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Theorem rmydioph 41324
Description: jm2.27 41318 restated in terms of Diophantine sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rmydioph {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmydioph
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8787 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
2 2nn 12226 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
32jm2.27dlem3 41321 . . . . . . . 8 2 ∈ (1...2)
4 df-3 12217 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
53, 4, 2jm2.27dlem2 41320 . . . . . . 7 2 ∈ (1...3)
6 ffvelcdm 7032 . . . . . . 7 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
71, 5, 6sylancl 586 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
8 elnn0 12415 . . . . . 6 ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
97, 8sylib 217 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
10 iba 528 . . . . . . 7 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))))
11 andi 1006 . . . . . . 7 (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))
1210, 11bitrdi 286 . . . . . 6 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))))
1312anbi2d 629 . . . . 5 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
149, 13syl 17 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
15 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2))
16 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
18 frmy 41224 . . . . . . . . . . . . . 14 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
1918fovcl 7484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
2015, 17, 19syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
21 rmy0 41239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
2221ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
23 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → 0 < (𝑎‘2))
2423adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < (𝑎‘2))
25 0zd 12511 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
26 ltrmy 41262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
2715, 25, 17, 26syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
2824, 27mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))
2922, 28eqbrtrrd 5129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))
30 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ ↔ (((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
3120, 29, 30sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ)
32 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) → ((𝑎‘3) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ))
3331, 32syl5ibrcom 246 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ))
3433pm4.71rd 563 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))))
35 simpllr 774 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2))
36 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℕ)
37 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘3) ∈ ℕ)
38 jm2.27 41318 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
4039pm5.32da 579 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
4134, 40bitrd 278 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
4241ex 413 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))))
4342pm5.32rd 578 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
44 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm 0))
4544adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm 0))
4621ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
4745, 46eqtrd 2776 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = 0)
4847eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
4948ex 413 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
5049pm5.32rd 578 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))
5143, 50orbi12d 917 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)) ↔ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))))
5251pm5.32da 579 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
5314, 52bitrd 278 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
5453rabbiia 3411 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))}
55 3nn0 12431 . . . 4 3 ∈ ℕ0
56 2z 12535 . . . 4 2 ∈ ℤ
57 ovex 7390 . . . . 5 (1...3) ∈ V
58 1nn 12164 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
5958jm2.27dlem3 41321 . . . . . . 7 1 ∈ (1...1)
60 df-2 12216 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
6159, 60, 58jm2.27dlem2 41320 . . . . . 6 1 ∈ (1...2)
6261, 4, 2jm2.27dlem2 41320 . . . . 5 1 ∈ (1...3)
63 mzpproj 41046 . . . . 5 (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
6457, 62, 63mp2an 690 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
65 eluzrabdioph 41115 . . . 4 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3))
6655, 56, 64, 65mp3an 1461 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3)
67 3nn 12232 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
6867jm2.27dlem3 41321 . . . . . . . 8 3 ∈ (1...3)
69 mzpproj 41046 . . . . . . . 8 (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
7057, 68, 69mp2an 690 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
71 elnnrabdioph 41116 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
7255, 70, 71mp2an 690 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
73 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖‘8) ∈ V
74 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖‘9) ∈ V
75 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖10) ∈ V
76 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔 = (𝑖‘9) → (𝑔↑2) = ((𝑖‘9)↑2))
77 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓↑2) = ((𝑖‘8)↑2))
7877oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2)) = (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
7976, 78oveqan12rd 7377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → ((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
8079eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
81803adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
82 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( = (𝑖10) → ( + 1) = ((𝑖10) + 1))
8382oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( = (𝑖10) → (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))))
8483eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = (𝑖10) → (𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
85843ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
8681, 853anbi12d 1437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))))
8786anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))))))
88 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))
8988breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3)) ↔ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
9089anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
91 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)))
9291breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑖‘8) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2))))
9392anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))
9490, 93anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑖‘8) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
95943ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9687, 95anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
9773, 74, 75, 96sbc3ie 3825 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9897sbcbii 3799 . . . . . . . . . . . . . 14 ([(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9998sbcbii 3799 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
10099sbcbii 3799 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
101100sbcbii 3799 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
102101sbcbii 3799 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
103 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘5) ∈ V
104 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘6) ∈ V
105 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘7) ∈ V
106 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
1071063ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
108 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐↑2) = ((𝑖‘5)↑2))
109108oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑖‘5) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
1101093ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
111107, 110oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
112111eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
113 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)))
1141133ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)))
