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Theorem rmydioph 43003
Description: jm2.27 42997 restated in terms of Diophantine sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rmydioph {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmydioph
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8888 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
2 2nn 12337 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
32jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . 8 2 ∈ (1...2)
4 df-3 12328 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
53, 4, 2jm2.27dlem2 42999 . . . . . . 7 2 ∈ (1...3)
6 ffvelcdm 7101 . . . . . . 7 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
71, 5, 6sylancl 586 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
8 elnn0 12526 . . . . . 6 ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
97, 8sylib 218 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
10 iba 527 . . . . . . 7 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))))
11 andi 1009 . . . . . . 7 (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))
1210, 11bitrdi 287 . . . . . 6 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))))
1312anbi2d 630 . . . . 5 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
149, 13syl 17 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
15 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2))
16 nnz 12632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
18 frmy 42903 . . . . . . . . . . . . . 14 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
1918fovcl 7561 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
2015, 17, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
21 rmy0 42918 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
2221ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
23 nngt0 12295 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → 0 < (𝑎‘2))
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < (𝑎‘2))
25 0zd 12623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
26 ltrmy 42941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
2715, 25, 17, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
2824, 27mpbid 232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))
2922, 28eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))
30 elnnz 12621 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ ↔ (((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
3120, 29, 30sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ)
32 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) → ((𝑎‘3) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ))
3331, 32syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ))
3433pm4.71rd 562 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))))
35 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2))
36 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℕ)
37 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘3) ∈ ℕ)
38 jm2.27 42997 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
4039pm5.32da 579 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
4134, 40bitrd 279 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
4241ex 412 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))))
4342pm5.32rd 578 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
44 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm 0))
4544adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm 0))
4621ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
4745, 46eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = 0)
4847eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
4948ex 412 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
5049pm5.32rd 578 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))
5143, 50orbi12d 918 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)) ↔ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))))
5251pm5.32da 579 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
5314, 52bitrd 279 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
5453rabbiia 3437 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))}
55 3nn0 12542 . . . 4 3 ∈ ℕ0
56 2z 12647 . . . 4 2 ∈ ℤ
57 ovex 7464 . . . . 5 (1...3) ∈ V
58 1nn 12275 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
5958jm2.27dlem3 43000 . . . . . . 7 1 ∈ (1...1)
60 df-2 12327 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
6159, 60, 58jm2.27dlem2 42999 . . . . . 6 1 ∈ (1...2)
6261, 4, 2jm2.27dlem2 42999 . . . . 5 1 ∈ (1...3)
63 mzpproj 42725 . . . . 5 (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
6457, 62, 63mp2an 692 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
65 eluzrabdioph 42794 . . . 4 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3))
6655, 56, 64, 65mp3an 1460 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3)
67 3nn 12343 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
6867jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . 8 3 ∈ (1...3)
69 mzpproj 42725 . . . . . . . 8 (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
7057, 68, 69mp2an 692 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
71 elnnrabdioph 42795 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
7255, 70, 71mp2an 692 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
73 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖‘8) ∈ V
74 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖‘9) ∈ V
75 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖10) ∈ V
76 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔 = (𝑖‘9) → (𝑔↑2) = ((𝑖‘9)↑2))
77 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓↑2) = ((𝑖‘8)↑2))
7877oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2)) = (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
7976, 78oveqan12rd 7451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → ((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
8079eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
81803adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
82 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( = (𝑖10) → ( + 1) = ((𝑖10) + 1))
8382oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( = (𝑖10) → (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))))
8483eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = (𝑖10) → (𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
85843ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
8681, 853anbi12d 1436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))))
8786anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))))))
88 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))
8988breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3)) ↔ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
9089anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
91 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)))
9291breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑖‘8) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2))))
9392anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))
9490, 93anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑖‘8) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
95943ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9687, 95anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
9773, 74, 75, 96sbc3ie 3877 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9897sbcbii 3852 . . . . . . . . . . . . . 14 ([(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9998sbcbii 3852 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
10099sbcbii 3852 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
101100sbcbii 3852 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
102101sbcbii 3852 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
103 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘5) ∈ V
104 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘6) ∈ V
105 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘7) ∈ V
106 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
1071063ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
108 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐↑2) = ((𝑖‘5)↑2))
109108oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑖‘5) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
1101093ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
111107, 110oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
112111eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
113 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)))
1141133ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)))
115112, 1143anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ↔ (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))))
116 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒↑2) = ((𝑖‘7)↑2))
117116oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((𝑒↑2) − 1) = (((𝑖‘7)↑2) − 1))
118117oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)) = ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
119118oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
120119eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
1211203ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
122 eqeq1 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
1231223ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
124 simp2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → 𝑑 = (𝑖‘6))
