rmydioph - Mathbox for Stefan O'Rear

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Theorem rmydioph 42219

Description: jm2.27 42213 restated in terms of Diophantine sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

**Assertion**
Ref	Expression
rmydioph	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmydioph Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ₀)
2		2nn 12292	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	jm2.27dlem3 42216	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...2)
4		df-3 12283	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
5	3, 4, 2	jm2.27dlem2 42215	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (1...3)
6		ffvelcdm 7083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ₀ ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ₀)
7	1, 5, 6	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ₀)
8		elnn0 12481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ₀ ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
9	7, 8	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
10		iba 527	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))))
11		andi 1005	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))
12	10, 11	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))))
13	12	anbi2d 628	. . . . 5 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
14	9, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
15		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2))
16		nnz 12586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
17	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
18		frmy 42119	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Y_rm :((ℤ_≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
19	18	fovcl 7540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
20	15, 17, 19	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
21		rmy0 42134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) → ((𝑎‘1) Y_rm 0) = 0)
22	21	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Y_rm 0) = 0)
23		nngt0 12250	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → 0 < (𝑎‘2))
24	23	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < (𝑎‘2))
25		0zd 12577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
26		ltrmy 42157	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Y_rm 0) < ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))))
27	15, 25, 17, 26	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Y_rm 0) < ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))))
28	24, 27	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Y_rm 0) < ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))
29	22, 28	eqbrtrrd 5172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))
30		elnnz 12575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℕ ↔ (((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))))
31	20, 29, 30	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℕ)
32		eleq1 2820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) → ((𝑎‘3) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∈ ℕ))
33	31, 32	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ))
34	33	pm4.71rd 562	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))))
35		simpllr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2))
36		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℕ)
37		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘3) ∈ ℕ)
38		jm2.27 42213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
40	39	pm5.32da 578	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
41	34, 40	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
42	41	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))))
43	42	pm5.32rd 577	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
44		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Y_rm 0))
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Y_rm 0))
46	21	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Y_rm 0) = 0)
47	45, 46	eqtrd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) = 0)
48	47	eqeq2d 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
49	48	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
50	49	pm5.32rd 577	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))
51	43, 50	orbi12d 916	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)) ↔ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))))
52	51	pm5.32da 578	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
53	14, 52	bitrd 279	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
54	53	rabbiia 3435	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))}
55		3nn0 12497	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ₀
56		2z 12601	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		ovex 7445	. . . . 5 ⊢ (1...3) ∈ V
58		1nn 12230	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
59	58	jm2.27dlem3 42216	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (1...1)
60		df-2 12282	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
61	59, 60, 58	jm2.27dlem2 42215	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (1...2)
62	61, 4, 2	jm2.27dlem2 42215	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1...3)
63		mzpproj 41941	. . . . 5 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
64	57, 62, 63	mp2an 689	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
65		eluzrabdioph 42010	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘3))
66	55, 56, 64, 65	mp3an 1460	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘3)
67		3nn 12298	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
68	67	jm2.27dlem3 42216	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ (1...3)
69		mzpproj 41941	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
70	57, 68, 69	mp2an 689	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
71		elnnrabdioph 42011	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
72	55, 70, 71	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
73		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖‘8) ∈ V
74		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖‘9) ∈ V
75		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖‘;10) ∈ V
76		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = (𝑖‘9) → (𝑔↑2) = ((𝑖‘9)↑2))
77		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓↑2) = ((𝑖‘8)↑2))
78	77	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2)) = (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
79	76, 78	oveqan12rd 7432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → ((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
80	79	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
