df-bases 22299  df-cld 22373  df-ntr 22374  df-cls 22375  df-nei 22452  df-lp 22490
This theorem is referenced by:  lptioo2  43879  lptioo1  43880  lptre2pt  43888
  Copyright terms: Public domain W3C validator