115112, 1143anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ↔ (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))))
116 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒↑2) = ((𝑖‘7)↑2))
117116oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((𝑒↑2) − 1) = (((𝑖‘7)↑2) − 1))
118117oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)) = ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
119118oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
120119eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
1211203ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
122 eqeq1 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
1231223ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
124 simp2 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → 𝑑 = (𝑖‘6))
125 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
1261253ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
127124, 126breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))
128121, 123, 1273anbi123d 1436 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))))
129115, 128anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))))
130 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − 1) = ((𝑖‘7) − 1))
131130breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
132 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
133131, 132bi2anan9r 638 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
134133anbi1d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
1351343adant1 1130 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
136129, 135anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
137103, 104, 105, 136sbc3ie 3825 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
138137sbcbii 3799 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
139138sbcbii 3799 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
140 vex 3449 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ V
141140resex 5985 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ↾ (1...3)) ∈ V
142 fvex 6855 . . . . . . . . . . 11 (𝑖‘4) ∈ V
143 oveq1 7364 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑖‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑖‘4)↑2))
14462jm2.27dlem1 41319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑖‘1))
145144oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑖‘1)↑2))
146145oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑖‘1)↑2) − 1))
14768jm2.27dlem1 41319 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑖‘3))
148147oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑖‘3)↑2))
149146, 148oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))
150143, 149oveqan12rd 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))))
151150eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1))
152146oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
153152oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
154153eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
155154adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
156151, 1553anbi12d 1437 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))))
157148oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · ((𝑎‘3)↑2)) = (2 · ((𝑖‘3)↑2)))
158157oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))))
159158eqeq2d 2747 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))))
160144oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))
161160breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))
162159, 1613anbi23d 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
163162adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
164156, 163anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ↔ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))))
165147oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · (𝑎‘3)) = (2 · (𝑖‘3)))
166165breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
167147oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))
168167breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))))
169166, 168anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))))
1705jm2.27dlem1 41319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑖‘2))
171170oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)))
172165, 171breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))))
173170, 147breq12d 5118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3) ↔ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))
174172, 173anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))
175169, 174anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
176175adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
177164, 176anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))))
178141, 142, 177sbc2ie 3822 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
179102, 139, 1783bitri 296 . . . . . . . . 9 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
180179rabbii 3413 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} = {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))}
181 10nn0 12636 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℕ0
182 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...10) ∈ V
183 df-5 12219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 = (4 + 1)
184 df-6 12220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 = (5 + 1)
185 df-7 12221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7 = (6 + 1)
186 df-8 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 = (7 + 1)
187 df-9 12223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9 = (8 + 1)
188 9p1e10 12620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (9 + 1) = 10
189188eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10 = (9 + 1)
190 ssid 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...10) ⊆ (1...10)
191189, 190jm2.27dlem5 41323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1...9) ⊆ (1...10)
192187, 191jm2.27dlem5 41323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...8) ⊆ (1...10)
193186, 192jm2.27dlem5 41323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...7) ⊆ (1...10)
194185, 193jm2.27dlem5 41323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...6) ⊆ (1...10)
195184, 194jm2.27dlem5 41323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...5) ⊆ (1...10)
196183, 195jm2.27dlem5 41323 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...4) ⊆ (1...10)
197 4nn 12236 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ
198197jm2.27dlem3 41321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ (1...4)
199196, 198sselii 3941 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ (1...10)
200 mzpproj 41046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
201182, 199, 200mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
202 2nn0 12430 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
203 mzpexpmpt 41054 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
204201, 202, 203mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
205 df-4 12218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 = (3 + 1)
206205, 196jm2.27dlem5 41323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...3) ⊆ (1...10)
2074, 206jm2.27dlem5 41323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...2) ⊆ (1...10)
20860, 207jm2.27dlem5 41323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...1) ⊆ (1...10)
209208, 59sselii 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ (1...10)
210 mzpproj 41046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1...10) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
211182, 209, 210mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
212 mzpexpmpt 41054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
213211, 202, 212mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
214 1z 12533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
215 mzpconstmpt 41049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
216182, 214, 215mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))
217 mzpsubmpt 41052 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
218213, 216, 217mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
219206, 68sselii 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ (1...10)
220 mzpproj 41046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
221182, 219, 220mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
222 mzpexpmpt 41054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
223221, 202, 222mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
224 mzpmulmpt 41051 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
225218, 223, 224mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