81	80	3adant3 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
82		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = (𝑖‘;10) → (ℎ + 1) = ((𝑖‘;10) + 1))
83	82	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (𝑖‘;10) → ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))))
84	83	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑖‘;10) → (𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
85	84	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → (𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
86	81, 85	3anbi12d 1436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → ((((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))))
87	86	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))))))
88		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))
89	88	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3)) ↔ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
90	89	anbi2d 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
91		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)))
92	91	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2))))
93	92	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))
94	90, 93	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
95	94	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
96	87, 95	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
97	73, 74, 75, 96	sbc3ie 3863	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
98	97	sbcbii 3837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
99	98	sbcbii 3837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
100	99	sbcbii 3837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
101	100	sbcbii 3837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
102	101	sbcbii 3837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
103		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖‘5) ∈ V
104		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖‘6) ∈ V
105		fvex 6904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖‘7) ∈ V
106		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
107	106	3ad2ant2 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
108		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐↑2) = ((𝑖‘5)↑2))
109	108	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = (𝑖‘5) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
110	109	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
111	107, 110	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
112	111	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
113		eleq1 2820	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)))
114	113	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)))
115	112, 114	3anbi23d 1438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2))))
116		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒↑2) = ((𝑖‘7)↑2))
117	116	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → ((𝑒↑2) − 1) = (((𝑖‘7)↑2) − 1))
118	117	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)) = ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
119	118	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
120	119	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
121	120	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
122		eqeq1 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
123	122	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
124		simp2 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → 𝑑 = (𝑖‘6))
125		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
126	125	3ad2ant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
127	124, 126	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))
128	121, 123, 127	3anbi123d 1435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))))
129	115, 128	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))))
130		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − 1) = ((𝑖‘7) − 1))
131	130	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
132		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
133	131, 132	bi2anan9r 637	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
134	133	anbi1d 629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
135	134	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
136	129, 135	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
137	103, 104, 105, 136	sbc3ie 3863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
138	137	sbcbii 3837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
139	138	sbcbii 3837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
140		vex 3477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑖 ∈ V
141	140	resex 6029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ↾ (1...3)) ∈ V
142		fvex 6904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖‘4) ∈ V
143		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑖‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑖‘4)↑2))
144	62	jm2.27dlem1 42214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑖‘1))
145	144	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑖‘1)↑2))
146	145	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑖‘1)↑2) − 1))
147	68	jm2.27dlem1 42214	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑖‘3))
148	147	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑖‘3)↑2))
149	146, 148	oveq12d 7430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))
150	143, 149	oveqan12rd 7432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))))
151	150	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1))
152	146	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
153	152	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
154	153	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
155	154	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
156	151, 155	3anbi12d 1436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ↔ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2))))
157	148	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · ((𝑎‘3)↑2)) = (2 · ((𝑖‘3)↑2)))
158	157	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))))
159	158	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))))
160	144	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))
161	160	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))
162	159, 161	3anbi23d 1438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
163	162	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
164	156, 163	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ↔ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))))
165	147	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · (𝑎‘3)) = (2 · (𝑖‘3)))
