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Theorem rmydioph 38108
Description: jm2.27 38102 restated in terms of Diophantine sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rmydioph {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmydioph
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8032 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
2 2nn 11388 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
32jm2.27dlem3 38105 . . . . . . . 8 2 ∈ (1...2)
4 df-3 11283 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
53, 4, 2jm2.27dlem2 38104 . . . . . . 7 2 ∈ (1...3)
6 ffvelrn 6501 . . . . . . 7 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
71, 5, 6sylancl 568 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
8 elnn0 11497 . . . . . 6 ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
97, 8sylib 208 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
10 iba 513 . . . . . . 7 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))))
11 andi 981 . . . . . . 7 (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))
1210, 11syl6bb 276 . . . . . 6 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))))
1312anbi2d 608 . . . . 5 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
149, 13syl 17 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
15 simplr 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2))
16 nnz 11602 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
1716adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
18 frmy 38006 . . . . . . . . . . . . . 14 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
1918fovcl 6913 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
2015, 17, 19syl2anc 567 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
21 rmy0 38021 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
2221ad2antlr 700 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
23 nngt0 11252 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → 0 < (𝑎‘2))
2423adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < (𝑎‘2))
25 0zd 11592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
26 ltrmy 38046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
2715, 25, 17, 26syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
2824, 27mpbid 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))
2922, 28eqbrtrrd 4811 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))
30 elnnz 11590 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ ↔ (((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
3120, 29, 30sylanbrc 566 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ)
32 eleq1 2838 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) → ((𝑎‘3) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ))
3331, 32syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ))
3433pm4.71rd 546 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))))
35 simpllr 754 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2))
36 simplr 746 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℕ)
37 simpr 471 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘3) ∈ ℕ)
38 jm2.27 38102 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
4039pm5.32da 562 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
4134, 40bitrd 268 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
4241ex 397 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))))
4342pm5.32rd 561 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
44 oveq2 6802 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm 0))
4544adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm 0))
4621ad2antlr 700 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
4745, 46eqtrd 2805 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = 0)
4847eqeq2d 2781 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
4948ex 397 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
5049pm5.32rd 561 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))
5143, 50orbi12d 896 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)) ↔ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))))
5251pm5.32da 562 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
5314, 52bitrd 268 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
5453rabbiia 3334 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))}
55 3nn0 11513 . . . 4 3 ∈ ℕ0
56 2z 11612 . . . 4 2 ∈ ℤ
57 ovex 6824 . . . . 5 (1...3) ∈ V
58 1nn 11234 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
5958jm2.27dlem3 38105 . . . . . . 7 1 ∈ (1...1)
60 df-2 11282 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
6159, 60, 58jm2.27dlem2 38104 . . . . . 6 1 ∈ (1...2)
6261, 4, 2jm2.27dlem2 38104 . . . . 5 1 ∈ (1...3)
63 mzpproj 37827 . . . . 5 (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
6457, 62, 63mp2an 666 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
65 eluzrabdioph 37897 . . . 4 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3))
6655, 56, 64, 65mp3an 1572 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3)
67 3nn 11389 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
6867jm2.27dlem3 38105 . . . . . . . 8 3 ∈ (1...3)
69 mzpproj 37827 . . . . . . . 8 (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
7057, 68, 69mp2an 666 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
71 elnnrabdioph 37898 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
7255, 70, 71mp2an 666 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
73 fvex 6343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖‘8) ∈ V
74 fvex 6343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖‘9) ∈ V
75 fvex 6343 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖10) ∈ V
76 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔 = (𝑖‘9) → (𝑔↑2) = ((𝑖‘9)↑2))
77 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓↑2) = ((𝑖‘8)↑2))
7877oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2)) = (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
7976, 78oveqan12rd 6814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → ((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
8079eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
81803adant3 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
82 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( = (𝑖10) → ( + 1) = ((𝑖10) + 1))
8382oveq1d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( = (𝑖10) → (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))))
8483eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = (𝑖10) → (𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
85843ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
8681, 853anbi12d 1548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))))
8786anbi2d 608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))))))
88 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))
8988breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3)) ↔ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
9089anbi2d 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
91 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)))
9291breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑖‘8) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2))))
9392anbi1d 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))
9490, 93anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑖‘8) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
95943ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9687, 95anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
