rmydioph - Mathbox for Stefan O'Rear

	Mathbox for Stefan O'Rear		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > rmydioph		Structured version Visualization version GIF version

Theorem rmydioph 43468

Description: jm2.27 43462 restated in terms of Diophantine sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
rmydioph	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmydioph Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8787	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ₀)
2		2nn 12246	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	jm2.27dlem3 43465	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...2)
4		df-3 12237	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
5	3, 4, 2	jm2.27dlem2 43464	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (1...3)
6		ffvelcdm 7023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ₀ ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ₀)
7	1, 5, 6	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ₀)
8		elnn0 12431	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
9	7, 8	sylib 219	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
10		iba 532	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))))
11		andi 1015	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))
12	10, 11	bitrdi 288	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))))
13	12	anbi2d 636	. . . . 5 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
14	9, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
15		simplr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2))
16		nnz 12537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
17	16	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
18		frmy 43368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
19	18	fovcl 7485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
20	15, 17, 19	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
21		rmy0 43383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑎‘1) Y_rm 0) = 0)
22	21	ad2antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Y_rm 0) = 0)
23		nngt0 12200	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → 0 < (𝑎‘2))
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < (𝑎‘2))
25		0zd 12528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
26		ltrmy 43406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Y_rm 0) < ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))))
27	15, 25, 17, 26	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Y_rm 0) < ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))))
28	24, 27	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Y_rm 0) < ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))
29	22, 28	eqbrtrrd 5097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))
30		elnnz 12526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℕ ↔ (((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))))
31	20, 29, 30	sylanbrc 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℕ)
32		eleq1 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) → ((𝑎‘3) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℕ))
33	31, 32	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ))
34	33	pm4.71rd 567	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))))
35		simpllr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2))
36		simplr 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℕ)
37		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘3) ∈ ℕ)
38		jm2.27 43462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
40	39	pm5.32da 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
41	34, 40	bitrd 280	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
42	41	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))))
43	42	pm5.32rd 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
44		oveq2 7365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Y_rm 0))
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Y_rm 0))
46	21	ad2antlr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Y_rm 0) = 0)
47	45, 46	eqtrd 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) = 0)
48	47	eqeq2d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
49	48	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
50	49	pm5.32rd 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))
51	43, 50	orbi12d 924	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)) ↔ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))))
52	51	pm5.32da 584	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
53	14, 52	bitrd 280	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
54	53	rabbiia 3395	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))}
55		3nn0 12447	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
56		2z 12551	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ (1...3) ∈ V
58		1nn 12177	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
59	58	jm2.27dlem3 43465	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (1...1)
60		df-2 12236	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
61	59, 60, 58	jm2.27dlem2 43464	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (1...2)
62	61, 4, 2	jm2.27dlem2 43464	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1...3)
63		mzpproj 43195	. . . . 5 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
64	57, 62, 63	mp2an 698	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
65		eluzrabdioph 43260	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘3))
66	55, 56, 64, 65	mp3an 1469	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘3)
67		3nn 12252	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
68	67	jm2.27dlem3 43465	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ (1...3)
69		mzpproj 43195	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
70	57, 68, 69	mp2an 698	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
71		elnnrabdioph 43261	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
72	55, 70, 71	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
73		fvex 6841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖‘8) ∈ V
74		fvex 6841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖‘9) ∈ V
75		fvex 6841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖‘;10) ∈ V
76		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = (𝑖‘9) → (𝑔↑2) = ((𝑖‘9)↑2))
77		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓↑2) = ((𝑖‘8)↑2))
78	77	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2)) = (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
79	76, 78	oveqan12rd 7377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → ((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