166	165	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
167	147	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))
168	167	breq2d 5160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))))
169	166, 168	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))))
170	5	jm2.27dlem1 42214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑖‘2))
171	170	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)))
172	165, 171	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))))
173	170, 147	breq12d 5161	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3) ↔ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))
174	172, 173	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))
175	169, 174	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
176	175	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
177	164, 176	anbi12d 630	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))))
178	141, 142, 177	sbc2ie 3860	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
179	102, 139, 178	3bitri 297	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
180	179	rabbii 3437	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} = {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))}
181		10nn0 12702	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℕ₀
182		ovex 7445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...;10) ∈ V
183		df-5 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 = (4 + 1)
184		df-6 12286	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 = (5 + 1)
185		df-7 12287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 7 = (6 + 1)
186		df-8 12288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 = (7 + 1)
187		df-9 12289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 9 = (8 + 1)
188		9p1e10 12686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (9 + 1) = ;10
189	188	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;10 = (9 + 1)
190		ssid 4004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1...;10) ⊆ (1...;10)
191	189, 190	jm2.27dlem5 42218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1...9) ⊆ (1...;10)
192	187, 191	jm2.27dlem5 42218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...8) ⊆ (1...;10)
193	186, 192	jm2.27dlem5 42218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...7) ⊆ (1...;10)
194	185, 193	jm2.27dlem5 42218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...6) ⊆ (1...;10)
195	184, 194	jm2.27dlem5 42218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1...5) ⊆ (1...;10)
196	183, 195	jm2.27dlem5 42218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...4) ⊆ (1...;10)
197		4nn 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℕ
198	197	jm2.27dlem3 42216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ (1...4)
199	196, 198	sselii 3979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ (1...;10)
200		mzpproj 41941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
201	182, 199, 200	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
202		2nn0 12496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ₀
203		mzpexpmpt 41949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
204	201, 202, 203	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
205		df-4 12284	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 = (3 + 1)
206	205, 196	jm2.27dlem5 42218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...3) ⊆ (1...;10)
207	4, 206	jm2.27dlem5 42218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...2) ⊆ (1...;10)
208	60, 207	jm2.27dlem5 42218	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...1) ⊆ (1...;10)
209	208, 59	sselii 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ (1...;10)
210		mzpproj 41941	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
211	182, 209, 210	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
212		mzpexpmpt 41949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
213	211, 202, 212	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
214		1z 12599	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℤ
215		mzpconstmpt 41944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
216	182, 214, 215	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
217		mzpsubmpt 41947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
218	213, 216, 217	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
219	206, 68	sselii 3979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ (1...;10)
220		mzpproj 41941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
221	182, 219, 220	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
222		mzpexpmpt 41949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
223	221, 202, 222	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
224		mzpmulmpt 41946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
225	218, 223, 224	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
226		mzpsubmpt 41947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
227	204, 225, 226	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
228		eqrabdioph 41981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10))
229	181, 227, 216, 228	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10)
230		6nn 12308	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 6 ∈ ℕ
231	230	jm2.27dlem3 42216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 ∈ (1...6)
232	194, 231	sselii 3979	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ (1...;10)
233		mzpproj 41941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
234	182, 232, 233	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
235		mzpexpmpt 41949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
236	234, 202, 235	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
237		5nn 12305	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 5 ∈ ℕ
238	237	jm2.27dlem3 42216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ (1...5)
239	195, 238	sselii 3979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ (1...;10)
240		mzpproj 41941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
241	182, 239, 240	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
242		mzpexpmpt 41949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
243	241, 202, 242	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
244		mzpmulmpt 41946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
245	218, 243, 244	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
246		mzpsubmpt 41947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
247	236, 245, 246	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
248		eqrabdioph 41981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10))
