Theorem islptre 46195

Description: An equivalence condition for a limit point w.r.t. the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islptre.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
islptre.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
islptre.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
islptre	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐽,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏

Proof of Theorem islptre

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islptre.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		retopon 24823	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3	1, 2	eqeltri 2858	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4	3	topontopi 22975	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		islptre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		islptre.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	3	toponunii 22976	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
9	8	islp2 23205	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
10	5, 6, 7, 9	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
11		simp1r 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
12		iooretop 24825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
13	12, 1	eleqtrri 2861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽)
15		snssi 4744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
16	15	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
17		ssidd 3959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
18		sseq2 3962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → ({𝐵} ⊆ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
19		sseq1 3961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
20	18, 19	anbi12d 641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → (({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
21	20	rspcev 3581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
22	14, 16, 17, 21	syl12anc 847	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
23		ioossre 13411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
24	22, 23	jctil 527	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
25		elioore 13379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	25	snssd 4745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → {𝐵} ⊆ ℝ)
27	26	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝐵} ⊆ ℝ)
28	8	isnei 23163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℝ) → ((𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
29	4, 27, 28	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
30	24, 29	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
31	30	3adant1 1143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
32		ineq1 4165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
33	32	neeq1d 3016	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ↔ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
34	33	rspccva 3580	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
35	11, 31, 34	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
36	35	3exp 1132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
37	36	ralrimivv 3203	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
38	7	snssd 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
39	8	isnei 23163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℝ) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ (𝑛 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))))
40	4, 38, 39	sylancr 596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ (𝑛 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))))
41	40	simplbda 503	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))
42	1	eleq2i 2854	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
43	42	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
44	43	3ad2ant2 1147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
45		simp1 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝜑)
46		simp3l 1215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → {𝐵} ⊆ 𝑣)
47		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → {𝐵} ⊆ 𝑣)
48	7	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		snssg 4742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ 𝑣))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → (𝐵 ∈ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ 𝑣))
51	47, 50	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → 𝐵 ∈ 𝑣)
52	45, 46, 51	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝐵 ∈ 𝑣)
53	44, 52	jca 519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → (𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑣))
54		tg2 23025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑣) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣))
55		ioof 13451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
56		ffn 6691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
57		ovelrn 7572	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)))
58	55, 56, 57	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
59	58	birani 507	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
60		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ 𝑢)
61		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
62	60, 61	eleqtrd 2864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏))
63		simplr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝑢 ⊆ 𝑣)
64	61, 63	eqsstrrd 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
65	62, 64	jca 519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
66	65	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) → (𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
67	66	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
68	67	reximdv 3177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
69	68	reximdv 3177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
70	59, 69	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
71	70	rexlimiva 3155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
72	53, 54, 71	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
73		simpl3r 1243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → 𝑣 ⊆ 𝑛)
74	73	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → 𝑣 ⊆ 𝑛)
75		sstr 3944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)
76	75	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝑛 → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
77	74, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
78	77	anim2d 621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
79	78	reximdva 3175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
80	79	reximdva 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
81	72, 80	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
82	81	3exp 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐽 → (({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))))
83	82	rexlimdv 3161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
84	83	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
85	41, 84	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
86	85	adantlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
87		nfv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
88		nfra1 3286	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
89	87, 88	nfan 1919	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
90		nfv 1934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})
91	89, 90	nfan 1919	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
92		nfv 1934	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅
93		nfv 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
94		nfra2w 3298	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
95	93, 94	nfan 1919	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
96		nfv 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})
97	95, 96	nfan 1919	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
98		nfv 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑎 ∈ ℝ*
99	97, 98	nfan 1919	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*)
100		nfv 1934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅
101		inss1 4188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
102		simp3r 1216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)
103	101, 102	sstrid 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ 𝑛)
104		inss2 4189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))
106	103, 105	ssind 4192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
107		simpllr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
108	107	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
109		simp1r 1212	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
110		simp2 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
111	109, 110	jca 519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
112		simp3l 1215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏))
113		rsp2 3279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
114	108, 111, 112, 113	syl3c 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
115		ssn0 4358	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
116	106, 114, 115	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
117	116	3exp 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (𝑏 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
118	99, 100, 117	rexlimd 3269	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
119	118	ex 416	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (𝑎 ∈ ℝ* → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
120	91, 92, 119	rexlimd 3269	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
121	86, 120	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
122	121	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
123	37, 122	impbida 810	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
124	10, 123	bitrd 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ∖ cdif 3901   ∩ cin 3903   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  𝒫 cpw 4555  {csn 4582   × cxp 5645  ran crn 5648   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  ℝ^*cxr 11215  (,)cioo 13349  topGenctg 17466  Topctop 22953  TopOnctopon 22970  neicnei 23157  limPtclp 23194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-q 12950  df-ioo 13353  df-topgen 17472  df-top 22954  df-topon 22971  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196

This theorem is referenced by:  lptioo2  46207  lptioo1  46208  lptre2pt  46214