80	79	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
81	80	3adant3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
82		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = (𝑖‘;10) → (ℎ + 1) = ((𝑖‘;10) + 1))
83	82	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (𝑖‘;10) → ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))))
84	83	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑖‘;10) → (𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
85	84	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → (𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
86	81, 85	3anbi12d 1445	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → ((((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))))
87	86	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))))))
88		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))
89	88	breq2d 5085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3)) ↔ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
90	89	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
91		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)))
92	91	breq2d 5085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2))))
93	92	anbi1d 637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))
94	90, 93	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
95	94	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
96	87, 95	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
97	73, 74, 75, 96	sbc3ie 3800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
98	97	sbcbii 3779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
99	98	sbcbii 3779	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
100	99	sbcbii 3779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
101	100	sbcbii 3779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
102	101	sbcbii 3779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
103		fvex 6841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖‘5) ∈ V
104		fvex 6841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖‘6) ∈ V
105		fvex 6841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖‘7) ∈ V
106		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
107	106	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
108		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐↑2) = ((𝑖‘5)↑2))
109	108	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = (𝑖‘5) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
110	109	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
111	107, 110	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
112	111	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
113		eleq1 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)))
114	113	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)))
115	112, 114	3anbi23d 1447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2))))
116		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒↑2) = ((𝑖‘7)↑2))
117	116	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → ((𝑒↑2) − 1) = (((𝑖‘7)↑2) − 1))
118	117	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)) = ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
119	118	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
120	119	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
121	120	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
122		eqeq1 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
123	122	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
124		simp2 1143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → 𝑑 = (𝑖‘6))
125		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
126	125	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
127	124, 126	breq12d 5086	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))
128	121, 123, 127	3anbi123d 1444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))))
129	115, 128	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))))
130		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − 1) = ((𝑖‘7) − 1))
131	130	breq2d 5085	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
132		breq1 5076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
133	131, 132	bi2anan9r 645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
134	133	anbi1d 637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
135	134	3adant1 1136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
136	129, 135	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
137	103, 104, 105, 136	sbc3ie 3800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
138	137	sbcbii 3779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
139	138	sbcbii 3779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
140		vex 3435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑖 ∈ V
141	140	resex 5982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ↾ (1...3)) ∈ V
142		fvex 6841	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖‘4) ∈ V
143		oveq1 7364	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑖‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑖‘4)↑2))
144	62	jm2.27dlem1 43463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑖‘1))
145	144	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑖‘1)↑2))
146	145	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑖‘1)↑2) − 1))
147	68	jm2.27dlem1 43463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑖‘3))
148	147	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑖‘3)↑2))
149	146, 148	oveq12d 7375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))
150	143, 149	oveqan12rd 7377	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))))
151	150	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1))
152	146	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
153	152	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
154	153	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
155	154	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
156	151, 155	3anbi12d 1445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2))))
157	148	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · ((𝑎‘3)↑2)) = (2 · ((𝑖‘3)↑2)))
158	157	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))))
159	158	eqeq2d 2750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))))
160	144	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))
161	160	breq2d 5085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))
162	159, 161	3anbi23d 1447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
163	162	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
164	156, 163	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ↔ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))))