249	181, 247, 216, 248	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10)
250		7nn 12311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ
251	250	jm2.27dlem3 42216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ (1...7)
252	193, 251	sselii 3979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ (1...;10)
253		mzpproj 41941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
254	182, 252, 253	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
255		eluzrabdioph 42010	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘;10))
256	181, 56, 254, 255	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘;10)
257		3anrabdioph 41986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2))} ∈ (Dioph‘;10))
258	229, 249, 256, 257	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2))} ∈ (Dioph‘;10)
259		9nn 12317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 9 ∈ ℕ
260	259	jm2.27dlem3 42216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 ∈ (1...9)
261	260, 189, 259	jm2.27dlem2 42215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 ∈ (1...;10)
262		mzpproj 41941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 9 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
263	182, 261, 262	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
264		mzpexpmpt 41949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
265	263, 202, 264	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
266		mzpexpmpt 41949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
267	254, 202, 266	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
268		mzpsubmpt 41947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
269	267, 216, 268	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
270		8nn 12314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 8 ∈ ℕ
271	270	jm2.27dlem3 42216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ (1...8)
272	192, 271	sselii 3979	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ (1...;10)
273		mzpproj 41941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 8 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
274	182, 272, 273	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
275		mzpexpmpt 41949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ₀) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
276	274, 202, 275	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
277		mzpmulmpt 41946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
278	269, 276, 277	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
279		mzpsubmpt 41947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
280	265, 278, 279	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
281		eqrabdioph 41981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10))
282	181, 280, 216, 281	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10)
283		10nn 12700	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;10 ∈ ℕ
284	283	jm2.27dlem3 42216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;10 ∈ (1...;10)
285		mzpproj 41941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ ;10 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘;10)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
286	182, 284, 285	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘;10)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
287		mzpaddmpt 41945	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘;10)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘;10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
288	286, 216, 287	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘;10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
289		mzpconstmpt 41944	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
290	182, 56, 289	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
291		mzpmulmpt 41946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
292	290, 223, 291	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
293		mzpmulmpt 41946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘;10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
294	288, 292, 293	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
295		eqrabdioph 41981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘;10))
296	181, 241, 294, 295	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘;10)
297		mzpsubmpt 41947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
298	254, 211, 297	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
299		dvdsrabdioph 42014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘;10))
300	181, 234, 298, 299	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘;10)
301		3anrabdioph 41986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘;10))
302	282, 296, 300, 301	mp3an 1460	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘;10)
303		anrabdioph 41984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘;10))
304	258, 302, 303	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘;10)
305		mzpmulmpt 41946	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
306	290, 221, 305	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
307		mzpsubmpt 41947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
308	254, 216, 307	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
309		dvdsrabdioph 42014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘;10))
310	181, 306, 308, 309	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘;10)
311		mzpsubmpt 41947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
312	274, 221, 311	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
313		dvdsrabdioph 42014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10))
314	181, 234, 312, 313	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)
315		anrabdioph 41984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10))
316	310, 314, 315	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10)
317	207, 3	sselii 3979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ (1...;10)
318		mzpproj 41941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
319	182, 317, 318	mp2an 689	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
320		mzpsubmpt 41947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
321	274, 319, 320	mp2an 689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
322		dvdsrabdioph 42014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘;10))
323	181, 306, 321, 322	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘;10)
324		lerabdioph 42009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑_m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘;10))
325	181, 319, 221, 324	mp3an 1460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘;10)
