Theorem jm2.27dlem4 38520

Description: Lemma for rmydioph 38522. Infer ℕ-hood of large numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27dlem3.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
jm2.27dlem4.2	⊢ 𝐵 = (𝐴 + 1)

Assertion

Ref	Expression
jm2.27dlem4	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem jm2.27dlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27dlem4.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐴 + 1)
2		jm2.27dlem3.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		peano2nn 11388	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2854	1 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  (class class class)co 6922  1c1 10273   + caddc 10275  ℕcn 11374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-nn 11375

This theorem is referenced by: (None)