165	147	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · (𝑎‘3)) = (2 · (𝑖‘3)))
166	165	breq1d 5083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
167	147	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))
168	167	breq2d 5085	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))))
169	166, 168	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))))
170	5	jm2.27dlem1 43463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑖‘2))
171	170	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)))
172	165, 171	breq12d 5086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))))
173	170, 147	breq12d 5086	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3) ↔ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))
174	172, 173	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))
175	169, 174	anbi12d 638	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
176	175	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
177	164, 176	anbi12d 638	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))))
178	141, 142, 177	sbc2ie 3798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
179	102, 139, 178	3bitri 298	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
180	179	rabbii 3396	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} = {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))}
181		10nn0 12654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℕ₀
182		ovex 7390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...;10) ∈ V
183		df-5 12239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 = (4 + 1)
184		df-6 12240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 = (5 + 1)
185		df-7 12241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 7 = (6 + 1)
186		df-8 12242	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 = (7 + 1)
187		df-9 12243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 9 = (8 + 1)
188		9p1e10 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (9 + 1) = ;10
189	188	eqcomi 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;10 = (9 + 1)
190		ssid 3937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1...;10) ⊆ (1...;10)
191	189, 190	jm2.27dlem5 43467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1...9) ⊆ (1...;10)
192	187, 191	jm2.27dlem5 43467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...8) ⊆ (1...;10)
193	186, 192	jm2.27dlem5 43467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...7) ⊆ (1...;10)
194	185, 193	jm2.27dlem5 43467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...6) ⊆ (1...;10)
195	184, 194	jm2.27dlem5 43467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1...5) ⊆ (1...;10)
196	183, 195	jm2.27dlem5 43467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...4) ⊆ (1...;10)
197		4nn 12256	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℕ
198	197	jm2.27dlem3 43465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ (1...4)
199	196, 198	sselii 3912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ (1...;10)
200		mzpproj 43195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
201	182, 199, 200	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
202		2nn0 12446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
203		mzpexpmpt 43203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
204	201, 202, 203	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
205		df-4 12238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 = (3 + 1)
206	205, 196	jm2.27dlem5 43467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...3) ⊆ (1...;10)
207	4, 206	jm2.27dlem5 43467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...2) ⊆ (1...;10)
208	60, 207	jm2.27dlem5 43467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...1) ⊆ (1...;10)
209	208, 59	sselii 3912	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ (1...;10)
210		mzpproj 43195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
211	182, 209, 210	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
212		mzpexpmpt 43203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
213	211, 202, 212	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
214		1z 12549	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℤ
215		mzpconstmpt 43198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
216	182, 214, 215	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
217		mzpsubmpt 43201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
218	213, 216, 217	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
219	206, 68	sselii 3912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ (1...;10)
220		mzpproj 43195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
221	182, 219, 220	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
222		mzpexpmpt 43203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
223	221, 202, 222	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
224		mzpmulmpt 43200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
225	218, 223, 224	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
226		mzpsubmpt 43201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
227	204, 225, 226	mp2an 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
228		eqrabdioph 43235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10))
229	181, 227, 216, 228	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10)
230		6nn 12262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 6 ∈ ℕ
231	230	jm2.27dlem3 43465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 ∈ (1...6)
232	194, 231	sselii 3912	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ (1...;10)
233		mzpproj 43195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
234	182, 232, 233	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
235		mzpexpmpt 43203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
236	234, 202, 235	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
237		5nn 12259	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 5 ∈ ℕ
238	237	jm2.27dlem3 43465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ (1...5)
239	195, 238	sselii 3912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ (1...;10)
240		mzpproj 43195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
241	182, 239, 240	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
242		mzpexpmpt 43203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
243	241, 202, 242	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
244		mzpmulmpt 43200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
245	218, 243, 244	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
246		mzpsubmpt 43201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
