Theorem islptre 46630

Description: An equivalence condition for a limit point w.r.t. the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islptre.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
islptre.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
islptre.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
islptre	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐽,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏

Proof of Theorem islptre

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islptre.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		retopon 25082	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3	1, 2	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4	3	topontopi 23233	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		islptre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		islptre.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	3	toponunii 23234	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
9	8	islp2 23463	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
10	5, 6, 7, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
11		simp1r 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
12		iooretop 25084	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
13	12, 1	eleqtrri 2860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽)
15		snssi 4746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
16	15	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
17		ssidd 3954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
18		sseq2 3957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → ({𝐵} ⊆ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
19		sseq1 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
20	18, 19	anbi12d 644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → (({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
21	20	rspcev 3577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
22	14, 16, 17, 21	syl12anc 850	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
23		ioossre 13538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
24	22, 23	jctil 529	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
25		elioore 13506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	25	snssd 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → {𝐵} ⊆ ℝ)
27	26	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝐵} ⊆ ℝ)
28	8	isnei 23421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℝ) → ((𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
29	4, 27, 28	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
30	24, 29	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
31	30	3adant1 1148	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
32		ineq1 4159	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
33	32	neeq1d 3015	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ↔ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
34	33	rspccva 3576	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
35	11, 31, 34	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
36	35	3exp 1137	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
37	36	ralrimivv 3204	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
38	7	snssd 4747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
39	8	isnei 23421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℝ) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ (𝑛 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))))
40	4, 38, 39	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ (𝑛 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))))
41	40	simplbda 505	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))
42	1	eleq2i 2853	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
43	42	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
44	43	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
45		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝜑)
46		simp3l 1220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → {𝐵} ⊆ 𝑣)
47		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → {𝐵} ⊆ 𝑣)
48	7	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		snssg 4744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ 𝑣))
50	48, 49	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → (𝐵 ∈ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ 𝑣))
51	47, 50	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → 𝐵 ∈ 𝑣)
52	45, 46, 51	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝐵 ∈ 𝑣)
53	44, 52	jca 521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → (𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑣))
54		tg2 23283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑣) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣))
55		ioof 13578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
56		ffn 6709	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
57		ovelrn 7597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)))
58	55, 56, 57	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
59	58	birani 509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
60		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ 𝑢)
61		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
62	60, 61	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏))
63		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝑢 ⊆ 𝑣)
64	61, 63	eqsstrrd 3966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
65	62, 64	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
66	65	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) → (𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
67	66	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
68	67	reximdv 3178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
69	68	reximdv 3178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
70	59, 69	mpd 16	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
71	70	rexlimiva 3156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
72	53, 54, 71	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
73		simpl3r 1248	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → 𝑣 ⊆ 𝑛)
74	73	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → 𝑣 ⊆ 𝑛)
75		sstr 3939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)
76	75	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝑛 → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
77	74, 76	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
78	77	anim2d 624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
79	78	reximdva 3176	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
80	79	reximdva 3176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
81	72, 80	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
82	81	3exp 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐽 → (({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))))
83	82	rexlimdv 3162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
84	83	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
85	41, 84	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
86	85	adantlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
87		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
88		nfra1 3287	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
89	87, 88	nfan 1932	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
90		nfv 1947	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})
91	89, 90	nfan 1932	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
92		nfv 1947	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅
93		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
94		nfra2w 3299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
95	93, 94	nfan 1932	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
96		nfv 1947	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})
97	95, 96	nfan 1932	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
98		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑎 ∈ ℝ*
99	97, 98	nfan 1932	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*)
100		nfv 1947	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅
101		inss1 4182	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
102		simp3r 1221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)
103	101, 102	sstrid 3942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ 𝑛)
104		inss2 4183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})
105	104	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))
106	103, 105	ssind 4186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
107		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
108	107	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
109		simp1r 1217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
110		simp2 1155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
111	109, 110	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
112		simp3l 1220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏))
113		rsp2 3280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
114	108, 111, 112, 113	syl3c 67	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
115		ssn0 4355	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
116	106, 114, 115	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
117	116	3exp 1137	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (𝑏 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
118	99, 100, 117	rexlimd 3270	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
119	118	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (𝑎 ∈ ℝ* → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
120	91, 92, 119	rexlimd 3270	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
121	86, 120	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
122	121	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
123	37, 122	impbida 813	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
124	10, 123	bitrd 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  {csn 4584   × cxp 5649  ran crn 5652   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  ℝ^*cxr 11342  (,)cioo 13476  topGenctg 17608  Topctop 23211  TopOnctopon 23228  neicnei 23415  limPtclp 23452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-ioo 13480  df-topgen 17614  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454

This theorem is used by:  lptioo2  46642  lptioo1  46643  lptre2pt  46649