9773, 74, 75, 96sbc3ie 3658 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9897sbcbii 3644 . . . . . . . . . . . . . 14 ([(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9998sbcbii 3644 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
10099sbcbii 3644 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
101100sbcbii 3644 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
102101sbcbii 3644 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
103 fvex 6343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘5) ∈ V
104 fvex 6343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘6) ∈ V
105 fvex 6343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘7) ∈ V
106 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
1071063ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
108 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐↑2) = ((𝑖‘5)↑2))
109108oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑖‘5) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
1101093ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
111107, 110oveq12d 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
112111eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
113 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)))
1141133ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)))
115112, 1143anbi23d 1550 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ↔ (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))))
116 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒↑2) = ((𝑖‘7)↑2))
117116oveq1d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((𝑒↑2) − 1) = (((𝑖‘7)↑2) − 1))
118117oveq1d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)) = ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
119118oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
120119eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
1211203ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
122 eqeq1 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
1231223ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
124 simp2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → 𝑑 = (𝑖‘6))
125 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
1261253ad2ant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
127124, 126breq12d 4800 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))
128121, 123, 1273anbi123d 1547 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))))
129115, 128anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))))
130 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − 1) = ((𝑖‘7) − 1))
131130breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
132 breq1 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
133131, 132bi2anan9r 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
134133anbi1d 609 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
1351343adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
136129, 135anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
137103, 104, 105, 136sbc3ie 3658 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
138137sbcbii 3644 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
139138sbcbii 3644 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
140 vex 3354 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ V
141140resex 5585 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ↾ (1...3)) ∈ V
142 fvex 6343 . . . . . . . . . . 11 (𝑖‘4) ∈ V
143 oveq1 6801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑖‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑖‘4)↑2))
14462jm2.27dlem1 38103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑖‘1))
145144oveq1d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑖‘1)↑2))
146145oveq1d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑖‘1)↑2) − 1))
14768jm2.27dlem1 38103 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑖‘3))
148147oveq1d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑖‘3)↑2))
149146, 148oveq12d 6812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))
150143, 149oveqan12rd 6814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))))
151150eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1))
152146oveq1d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
153152oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
154153eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
155154adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
156151, 1553anbi12d 1548 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))))
157148oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · ((𝑎‘3)↑2)) = (2 · ((𝑖‘3)↑2)))
158157oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))))
159158eqeq2d 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))))
160144oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))
161160breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))
162159, 1613anbi23d 1550 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
163162adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
164156, 163anbi12d 610 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ↔ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))))
165147oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · (𝑎‘3)) = (2 · (𝑖‘3)))
166165breq1d 4797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
167147oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))
168167breq2d 4799 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))))
169166, 168anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))))
1705jm2.27dlem1 38103 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑖‘2))
171170oveq2d 6810 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)))
172165, 171breq12d 4800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))))
173170, 147breq12d 4800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3) ↔ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))
174172, 173anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))
175169, 174anbi12d 610 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
176175adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
177164, 176anbi12d 610 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))))
178141, 142, 177sbc2ie 3656 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
179102, 139, 1783bitri 286 . . . . . . . . 9 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
180179rabbii 3335 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} = {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))}
181 10nn0 11719 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℕ0
182 ovex 6824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...10) ∈ V
183 df-5 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 = (4 + 1)
184 df-6 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 = (5 + 1)
185 df-7 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7 = (6 + 1)
186 df-8 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 = (7 + 1)
187 df-9 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9 = (8 + 1)
188 9p1e10 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (9 + 1) = 10
189188eqcomi 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10 = (9 + 1)
190 ssid 3774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...10) ⊆ (1...10)
191189, 190jm2.27dlem5 38107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1...9) ⊆ (1...10)
192187, 191jm2.27dlem5 38107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...8) ⊆ (1...10)
193186, 192jm2.27dlem5 38107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...7) ⊆ (1...10)
194185, 193jm2.27dlem5 38107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...6) ⊆ (1...10)
195184, 194jm2.27dlem5 38107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...5) ⊆ (1...10)