247	236, 245, 246	mp2an 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
248		eqrabdioph 43235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10))
249	181, 247, 216, 248	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10)
250		7nn 12265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ
251	250	jm2.27dlem3 43465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ (1...7)
252	193, 251	sselii 3912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ (1...;10)
253		mzpproj 43195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
254	182, 252, 253	mp2an 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
255		eluzrabdioph 43260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘;10))
256	181, 56, 254, 255	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘;10)
257		3anrabdioph 43240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2))} ∈ (Dioph‘;10))
258	229, 249, 256, 257	mp3an 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2))} ∈ (Dioph‘;10)
259		9nn 12271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 9 ∈ ℕ
260	259	jm2.27dlem3 43465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 ∈ (1...9)
261	260, 189, 259	jm2.27dlem2 43464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 ∈ (1...;10)
262		mzpproj 43195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 9 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
263	182, 261, 262	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
264		mzpexpmpt 43203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
265	263, 202, 264	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
266		mzpexpmpt 43203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
267	254, 202, 266	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
268		mzpsubmpt 43201	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
269	267, 216, 268	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
270		8nn 12268	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 8 ∈ ℕ
271	270	jm2.27dlem3 43465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ (1...8)
272	192, 271	sselii 3912	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ (1...;10)
273		mzpproj 43195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 8 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
274	182, 272, 273	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
275		mzpexpmpt 43203	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
276	274, 202, 275	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
277		mzpmulmpt 43200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
278	269, 276, 277	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
279		mzpsubmpt 43201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
280	265, 278, 279	mp2an 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
281		eqrabdioph 43235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10))
282	181, 280, 216, 281	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10)
283		10nn 12652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;10 ∈ ℕ
284	283	jm2.27dlem3 43465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;10 ∈ (1...;10)
285		mzpproj 43195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ ;10 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘;10)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
286	182, 284, 285	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘;10)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
287		mzpaddmpt 43199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘;10)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘;10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
288	286, 216, 287	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘;10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
289		mzpconstmpt 43198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
290	182, 56, 289	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
291		mzpmulmpt 43200	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
292	290, 223, 291	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
293		mzpmulmpt 43200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘;10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
294	288, 292, 293	mp2an 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
295		eqrabdioph 43235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘;10))
296	181, 241, 294, 295	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘;10)
297		mzpsubmpt 43201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
298	254, 211, 297	mp2an 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
299		dvdsrabdioph 43264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘;10))
300	181, 234, 298, 299	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘;10)
301		3anrabdioph 43240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘;10))
302	282, 296, 300, 301	mp3an 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘;10)
303		anrabdioph 43238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘;10))
304	258, 302, 303	mp2an 698	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘;10)
305		mzpmulmpt 43200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
306	290, 221, 305	mp2an 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
307		mzpsubmpt 43201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
308	254, 216, 307	mp2an 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
309		dvdsrabdioph 43264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘;10))
310	181, 306, 308, 309	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘;10)
311		mzpsubmpt 43201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
312	274, 221, 311	mp2an 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
313		dvdsrabdioph 43264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10))
314	181, 234, 312, 313	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)
315		anrabdioph 43238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10))
316	310, 314, 315	mp2an 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10)
317	207, 3	sselii 3912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ (1...;10)
318		mzpproj 43195	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
319	182, 317, 318	mp2an 698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
320		mzpsubmpt 43201	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
321	274, 319, 320	mp2an 698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
322		dvdsrabdioph 43264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘;10))
323	181, 306, 321, 322	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘;10)
324		lerabdioph 43259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘;10))