125 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
1261253ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
127124, 126breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))
128121, 123, 1273anbi123d 1435 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))))
129115, 128anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))))
130 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − 1) = ((𝑖‘7) − 1))
131130breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
132 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
133131, 132bi2anan9r 639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
134133anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
1351343adant1 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
136129, 135anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
137103, 104, 105, 136sbc3ie 3877 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
138137sbcbii 3852 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
139138sbcbii 3852 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
140 vex 3482 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ V
141140resex 6049 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ↾ (1...3)) ∈ V
142 fvex 6920 . . . . . . . . . . 11 (𝑖‘4) ∈ V
143 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑖‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑖‘4)↑2))
14462jm2.27dlem1 42998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑖‘1))
145144oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑖‘1)↑2))
146145oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑖‘1)↑2) − 1))
14768jm2.27dlem1 42998 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑖‘3))
148147oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑖‘3)↑2))
149146, 148oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))
150143, 149oveqan12rd 7451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))))
151150eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1))
152146oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
153152oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
154153eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
155154adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
156151, 1553anbi12d 1436 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))))
157148oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · ((𝑎‘3)↑2)) = (2 · ((𝑖‘3)↑2)))
158157oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))))
159158eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))))
160144oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))
161160breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))
162159, 1613anbi23d 1438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
163162adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
164156, 163anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ↔ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))))
165147oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · (𝑎‘3)) = (2 · (𝑖‘3)))
166165breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
167147oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))
168167breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))))
169166, 168anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))))
1705jm2.27dlem1 42998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑖‘2))
171170oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)))
172165, 171breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))))
173170, 147breq12d 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3) ↔ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))
174172, 173anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))
175169, 174anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
176175adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
177164, 176anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))))
178141, 142, 177sbc2ie 3874 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
179102, 139, 1783bitri 297 . . . . . . . . 9 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
180179rabbii 3439 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} = {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))}
181 10nn0 12749 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℕ0
182 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...10) ∈ V
183 df-5 12330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 = (4 + 1)
184 df-6 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 = (5 + 1)
185 df-7 12332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7 = (6 + 1)
186 df-8 12333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 = (7 + 1)
187 df-9 12334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9 = (8 + 1)
188 9p1e10 12733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (9 + 1) = 10
189188eqcomi 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10 = (9 + 1)
190 ssid 4018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...10) ⊆ (1...10)
191189, 190jm2.27dlem5 43002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1...9) ⊆ (1...10)
192187, 191jm2.27dlem5 43002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...8) ⊆ (1...10)
193186, 192jm2.27dlem5 43002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...7) ⊆ (1...10)
194185, 193jm2.27dlem5 43002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...6) ⊆ (1...10)
195184, 194jm2.27dlem5 43002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...5) ⊆ (1...10)
196183, 195jm2.27dlem5 43002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...4) ⊆ (1...10)
197 4nn 12347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ
198197jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ (1...4)
199196, 198sselii 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ (1...10)
200 mzpproj 42725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
201182, 199, 200mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
202 2nn0 12541 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
203 mzpexpmpt 42733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
204201, 202, 203mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
205 df-4 12329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 = (3 + 1)
206205, 196jm2.27dlem5 43002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...3) ⊆ (1...10)
2074, 206jm2.27dlem5 43002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...2) ⊆ (1...10)
20860, 207jm2.27dlem5 43002 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...1) ⊆ (1...10)
209208, 59sselii 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ (1...10)
210 mzpproj 42725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1...10) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
211182, 209, 210mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
212 mzpexpmpt 42733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
213211, 202, 212mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
214 1z 12645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
215 mzpconstmpt 42728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
216182, 214, 215mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))
217 mzpsubmpt 42731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
218213, 216, 217mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
219206, 68sselii 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ (1...10)
220 mzpproj 42725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
221182, 219, 220mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
222 mzpexpmpt 42733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
223221, 202, 222mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
224 mzpmulmpt 42730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
225218, 223, 224mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
226 mzpsubmpt 42731 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
227204, 225, 226mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
228 eqrabdioph 42765 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
229181, 227, 216, 228mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
230 6nn 12353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ
231230jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ (1...6)
232194, 231sselii 3992 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ (1...10)
233 mzpproj 42725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
234182, 232, 233mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
235 mzpexpmpt 42733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
236234, 202, 235mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
237 5nn 12350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 ∈ ℕ
238237jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ (1...5)
239195, 238sselii 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ (1...10)
240 mzpproj 42725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
241182, 239, 240mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
242 mzpexpmpt 42733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
243241, 202, 242mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
244 mzpmulmpt 42730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
245218, 243, 244mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
