Theorem islptre 45590

Description: An equivalence condition for a limit point w.r.t. the standard topology on the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islptre.1	⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
islptre.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
islptre.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
islptre	⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏   𝐵,𝑎,𝑏   𝐽,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑏

Proof of Theorem islptre

Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islptre.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (topGen‘ran (,))
2		retopon 24627	. . . . . 6 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
3	1, 2	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ (TopOn‘ℝ)
4	3	topontopi 22778	. . . 4 ⊢ 𝐽 ∈ Top
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
6		islptre.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
7		islptre.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
8	3	toponunii 22779	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ 𝐽
9	8	islp2 23008	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
10	5, 6, 7, 9	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
11		simp1r 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
12		iooretop 24629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ (topGen‘ran (,))
13	12, 1	eleqtrri 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽)
15		snssi 4768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
16	15	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏))
17		ssidd 3967	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))
18		sseq2 3970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → ({𝐵} ⊆ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
19		sseq1 3969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏) ↔ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
20	18, 19	anbi12d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑣 = (𝑎(,)𝑏) → (({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)) ↔ ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
21	20	rspcev 3585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ (𝑎(,)𝑏))) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
22	14, 16, 17, 21	syl12anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))
23		ioossre 13344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ
24	22, 23	jctil 519	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏))))
25		elioore 13312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → 𝐵 ∈ ℝ)
26	25	snssd 4769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → {𝐵} ⊆ ℝ)
27	26	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → {𝐵} ⊆ ℝ)
28	8	isnei 22966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℝ) → ((𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
29	4, 27, 28	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ ((𝑎(,)𝑏) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ (𝑎(,)𝑏)))))
30	24, 29	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
31	30	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
32		ineq1 4172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑎(,)𝑏) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) = ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
33	32	neeq1d 2984	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑎(,)𝑏) → ((𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ↔ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
34	33	rspccva 3584	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ∧ (𝑎(,)𝑏) ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
35	11, 31, 34	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) ∧ (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
36	35	3exp 1119	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
37	36	ralrimivv 3176	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
38	7	snssd 4769	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ ℝ)
39	8	isnei 22966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ {𝐵} ⊆ ℝ) → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ (𝑛 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))))
40	4, 38, 39	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}) ↔ (𝑛 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))))
41	40	simplbda 499	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛))
42	1	eleq2i 2820	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 ↔ 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
43	42	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑣 ∈ 𝐽 → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
44	43	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)))
45		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝜑)
46		simp3l 1202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → {𝐵} ⊆ 𝑣)
47		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → {𝐵} ⊆ 𝑣)
48	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → 𝐵 ∈ ℝ)
49		snssg 4743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ 𝑣))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → (𝐵 ∈ 𝑣 ↔ {𝐵} ⊆ 𝑣))
51	47, 50	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ {𝐵} ⊆ 𝑣) → 𝐵 ∈ 𝑣)
52	45, 46, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → 𝐵 ∈ 𝑣)
53	44, 52	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → (𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑣))
54		tg2 22828	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑣 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐵 ∈ 𝑣) → ∃𝑢 ∈ ran (,)(𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣))
55		ioof 13384	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
56		ffn 6670	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
57		ovelrn 7545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)))
58	55, 56, 57	mp2b 10	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑢 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
59	58	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑢 ∈ ran (,) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
61		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ 𝑢)
62		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝑢 = (𝑎(,)𝑏))
63	61, 62	eleqtrd 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏))
64		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → 𝑢 ⊆ 𝑣)
65	62, 64	eqsstrrd 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)
66	63, 65	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) ∧ 𝑢 = (𝑎(,)𝑏)) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
67	66	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) → (𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
69	68	reximdv 3148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
70	69	reximdv 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑢 = (𝑎(,)𝑏) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣)))
71	60, 70	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑢 ∈ ran (,) ∧ (𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
72	71	rexlimiva 3126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑢 ∈ ran (,)(𝐵 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
73	53, 54, 72	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣))
74		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → 𝑣 ⊆ 𝑛)
75	74	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → 𝑣 ⊆ 𝑛)
76		sstr 3952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)
77	76	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ⊆ 𝑛 → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
78	75, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣 → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
79	78	anim2d 612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
80	79	reximdva 3146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
81	80	reximdva 3146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑣) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
82	73, 81	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝐽 ∧ ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛)) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
83	82	3exp 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ 𝐽 → (({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))))
84	83	rexlimdv 3132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
85	84	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (∃𝑣 ∈ 𝐽 ({𝐵} ⊆ 𝑣 ∧ 𝑣 ⊆ 𝑛) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)))
86	41, 85	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
87	86	adantlr 715	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛))
88		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎𝜑
89		nfra1 3259	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑎∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
90	88, 89	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎(𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
91		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑎 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})
92	90, 91	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
93		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑎(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅
94		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏𝜑
95		nfra2w 3272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
96	94, 95	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏(𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
97		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})
98	96, 97	nfan 1899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵}))
99		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑏 𝑎 ∈ ℝ*
100	98, 99	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*)
101		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅
102		inss1 4196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑎(,)𝑏)
103		simp3r 1203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)
104	102, 103	sstrid 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ 𝑛)
105		inss2 4197	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵})
106	105	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝐴 ∖ {𝐵}))
107	104, 106	ssind 4200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})))
108		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
109	108	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
110		simp1r 1199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝑎 ∈ ℝ*)
111		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝑏 ∈ ℝ*)
112	110, 111	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*))
113		simp3l 1202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → 𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏))
114		rsp2 3252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
115	109, 112, 113, 114	syl3c 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
116		ssn0 4363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ⊆ (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ∧ ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
117	107, 115, 116	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛)) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
118	117	3exp 1119	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (𝑏 ∈ ℝ* → ((𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
119	100, 101, 118	rexlimd 3242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) ∧ 𝑎 ∈ ℝ*) → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
120	119	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (𝑎 ∈ ℝ* → (∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
121	92, 93, 120	rexlimd 3242	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) ∧ (𝑎(,)𝑏) ⊆ 𝑛) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅))
122	87, 121	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) ∧ 𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})) → (𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
123	122	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)) → ∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)
124	37, 123	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑛 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝐵})(𝑛 ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))
125	10, 124	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ((limPt‘𝐽)‘𝐴) ↔ ∀𝑎 ∈ ℝ* ∀𝑏 ∈ ℝ* (𝐵 ∈ (𝑎(,)𝑏) → ((𝑎(,)𝑏) ∩ (𝐴 ∖ {𝐵})) ≠ ∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3908   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  ∅c0 4292  𝒫 cpw 4559  {csn 4585   × cxp 5629  ran crn 5632   Fn wfn 6494  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  ℝ^*cxr 11183  (,)cioo 13282  topGenctg 17376  Topctop 22756  TopOnctopon 22773  neicnei 22960  limPtclp 22997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-ioo 13286  df-topgen 17382  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809  df-cld 22882  df-ntr 22883  df-cls 22884  df-nei 22961  df-lp 22999

This theorem is referenced by:  lptioo2  45602  lptioo1  45603  lptre2pt  45611