Theorem rmydioph 40539

Description: jm2.27 40533 restated in terms of Diophantine sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rmydioph	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmydioph

Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 8530	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
2		2nn 11903	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	jm2.27dlem3 40536	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ (1...2)
4		df-3 11894	. . . . . . . 8 ⊢ 3 = (2 + 1)
5	3, 4, 2	jm2.27dlem2 40535	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ (1...3)
6		ffvelrn 6902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
7	1, 5, 6	sylancl 589	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
8		elnn0 12092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
9	7, 8	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
10		iba 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))))
11		andi 1008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))
12	10, 11	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))))
13	12	anbi2d 632	. . . . 5 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
14	9, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
15		simplr 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2))
16		nnz 12199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
17	16	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
18		frmy 40439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
19	18	fovcl 7338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
20	15, 17, 19	syl2anc 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
21		rmy0 40454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
22	21	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
23		nngt0 11861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → 0 < (𝑎‘2))
24	23	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < (𝑎‘2))
25		0zd 12188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
26		ltrmy 40477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
27	15, 25, 17, 26	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
28	24, 27	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))
29	22, 28	eqbrtrrd 5077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))
30		elnnz 12186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ ↔ (((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
31	20, 29, 30	sylanbrc 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ)
32		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) → ((𝑎‘3) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ))
33	31, 32	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ))
34	33	pm4.71rd 566	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))))
35		simpllr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2))
36		simplr 769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℕ)
37		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘3) ∈ ℕ)
38		jm2.27 40533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
39	35, 36, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
40	39	pm5.32da 582	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
41	34, 40	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
42	41	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))))
43	42	pm5.32rd 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
44		oveq2 7221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm 0))
45	44	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm 0))
46	21	ad2antlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
47	45, 46	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = 0)
48	47	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
49	48	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
50	49	pm5.32rd 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))
51	43, 50	orbi12d 919	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)) ↔ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))))
52	51	pm5.32da 582	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
53	14, 52	bitrd 282	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
54	53	rabbiia 3382	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))}
55		3nn0 12108	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℕ0
56		2z 12209	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
57		ovex 7246	. . . . 5 ⊢ (1...3) ∈ V
58		1nn 11841	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
59	58	jm2.27dlem3 40536	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ (1...1)
60		df-2 11893	. . . . . . 7 ⊢ 2 = (1 + 1)
61	59, 60, 58	jm2.27dlem2 40535	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (1...2)
62	61, 4, 2	jm2.27dlem2 40535	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (1...3)
63		mzpproj 40262	. . . . 5 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
64	57, 62, 63	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
65		eluzrabdioph 40331	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘3))
66	55, 56, 64, 65	mp3an 1463	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘3)
67		3nn 11909	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ
68	67	jm2.27dlem3 40536	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ (1...3)
69		mzpproj 40262	. . . . . . . 8 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
70	57, 68, 69	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
71		elnnrabdioph 40332	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
72	55, 70, 71	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
73		fvex 6730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖‘8) ∈ V
74		fvex 6730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖‘9) ∈ V
75		fvex 6730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖‘;10) ∈ V
76		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔 = (𝑖‘9) → (𝑔↑2) = ((𝑖‘9)↑2))
77		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓↑2) = ((𝑖‘8)↑2))
78	77	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2)) = (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
79	76, 78	oveqan12rd 7233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → ((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
80	79	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
81	80	3adant3 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
82		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (ℎ = (𝑖‘;10) → (ℎ + 1) = ((𝑖‘;10) + 1))
83	82	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (ℎ = (𝑖‘;10) → ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))))
84	83	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (ℎ = (𝑖‘;10) → (𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
85	84	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → (𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
86	81, 85	3anbi12d 1439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → ((((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))))
87	86	anbi2d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))))))
88		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))
89	88	breq2d 5065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3)) ↔ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
90	89	anbi2d 632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
91		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)))
92	91	breq2d 5065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2))))
93	92	anbi1d 633	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))
94	90, 93	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 = (𝑖‘8) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
95	94	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