246 mzpsubmpt 42731 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
247236, 245, 246mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
248 eqrabdioph 42765 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
249181, 247, 216, 248mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
250 7nn 12356 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℕ
251250jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . . . . . . . 14 7 ∈ (1...7)
252193, 251sselii 3992 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ (1...10)
253 mzpproj 42725 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...10) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
254182, 252, 253mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
255 eluzrabdioph 42794 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10))
256181, 56, 254, 255mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10)
257 3anrabdioph 42770 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10))
258229, 249, 256, 257mp3an 1460 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10)
259 9nn 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 9 ∈ ℕ
260259jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ (1...9)
261260, 189, 259jm2.27dlem2 42999 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ (1...10)
262 mzpproj 42725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 9 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
263182, 261, 262mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
264 mzpexpmpt 42733 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
265263, 202, 264mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
266 mzpexpmpt 42733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
267254, 202, 266mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
268 mzpsubmpt 42731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
269267, 216, 268mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
270 8nn 12359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℕ
271270jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ (1...8)
272192, 271sselii 3992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ (1...10)
273 mzpproj 42725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 8 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
274182, 272, 273mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
275 mzpexpmpt 42733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
276274, 202, 275mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
277 mzpmulmpt 42730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
278269, 276, 277mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
279 mzpsubmpt 42731 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
280265, 278, 279mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
281 eqrabdioph 42765 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
282181, 280, 216, 281mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
283 10nn 12747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ∈ ℕ
284283jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . . . . . . . . 15 10 ∈ (1...10)
285 mzpproj 42725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 10 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
286182, 284, 285mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
287 mzpaddmpt 42729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
288286, 216, 287mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
289 mzpconstmpt 42728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
290182, 56, 289mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10))
291 mzpmulmpt 42730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
292290, 223, 291mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
293 mzpmulmpt 42730 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
294288, 292, 293mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
295 eqrabdioph 42765 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10))
296181, 241, 294, 295mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10)
297 mzpsubmpt 42731 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
298254, 211, 297mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
299 dvdsrabdioph 42798 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10))
300181, 234, 298, 299mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10)
301 3anrabdioph 42770 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10))
302282, 296, 300, 301mp3an 1460 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10)
303 anrabdioph 42768 . . . . . . . . . 10 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10))
304258, 302, 303mp2an 692 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10)
305 mzpmulmpt 42730 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
306290, 221, 305mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
307 mzpsubmpt 42731 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
308254, 216, 307mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
309 dvdsrabdioph 42798 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10))
310181, 306, 308, 309mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10)
311 mzpsubmpt 42731 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
312274, 221, 311mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
313 dvdsrabdioph 42798 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10))
314181, 234, 312, 313mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)
315 anrabdioph 42768 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10))
316310, 314, 315mp2an 692 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)
317207, 3sselii 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (1...10)
318 mzpproj 42725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...10) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
319182, 317, 318mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
320 mzpsubmpt 42731 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
321274, 319, 320mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
322 dvdsrabdioph 42798 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10))
323181, 306, 321, 322mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10)
324 lerabdioph 42793 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10))
325181, 319, 221, 324mp3an 1460 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10)
326 anrabdioph 42768 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10))
327323, 325, 326mp2an 692 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)
328 anrabdioph 42768 . . . . . . . . . 10 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10))
329316, 327, 328mp2an 692 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)
330 anrabdioph 42768 . . . . . . . . 9 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘10))
331304, 329, 330mp2an 692 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘10)
332180, 331eqeltri 2835 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘10)
333205, 183, 184, 185, 186, 187, 1897rexfrabdioph 42788 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3))
33455, 332, 333mp2an 692 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)
335 anrabdioph 42768 . . . . . 6 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3))
33672, 334, 335mp2an 692 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3)
337 mzpproj 42725 . . . . . . 7 (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
33857, 5, 337mp2an 692 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
339 elnnrabdioph 42795 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
34055, 338, 339mp2an 692 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
341 anrabdioph 42768 . . . . 5 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3))
342336, 340, 341mp2an 692 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3)
343 eq0rabdioph 42764 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
34455, 70, 343mp2an 692 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
345 eq0rabdioph 42764 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
34655, 338, 345mp2an 692 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
347 anrabdioph 42768 . . . . 5 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
348344, 346, 347mp2an 692 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
349 orrabdioph 42769 . . . 4 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
350342, 348, 349mp2an 692 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
351 anrabdioph 42768 . . 3 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
35266, 350, 351mp2an 692 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
35354, 352eqeltri 2835 1 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  [wsbc 3791   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  0cn0 12524  cz 12611  cdc 12731  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  cdvds 16287  mzPolycmzp 42710  Diophcdioph 42743   Yrm crmy 42889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-numer 16769  df-denom 16770  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-mzpcl 42711  df-mzp 42712  df-dioph 42744  df-squarenn 42829  df-pell1qr 42830  df-pell14qr 42831  df-pell1234qr 42832  df-pellfund 42833  df-rmx 42890  df-rmy 42891
This theorem is referenced by:  rmxdioph  43005  expdiophlem2  43011
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