196183, 195jm2.27dlem5 38107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...4) ⊆ (1...10)
197 4nn 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ
198197jm2.27dlem3 38105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ (1...4)
199196, 198sselii 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ (1...10)
200 mzpproj 37827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
201182, 199, 200mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
202 2nn0 11512 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
203 mzpexpmpt 37835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
204201, 202, 203mp2an 666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
205 df-4 11284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 = (3 + 1)
206205, 196jm2.27dlem5 38107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...3) ⊆ (1...10)
2074, 206jm2.27dlem5 38107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...2) ⊆ (1...10)
20860, 207jm2.27dlem5 38107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...1) ⊆ (1...10)
209208, 59sselii 3750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ (1...10)
210 mzpproj 37827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1...10) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
211182, 209, 210mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
212 mzpexpmpt 37835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
213211, 202, 212mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
214 1z 11610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
215 mzpconstmpt 37830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
216182, 214, 215mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))
217 mzpsubmpt 37833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
218213, 216, 217mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
219206, 68sselii 3750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ (1...10)
220 mzpproj 37827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
221182, 219, 220mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
222 mzpexpmpt 37835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
223221, 202, 222mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
224 mzpmulmpt 37832 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
225218, 223, 224mp2an 666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
226 mzpsubmpt 37833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
227204, 225, 226mp2an 666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
228 eqrabdioph 37868 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
229181, 227, 216, 228mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
230 6nn 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ
231230jm2.27dlem3 38105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ (1...6)
232194, 231sselii 3750 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ (1...10)
233 mzpproj 37827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
234182, 232, 233mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
235 mzpexpmpt 37835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
236234, 202, 235mp2an 666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
237 5nn 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 ∈ ℕ
238237jm2.27dlem3 38105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ (1...5)
239195, 238sselii 3750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ (1...10)
240 mzpproj 37827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
241182, 239, 240mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
242 mzpexpmpt 37835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
243241, 202, 242mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
244 mzpmulmpt 37832 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
245218, 243, 244mp2an 666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
246 mzpsubmpt 37833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
247236, 245, 246mp2an 666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
248 eqrabdioph 37868 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
249181, 247, 216, 248mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
250 7nn 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℕ
251250jm2.27dlem3 38105 . . . . . . . . . . . . . 14 7 ∈ (1...7)
252193, 251sselii 3750 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ (1...10)
253 mzpproj 37827 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...10) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
254182, 252, 253mp2an 666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
255 eluzrabdioph 37897 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10))
256181, 56, 254, 255mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10)
257 3anrabdioph 37873 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10))
258229, 249, 256, 257mp3an 1572 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10)
259 9nn 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 9 ∈ ℕ
260259jm2.27dlem3 38105 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ (1...9)
261260, 189, 259jm2.27dlem2 38104 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ (1...10)
262 mzpproj 37827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 9 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
263182, 261, 262mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
264 mzpexpmpt 37835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
265263, 202, 264mp2an 666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
266 mzpexpmpt 37835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
267254, 202, 266mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
268 mzpsubmpt 37833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
269267, 216, 268mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
270 8nn 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℕ
271270jm2.27dlem3 38105 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ (1...8)
272192, 271sselii 3750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ (1...10)
273 mzpproj 37827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 8 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
274182, 272, 273mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
275 mzpexpmpt 37835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
276274, 202, 275mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
277 mzpmulmpt 37832 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
278269, 276, 277mp2an 666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
279 mzpsubmpt 37833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
280265, 278, 279mp2an 666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
281 eqrabdioph 37868 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
282181, 280, 216, 281mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
283 10nn 11717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ∈ ℕ
284283jm2.27dlem3 38105 . . . . . . . . . . . . . . 15 10 ∈ (1...10)
285 mzpproj 37827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 10 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
286182, 284, 285mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
287 mzpaddmpt 37831 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
288286, 216, 287mp2an 666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
289 mzpconstmpt 37830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
290182, 56, 289mp2an 666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10))
291 mzpmulmpt 37832 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