96	87, 95	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ ℎ = (𝑖‘;10)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
97	73, 74, 75, 96	sbc3ie 3781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ([(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
98	97	sbcbii 3755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ([(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
99	98	sbcbii 3755	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ([(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
100	99	sbcbii 3755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
101	100	sbcbii 3755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
102	101	sbcbii 3755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
103		fvex 6730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖‘5) ∈ V
104		fvex 6730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖‘6) ∈ V
105		fvex 6730	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖‘7) ∈ V
106		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
107	106	3ad2ant2 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
108		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐↑2) = ((𝑖‘5)↑2))
109	108	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑐 = (𝑖‘5) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
110	109	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
111	107, 110	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
112	111	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
113		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)))
114	113	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)))
115	112, 114	3anbi23d 1441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ↔ (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2))))
116		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒↑2) = ((𝑖‘7)↑2))
117	116	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → ((𝑒↑2) − 1) = (((𝑖‘7)↑2) − 1))
118	117	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)) = ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
119	118	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
120	119	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
121	120	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
122		eqeq1 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
123	122	3ad2ant1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
124		simp2 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → 𝑑 = (𝑖‘6))
125		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
126	125	3ad2ant3 1137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
127	124, 126	breq12d 5066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))
128	121, 123, 127	3anbi123d 1438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))))
129	115, 128	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))))
130		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − 1) = ((𝑖‘7) − 1))
131	130	breq2d 5065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 = (𝑖‘7) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
132		breq1 5056	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
133	131, 132	bi2anan9r 640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
134	133	anbi1d 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
135	134	3adant1 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
136	129, 135	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
137	103, 104, 105, 136	sbc3ie 3781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
138	137	sbcbii 3755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
139	138	sbcbii 3755	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
140		vex 3412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑖 ∈ V
141	140	resex 5899	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 ↾ (1...3)) ∈ V
142		fvex 6730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖‘4) ∈ V
143		oveq1 7220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑏 = (𝑖‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑖‘4)↑2))
144	62	jm2.27dlem1 40534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑖‘1))
145	144	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑖‘1)↑2))
146	145	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑖‘1)↑2) − 1))
147	68	jm2.27dlem1 40534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑖‘3))
148	147	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑖‘3)↑2))
149	146, 148	oveq12d 7231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))
150	143, 149	oveqan12rd 7233	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))))
151	150	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1))
152	146	oveq1d 7228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
153	152	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
154	153	eqeq1d 2739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
155	154	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
156	151, 155	3anbi12d 1439	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ↔ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2))))
157	148	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · ((𝑎‘3)↑2)) = (2 · ((𝑖‘3)↑2)))
158	157	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))))
159	158	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))))
160	144	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))
161	160	breq2d 5065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))
162	159, 161	3anbi23d 1441	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
163	162	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
164	156, 163	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ↔ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))))
165	147	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · (𝑎‘3)) = (2 · (𝑖‘3)))
166	165	breq1d 5063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
167	147	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))
168	167	breq2d 5065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))))
169	166, 168	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))))
170	5	jm2.27dlem1 40534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑖‘2))
171	170	oveq2d 7229	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)))
172	165, 171	breq12d 5066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))))
173	170, 147	breq12d 5066	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3) ↔ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))
174	172, 173	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))
175	169, 174	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
176	175	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
177	164, 176	anbi12d 634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))))
178	141, 142, 177	sbc2ie 3778	. . . . . . . . . 10 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
179	102, 139, 178	3bitri 300	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
180	179	rabbii 3383	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} = {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))}
181		10nn0 12311	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ∈ ℕ0
182		ovex 7246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...;10) ∈ V
183		df-5 11896	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 = (4 + 1)
184		df-6 11897	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 6 = (5 + 1)
185		df-7 11898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 7 = (6 + 1)
186		df-8 11899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 8 = (7 + 1)
187		df-9 11900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 9 = (8 + 1)
188		9p1e10 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (9 + 1) = ;10