325	181, 319, 221, 324	mp3an 1469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘;10)
326		anrabdioph 43238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10))
327	323, 325, 326	mp2an 698	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)
328		anrabdioph 43238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10))
329	316, 327, 328	mp2an 698	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10)
330		anrabdioph 43238	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘;10))
331	304, 329, 330	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘;10)
332	180, 331	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘;10)
333	205, 183, 184, 185, 186, 187, 189	7rexfrabdioph 43254	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3))
334	55, 332, 333	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)
335		anrabdioph 43238	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3))
336	72, 334, 335	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3)
337		mzpproj 43195	. . . . . . 7 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
338	57, 5, 337	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
339		elnnrabdioph 43261	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
340	55, 338, 339	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
341		anrabdioph 43238	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3))
342	336, 340, 341	mp2an 698	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3)
343		eq0rabdioph 43234	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
344	55, 70, 343	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
345		eq0rabdioph 43234	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
346	55, 338, 345	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
347		anrabdioph 43238	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
348	344, 346, 347	mp2an 698	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
349		orrabdioph 43239	. . . 4 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
350	342, 348, 349	mp2an 698	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
351		anrabdioph 43238	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
352	66, 350, 351	mp2an 698	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
353	54, 352	eqeltri 2835	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∨ wo 853 ∧ w3a 1092 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ∃wrex 3063 {crab 3391 Vcvv 3431 [wsbc 3723 class class class wbr 5073 ↦ cmpt 5154 ↾ cres 5621 ⟶wf 6482 ‘cfv 6486 (class class class)co 7357 ↑_m cmap 8764 0cc0 11030 1c1 11031 + caddc 11033 · cmul 11035 < clt 11171 ≤ cle 11172 − cmin 11369 ℕcn 12166 2c2 12228 3c3 12229 4c4 12230 5c5 12231 6c6 12232 7c7 12233 8c8 12234 9c9 12235 ℕ₀cn0 12429 ℤcz 12516 cdc 12636 ℤ_≥cuz 12780 ...cfz 13453 ↑cexp 14015 ∥ cdvds 16213 mzPolycmzp 43180 Diophcdioph 43213 Y_rm crmy 43355

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2711 ax-rep 5200 ax-sep 5219 ax-nul 5229 ax-pow 5295 ax-pr 5363 ax-un 7679 ax-inf2 9554 ax-cnex 11086 ax-resscn 11087 ax-1cn 11088 ax-icn 11089 ax-addcl 11090 ax-addrcl 11091 ax-mulcl 11092 ax-mulrcl 11093 ax-mulcom 11094 ax-addass 11095 ax-mulass 11096 ax-distr 11097 ax-i2m1 11098 ax-1ne0 11099 ax-1rid 11100 ax-rnegex 11101 ax-rrecex 11102 ax-cnre 11103 ax-pre-lttri 11104 ax-pre-lttrn 11105 ax-pre-ltadd 11106 ax-pre-mulgt0 11107 ax-pre-sup 11108 ax-addf 11109

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2718 df-cleq 2731 df-clel 2814 df-nfc 2888 df-ne 2935 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3064 df-rmo 3344 df-reu 3345 df-rab 3392 df-v 3433 df-sbc 3724 df-csb 3832 df-dif 3886 df-un 3888 df-in 3890 df-ss 3900 df-pss 3903 df-nul 4263 df-if 4456 df-pw 4532 df-sn 4557 df-pr 4559 df-tp 4561 df-op 4563 df-uni 4840 df-int 4879 df-iun 4924 df-iin 4925 df-br 5074 df-opab 5136 df-mpt 5155 df-tr 5181 df-id 5514 df-eprel 5519 df-po 5527 df-so 5528 df-fr 5572 df-se 5573 df-we 5574 df-xp 5625 df-rel 5626 df-cnv 5627 df-co 5628 df-dm 5629 df-rn 5630 df-res 5631 df-ima 5632 df-pred 6253 df-ord 6314 df-on 6315 df-lim 6316 df-suc 6317 df-iota 6442 df-fun 6488 df-fn 6489 df-f 6490 df-f1 6491 df-fo 6492 df-f1o 6493 df-fv 6494 df-isom 6495 df-riota 7314 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-of 7621 df-om 7808 df-1st 7932 df-2nd 7933 df-supp 8102 df-frecs 8222 df-wrecs 8253 df-recs 8302 df-rdg 8340 df-1o 8396 df-2o 8397 df-oadd 8400 df-omul 8401 df-er 8634 df-map 8766 df-pm 8767 df-ixp 8837 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-fin 8888 df-fsupp 9266 df-fi 9315 df-sup 9346 df-inf 9347 df-oi 9416 df-dju 9817 df-card 9855 df-acn 9858 df-pnf 11173 df-mnf 11174 df-xr 11175 df-ltxr 11176 df-le 11177 df-sub 11371 df-neg 11372 df-div 11800 df-nn 12167 df-2 12236 df-3 12237 df-4 12238 df-5 12239 df-6 12240 df-7 12241 df-8 12242 df-9 12243 df-n0 12430 df-xnn0 12503 df-z 12517 df-dec 12637 df-uz 12781 df-q 12891 df-rp 12935 df-xneg 13055 df-xadd 13056 df-xmul 13057 df-ioo 13294 df-ioc 13295 df-ico 13296 df-icc 13297 df-fz 13454 df-fzo 13601 df-fl 13743 df-mod 13821 df-seq 13956 df-exp 14016 df-fac 14228 df-bc 14257 df-hash 14285 df-shft 15021 df-cj 15053 df-re 15054 df-im 15055 df-sqrt 15189 df-abs 15190 df-limsup 15425 df-clim 15442 df-rlim 15443 df-sum 15641 df-ef 16024 df-sin 16026 df-cos 16027 df-pi 16029 df-dvds 16214 df-gcd 16456 df-prm 16633 df-numer 16697 df-denom 16698 df-struct 17109 df-sets 17126 df-slot 17144 df-ndx 17156 df-base 17172 df-ress 17193 df-plusg 17225 df-mulr 17226 df-starv 17227 df-sca 17228 df-vsca 17229 df-ip 17230 df-tset 17231 df-ple 17232 df-ds 17234 df-unif 17235 df-hom 17236 df-cco 17237 df-rest 17377 df-topn 17378 df-0g 17396 df-gsum 17397 df-topgen 17398 df-pt 17399 df-prds 17402 df-xrs 17458 df-qtop 17463 df-imas 17464 df-xps 17466 df-mre 17540 df-mrc 17541 df-acs 17543 df-mgm 18600 df-sgrp 18679 df-mnd 18695 df-submnd 18744 df-mulg 19036 df-cntz 19284 df-cmn 19749 df-psmet 21340 df-xmet 21341 df-met 21342 df-bl 21343 df-mopn 21344 df-fbas 21345 df-fg 21346 df-cnfld 21349 df-top 22878 df-topon 22895 df-topsp 22917 df-bases 22930 df-cld 23003 df-ntr 23004 df-cls 23005 df-nei 23082 df-lp 23120 df-perf 23121 df-cn 23211 df-cnp 23212 df-haus 23299 df-tx 23546 df-hmeo 23739 df-fil 23830 df-fm 23922 df-flim 23923 df-flf 23924 df-xms 24304 df-ms 24305 df-tms 24306 df-cncf 24864 df-limc 25852 df-dv 25853 df-log 26539 df-mzpcl 43181 df-mzp 43182 df-dioph 43214 df-squarenn 43295 df-pell1qr 43296 df-pell14qr 43297 df-pell1234qr 43298 df-pellfund 43299 df-rmx 43356 df-rmy 43357

This theorem is referenced by: rmxdioph 43470 expdiophlem2 43476

W3C validator