Theorem jm2.27dlem4 42962

Description: Lemma for rmydioph 42964. Infer ℕ-hood of large numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
jm2.27dlem3.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ
jm2.27dlem4.2	⊢ 𝐵 = (𝐴 + 1)

Assertion

Ref	Expression
jm2.27dlem4	⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Proof of Theorem jm2.27dlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		jm2.27dlem4.2	. 2 ⊢ 𝐵 = (𝐴 + 1)
2		jm2.27dlem3.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
3		peano2nn 12259	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2829	1 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7412  1c1 11137   + caddc 11139  ℕcn 12247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7415  df-om 7869  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-nn 12248

This theorem is referenced by: (None)