292290, 223, 291mp2an 666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
293 mzpmulmpt 37832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
294288, 292, 293mp2an 666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
295 eqrabdioph 37868 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10))
296181, 241, 294, 295mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10)
297 mzpsubmpt 37833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
298254, 211, 297mp2an 666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
299 dvdsrabdioph 37901 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10))
300181, 234, 298, 299mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10)
301 3anrabdioph 37873 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10))
302282, 296, 300, 301mp3an 1572 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10)
303 anrabdioph 37871 . . . . . . . . . 10 (({𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10))
304258, 302, 303mp2an 666 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10)
305 mzpmulmpt 37832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
306290, 221, 305mp2an 666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
307 mzpsubmpt 37833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
308254, 216, 307mp2an 666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
309 dvdsrabdioph 37901 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10))
310181, 306, 308, 309mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10)
311 mzpsubmpt 37833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
312274, 221, 311mp2an 666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
313 dvdsrabdioph 37901 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10))
314181, 234, 312, 313mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)
315 anrabdioph 37871 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10))
316310, 314, 315mp2an 666 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)
317207, 3sselii 3750 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (1...10)
318 mzpproj 37827 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...10) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
319182, 317, 318mp2an 666 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
320 mzpsubmpt 37833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
321274, 319, 320mp2an 666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
322 dvdsrabdioph 37901 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10))
323181, 306, 321, 322mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10)
324 lerabdioph 37896 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10))
325181, 319, 221, 324mp3an 1572 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10)
326 anrabdioph 37871 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10))
327323, 325, 326mp2an 666 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)
328 anrabdioph 37871 . . . . . . . . . 10 (({𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10))
329316, 327, 328mp2an 666 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)
330 anrabdioph 37871 . . . . . . . . 9 (({𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘10))
331304, 329, 330mp2an 666 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘10)
332180, 331eqeltri 2846 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘10)
333205, 183, 184, 185, 186, 187, 1897rexfrabdioph 37891 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0𝑚 (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3))
33455, 332, 333mp2an 666 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)
335 anrabdioph 37871 . . . . . 6 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3))
33672, 334, 335mp2an 666 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3)
337 mzpproj 37827 . . . . . . 7 (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
33857, 5, 337mp2an 666 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
339 elnnrabdioph 37898 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
34055, 338, 339mp2an 666 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
341 anrabdioph 37871 . . . . 5 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3))
342336, 340, 341mp2an 666 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3)
343 eq0rabdioph 37867 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
34455, 70, 343mp2an 666 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
345 eq0rabdioph 37867 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑𝑚 (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
34655, 338, 345mp2an 666 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
347 anrabdioph 37871 . . . . 5 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
348344, 346, 347mp2an 666 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
349 orrabdioph 37872 . . . 4 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
350342, 348, 349mp2an 666 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
351 anrabdioph 37871 . . 3 (({𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
35266, 350, 351mp2an 666 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
35354, 352eqeltri 2846 1 {𝑎 ∈ (ℕ0𝑚 (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382  wo 828  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3351  [wsbc 3588   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cres 5252  wf 6028  cfv 6032  (class class class)co 6794  𝑚 cmap 8010  0cc0 10139  1c1 10140   + caddc 10142   · cmul 10144   < clt 10277  cle 10278  cmin 10469  cn 11223  2c2 11273  3c3 11274  4c4 11275  5c5 11276  6c6 11277  7c7 11278  8c8 11279  9c9 11280  0cn0 11495  cz 11580  cdc 11696  cuz 11889  ...cfz 12534  cexp 13068  cdvds 15190  mzPolycmzp 37812  Diophcdioph 37845   Yrm crmy 37992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217  ax-addf 10218  ax-mulf 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-omul 7719  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-ixp 8064  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-acn 8969  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-xnn0 11567  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xneg 12152  df-xadd 12153  df-xmul 12154  df-ioo 12385  df-ioc 12386  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-mod 12878  df-seq 13010  df-exp 13069  df-fac 13266  df-bc 13295  df-hash 13323  df-shft 14016  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-limsup 14411  df-clim 14428  df-rlim 14429  df-sum 14626  df-ef 15005  df-sin 15007  df-cos 15008  df-pi 15010  df-dvds 15191  df-gcd 15426  df-prm 15594  df-numer 15651  df-denom 15652  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-starv 16165  df-sca 16166  df-vsca 16167  df-ip 16168  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16292  df-topn 16293  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-topgen 16313  df-pt 16314  df-prds 16317  df-xrs 16371  df-qtop 16376  df-imas 16377  df-xps 16379  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-mulg 17750  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-psmet 19954  df-xmet 19955  df-met 19956  df-bl 19957  df-mopn 19958  df-fbas 19959  df-fg 19960  df-cnfld 19963  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23851  df-dv 23852  df-log 24525  df-mzpcl 37813  df-mzp 37814  df-dioph 37846  df-squarenn 37932  df-pell1qr 37933  df-pell14qr 37934  df-pell1234qr 37935  df-pellfund 37936  df-rmx 37993  df-rmy 37994
This theorem is referenced by:  rmxdioph  38110  expdiophlem2  38116
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