189	188	eqcomi 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ;10 = (9 + 1)
190		ssid 3923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (1...;10) ⊆ (1...;10)
191	189, 190	jm2.27dlem5 40538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1...9) ⊆ (1...;10)
192	187, 191	jm2.27dlem5 40538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...8) ⊆ (1...;10)
193	186, 192	jm2.27dlem5 40538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...7) ⊆ (1...;10)
194	185, 193	jm2.27dlem5 40538	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...6) ⊆ (1...;10)
195	184, 194	jm2.27dlem5 40538	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1...5) ⊆ (1...;10)
196	183, 195	jm2.27dlem5 40538	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...4) ⊆ (1...;10)
197		4nn 11913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 4 ∈ ℕ
198	197	jm2.27dlem3 40536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 4 ∈ (1...4)
199	196, 198	sselii 3897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ (1...;10)
200		mzpproj 40262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
201	182, 199, 200	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
202		2nn0 12107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℕ0
203		mzpexpmpt 40270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
204	201, 202, 203	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
205		df-4 11895	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 4 = (3 + 1)
206	205, 196	jm2.27dlem5 40538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (1...3) ⊆ (1...;10)
207	4, 206	jm2.27dlem5 40538	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (1...2) ⊆ (1...;10)
208	60, 207	jm2.27dlem5 40538	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (1...1) ⊆ (1...;10)
209	208, 59	sselii 3897	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 1 ∈ (1...;10)
210		mzpproj 40262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
211	182, 209, 210	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
212		mzpexpmpt 40270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
213	211, 202, 212	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
214		1z 12207	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ ℤ
215		mzpconstmpt 40265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
216	182, 214, 215	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
217		mzpsubmpt 40268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
218	213, 216, 217	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
219	206, 68	sselii 3897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ (1...;10)
220		mzpproj 40262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
221	182, 219, 220	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
222		mzpexpmpt 40270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
223	221, 202, 222	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
224		mzpmulmpt 40267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
225	218, 223, 224	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
226		mzpsubmpt 40268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
227	204, 225, 226	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
228		eqrabdioph 40302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10))
229	181, 227, 216, 228	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10)
230		6nn 11919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 6 ∈ ℕ
231	230	jm2.27dlem3 40536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 6 ∈ (1...6)
232	194, 231	sselii 3897	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 6 ∈ (1...;10)
233		mzpproj 40262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
234	182, 232, 233	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
235		mzpexpmpt 40270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
236	234, 202, 235	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
237		5nn 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 5 ∈ ℕ
238	237	jm2.27dlem3 40536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 5 ∈ (1...5)
239	195, 238	sselii 3897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ (1...;10)
240		mzpproj 40262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
241	182, 239, 240	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
242		mzpexpmpt 40270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
243	241, 202, 242	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
244		mzpmulmpt 40267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
245	218, 243, 244	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
246		mzpsubmpt 40268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
247	236, 245, 246	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
248		eqrabdioph 40302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10))
249	181, 247, 216, 248	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10)
250		7nn 11922	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 ∈ ℕ
251	250	jm2.27dlem3 40536	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 7 ∈ (1...7)
252	193, 251	sselii 3897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 7 ∈ (1...;10)
253		mzpproj 40262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
254	182, 252, 253	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
255		eluzrabdioph 40331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘;10))
256	181, 56, 254, 255	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘;10)
257		3anrabdioph 40307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2))} ∈ (Dioph‘;10))
258	229, 249, 256, 257	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2))} ∈ (Dioph‘;10)
259		9nn 11928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 9 ∈ ℕ
260	259	jm2.27dlem3 40536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 9 ∈ (1...9)
261	260, 189, 259	jm2.27dlem2 40535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 9 ∈ (1...;10)
262		mzpproj 40262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 9 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
263	182, 261, 262	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
264		mzpexpmpt 40270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
265	263, 202, 264	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
266		mzpexpmpt 40270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
267	254, 202, 266	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
268		mzpsubmpt 40268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
269	267, 216, 268	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
270		8nn 11925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 8 ∈ ℕ
271	270	jm2.27dlem3 40536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ (1...8)
272	192, 271	sselii 3897	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ (1...;10)
273		mzpproj 40262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 8 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
274	182, 272, 273	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
275		mzpexpmpt 40270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
276	274, 202, 275	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
277		mzpmulmpt 40267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
278	269, 276, 277	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
279		mzpsubmpt 40268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
280	265, 278, 279	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
281		eqrabdioph 40302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10))
282	181, 280, 216, 281	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10)