326		anrabdioph 41984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10))
327	323, 325, 326	mp2an 689	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)
328		anrabdioph 41984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10))
329	316, 327, 328	mp2an 689	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10)
330		anrabdioph 41984	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘;10))
331	304, 329, 330	mp2an 689	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘;10)
332	180, 331	eqeltri 2828	. . . . . . 7 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘;10)
333	205, 183, 184, 185, 186, 187, 189	7rexfrabdioph 42004	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ {𝑖 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...;10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3))
334	55, 332, 333	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)
335		anrabdioph 41984	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3))
336	72, 334, 335	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3)
337		mzpproj 41941	. . . . . . 7 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
338	57, 5, 337	mp2an 689	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
339		elnnrabdioph 42011	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
340	55, 338, 339	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
341		anrabdioph 41984	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3))
342	336, 340, 341	mp2an 689	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3)
343		eq0rabdioph 41980	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
344	55, 70, 343	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
345		eq0rabdioph 41980	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ₀ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑_m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
346	55, 338, 345	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
347		anrabdioph 41984	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
348	344, 346, 347	mp2an 689	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
349		orrabdioph 41985	. . . 4 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
350	342, 348, 349	mp2an 689	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
351		anrabdioph 41984	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
352	66, 350, 351	mp2an 689	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ₀ ∃𝑐 ∈ ℕ₀ ∃𝑑 ∈ ℕ₀ ∃𝑒 ∈ ℕ₀ ∃𝑓 ∈ ℕ₀ ∃𝑔 ∈ ℕ₀ ∃ℎ ∈ ℕ₀ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ_≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
353	54, 352	eqeltri 2828	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ₀ ↑_m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ_≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Y_rm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∨ wo 844 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2105 ∃wrex 3069 {crab 3431 Vcvv 3473 [wsbc 3777 class class class wbr 5148 ↦ cmpt 5231 ↾ cres 5678 ⟶wf 6539 ‘cfv 6543 (class class class)co 7412 ↑_m cmap 8826 0cc0 11116 1c1 11117 + caddc 11119 · cmul 11121 < clt 11255 ≤ cle 11256 − cmin 11451 ℕcn 12219 2c2 12274 3c3 12275 4c4 12276 5c5 12277 6c6 12278 7c7 12279 8c8 12280 9c9 12281 ℕ₀cn0 12479 ℤcz 12565 cdc 12684 ℤ_≥cuz 12829 ...cfz 13491 ↑cexp 14034 ∥ cdvds 16204 mzPolycmzp 41926 Diophcdioph 41959 Y_rm crmy 42105

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7729 ax-inf2 9642 ax-cnex 11172 ax-resscn 11173 ax-1cn 11174 ax-icn 11175 ax-addcl 11176 ax-addrcl 11177 ax-mulcl 11178 ax-mulrcl 11179 ax-mulcom 11180 ax-addass 11181 ax-mulass 11182 ax-distr 11183 ax-i2m1 11184 ax-1ne0 11185 ax-1rid 11186 ax-rnegex 11187 ax-rrecex 11188 ax-cnre 11189 ax-pre-lttri 11190 ax-pre-lttrn 11191 ax-pre-ltadd 11192 ax-pre-mulgt0 11193 ax-pre-sup 11194 ax-addf 11195

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-nel 3046 df-ral 3061 df-rex 3070 df-rmo 3375 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-tp 4633 df-op 4635 df-uni 4909 df-int 4951 df-iun 4999 df-iin 5000 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-se 5632 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-isom 6552 df-riota 7368 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-of 7674 df-om 7860 df-1st 7979 df-2nd 7980 df-supp 8152 df-frecs 8272 df-wrecs 8303 df-recs 8377 df-rdg 8416 df-1o 8472 df-2o 8473 df-oadd 8476 df-omul 8477 df-er 8709 df-map 8828 df-pm 8829 df-ixp 8898 df-en 8946 df-dom 8947 df-sdom 8948 df-fin 8949 df-fsupp 9368 df-fi 9412 df-sup 9443 df-inf 9444 df-oi 9511 df-dju 9902 df-card 9940 df-acn 9943 df-pnf 11257 df-mnf 11258 df-xr 11259 df-ltxr 11260 df-le 11261 df-sub 11453 df-neg 11454 df-div 11879 df-nn 12220 df-2 12282 df-3 12283 df-4 12284 df-5 12285 df-6 12286 df-7 12287 df-8 12288 df-9 12289 df-n0 12480 df-xnn0 12552 df-z 12566 df-dec 12685 df-uz 12830 df-q 12940 df-rp 12982 df-xneg 13099 df-xadd 13100 df-xmul 13101 df-ioo 13335 df-ioc 13336 df-ico 13337 df-icc 13338 df-fz 13492 df-fzo 13635 df-fl 13764 df-mod 13842 df-seq 13974 df-exp 14035 df-fac 14241 df-bc 14270 df-hash 14298 df-shft 15021 df-cj 15053 df-re 15054 df-im 15055 df-sqrt 15189 df-abs 15190 df-limsup 15422 df-clim 15439 df-rlim 15440 df-sum 15640 df-ef 16018 df-sin 16020 df-cos 16021 df-pi 16023 df-dvds 16205 df-gcd 16443 df-prm 16616 df-numer 16678 df-denom 16679 df-struct 17087 df-sets 17104 df-slot 17122 df-ndx 17134 df-base 17152 df-ress 17181 df-plusg 17217 df-mulr 17218 df-starv 17219 df-sca 17220 df-vsca 17221 df-ip 17222 df-tset 17223 df-ple 17224 df-ds 17226 df-unif 17227 df-hom 17228 df-cco 17229 df-rest 17375 df-topn 17376 df-0g 17394 df-gsum 17395 df-topgen 17396 df-pt 17397 df-prds 17400 df-xrs 17455 df-qtop 17460 df-imas 17461 df-xps 17463 df-mre 17537 df-mrc 17538 df-acs 17540 df-mgm 18571 df-sgrp 18650 df-mnd 18666 df-submnd 18712 df-mulg 18994 df-cntz 19229 df-cmn 19698 df-psmet 21226 df-xmet 21227 df-met 21228 df-bl 21229 df-mopn 21230 df-fbas 21231 df-fg 21232 df-cnfld 21235 df-top 22717 df-topon 22734 df-topsp 22756 df-bases 22770 df-cld 22844 df-ntr 22845 df-cls 22846 df-nei 22923 df-lp 22961 df-perf 22962 df-cn 23052 df-cnp 23053 df-haus 23140 df-tx 23387 df-hmeo 23580 df-fil 23671 df-fm 23763 df-flim 23764 df-flf 23765 df-xms 24147 df-ms 24148 df-tms 24149 df-cncf 24719 df-limc 25716 df-dv 25717 df-log 26406 df-mzpcl 41927 df-mzp 41928 df-dioph 41960 df-squarenn 42045 df-pell1qr 42046 df-pell14qr 42047 df-pell1234qr 42048 df-pellfund 42049 df-rmx 42106 df-rmy 42107

This theorem is referenced by: rmxdioph 42221 expdiophlem2 42227

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