283		10nn 12309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ;10 ∈ ℕ
284	283	jm2.27dlem3 40536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;10 ∈ (1...;10)
285		mzpproj 40262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ ;10 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘;10)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
286	182, 284, 285	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘;10)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
287		mzpaddmpt 40266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘;10)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘;10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
288	286, 216, 287	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘;10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
289		mzpconstmpt 40265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
290	182, 56, 289	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
291		mzpmulmpt 40267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
292	290, 223, 291	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
293		mzpmulmpt 40267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘;10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
294	288, 292, 293	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
295		eqrabdioph 40302	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘;10))
296	181, 241, 294, 295	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘;10)
297		mzpsubmpt 40268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
298	254, 211, 297	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
299		dvdsrabdioph 40335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘;10))
300	181, 234, 298, 299	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘;10)
301		3anrabdioph 40307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘;10))
302	282, 296, 300, 301	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘;10)
303		anrabdioph 40305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘;10))
304	258, 302, 303	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘;10)
305		mzpmulmpt 40267	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
306	290, 221, 305	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
307		mzpsubmpt 40268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
308	254, 216, 307	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
309		dvdsrabdioph 40335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘;10))
310	181, 306, 308, 309	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘;10)
311		mzpsubmpt 40268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
312	274, 221, 311	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
313		dvdsrabdioph 40335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10))
314	181, 234, 312, 313	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)
315		anrabdioph 40305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10))
316	310, 314, 315	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10)
317	207, 3	sselii 3897	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ (1...;10)
318		mzpproj 40262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1...;10) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...;10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
319	182, 317, 318	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
320		mzpsubmpt 40268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)))
321	274, 319, 320	mp2an 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))
322		dvdsrabdioph 40335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘;10))
323	181, 306, 321, 322	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘;10)
324		lerabdioph 40330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((;10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...;10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...;10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...;10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘;10))
325	181, 319, 221, 324	mp3an 1463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘;10)
326		anrabdioph 40305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10))
327	323, 325, 326	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)
328		anrabdioph 40305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10))
329	316, 327, 328	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10)
330		anrabdioph 40305	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘;10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘;10))
331	304, 329, 330	mp2an 692	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖‘;10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘;10)
332	180, 331	eqeltri 2834	. . . . . . 7 ⊢ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘;10)
333	205, 183, 184, 185, 186, 187, 189	7rexfrabdioph 40325	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0 ↑m (1...;10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖‘;10) / ℎ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘;10)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3))
334	55, 332, 333	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)
335		anrabdioph 40305	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3))
336	72, 334, 335	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3)
337		mzpproj 40262	. . . . . . 7 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
338	57, 5, 337	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
339		elnnrabdioph 40332	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
340	55, 338, 339	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
341		anrabdioph 40305	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3))
342	336, 340, 341	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3)
343		eq0rabdioph 40301	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
344	55, 70, 343	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
345		eq0rabdioph 40301	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
346	55, 338, 345	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
347		anrabdioph 40305	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
348	344, 346, 347	mp2an 692	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
349		orrabdioph 40306	. . . 4 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
350	342, 348, 349	mp2an 692	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
351		anrabdioph 40305	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
352	66, 350, 351	mp2an 692	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0 ∃𝑐 ∈ ℕ0 ∃𝑑 ∈ ℕ0 ∃𝑒 ∈ ℕ0 ∃𝑓 ∈ ℕ0 ∃𝑔 ∈ ℕ0 ∃ℎ ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = ((ℎ + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
353	54, 352	eqeltri 2834	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408  [wsbc 3694   class class class wbr 5053   ↦ cmpt 5135   ↾ cres 5553  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ↑_m cmap 8508  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062  ℕcn 11830  2c2 11885  3c3 11886  4c4 11887  5c5 11888  6c6 11889  7c7 11890  8c8 11891  9c9 11892  ℕ₀cn0 12090  ℤcz 12176  ;cdc 12293  ℤ_≥cuz 12438  ...cfz 13095  ↑cexp 13635   ∥ cdvds 15815  mzPolycmzp 40247  Diophcdioph 40280   Y_rm crmy 40426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229  df-numer 16291  df-denom 16292  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-mzpcl 40248  df-mzp 40249  df-dioph 40281  df-squarenn 40366  df-pell1qr 40367  df-pell14qr 40368  df-pell1234qr 40369  df-pellfund 40370  df-rmx 40427  df-rmy 40428

This theorem is referenced by:  rmxdioph  40541  expdiophlem2  40547