226 mzpsubmpt 41052 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
227204, 225, 226mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
228 eqrabdioph 41086 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
229181, 227, 216, 228mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
230 6nn 12242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ
231230jm2.27dlem3 41321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ (1...6)
232194, 231sselii 3941 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ (1...10)
233 mzpproj 41046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
234182, 232, 233mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
235 mzpexpmpt 41054 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
236234, 202, 235mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
237 5nn 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 ∈ ℕ
238237jm2.27dlem3 41321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ (1...5)
239195, 238sselii 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ (1...10)
240 mzpproj 41046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
241182, 239, 240mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
242 mzpexpmpt 41054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
243241, 202, 242mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
244 mzpmulmpt 41051 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
245218, 243, 244mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
246 mzpsubmpt 41052 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
247236, 245, 246mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
248 eqrabdioph 41086 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
249181, 247, 216, 248mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
250 7nn 12245 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℕ
251250jm2.27dlem3 41321 . . . . . . . . . . . . . 14 7 ∈ (1...7)
252193, 251sselii 3941 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ (1...10)
253 mzpproj 41046 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...10) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
254182, 252, 253mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
255 eluzrabdioph 41115 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10))
256181, 56, 254, 255mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10)
257 3anrabdioph 41091 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10))
258229, 249, 256, 257mp3an 1461 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10)
259 9nn 12251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 9 ∈ ℕ
260259jm2.27dlem3 41321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ (1...9)
261260, 189, 259jm2.27dlem2 41320 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ (1...10)
262 mzpproj 41046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 9 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
263182, 261, 262mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
264 mzpexpmpt 41054 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
265263, 202, 264mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
266 mzpexpmpt 41054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
267254, 202, 266mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
268 mzpsubmpt 41052 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
269267, 216, 268mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
270 8nn 12248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℕ
271270jm2.27dlem3 41321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ (1...8)
272192, 271sselii 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ (1...10)
273 mzpproj 41046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 8 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
274182, 272, 273mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
275 mzpexpmpt 41054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
276274, 202, 275mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
277 mzpmulmpt 41051 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
278269, 276, 277mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
279 mzpsubmpt 41052 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
280265, 278, 279mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
281 eqrabdioph 41086 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
282181, 280, 216, 281mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
283 10nn 12634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ∈ ℕ
284283jm2.27dlem3 41321 . . . . . . . . . . . . . . 15 10 ∈ (1...10)
285 mzpproj 41046 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 10 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
286182, 284, 285mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
287 mzpaddmpt 41050 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
288286, 216, 287mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
289 mzpconstmpt 41049 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
290182, 56, 289mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10))
291 mzpmulmpt 41051 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
292290, 223, 291mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
293 mzpmulmpt 41051 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
294288, 292, 293mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
295 eqrabdioph 41086 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10))
296181, 241, 294, 295mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10)
297 mzpsubmpt 41052 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
298254, 211, 297mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
299 dvdsrabdioph 41119 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10))
300181, 234, 298, 299mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10)
301 3anrabdioph 41091 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10))
302282, 296, 300, 301mp3an 1461 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10)
303 anrabdioph 41089 . . . . . . . . . 10 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10))
304258, 302, 303mp2an 690 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10)
305 mzpmulmpt 41051 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
306290, 221, 305mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
307 mzpsubmpt 41052 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
308254, 216, 307mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
309 dvdsrabdioph 41119 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10))
310181, 306, 308, 309mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10)
311 mzpsubmpt 41052 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
312274, 221, 311mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
313 dvdsrabdioph 41119 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10))
314181, 234, 312, 313mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)
315 anrabdioph 41089 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10))
316310, 314, 315mp2an 690 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)
317207, 3sselii 3941 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (1...10)
318 mzpproj 41046 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...10) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
319182, 317, 318mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
320 mzpsubmpt 41052 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
321274, 319, 320mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
322 dvdsrabdioph 41119 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10))
323181, 306, 321, 322mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10)
324 lerabdioph 41114 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10))
325181, 319, 221, 324mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10)
326 anrabdioph 41089 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10))
327323, 325, 326mp2an 690 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)
328 anrabdioph 41089 . . . . . . . . . 10 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10))
329316, 327, 328mp2an 690 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)
330 anrabdioph 41089 . . . . . . . . 9 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘10))
331304, 329, 330mp2an 690 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘10)
332180, 331eqeltri 2834 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘10)
333205, 183, 184, 185, 186, 187, 1897rexfrabdioph 41109 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3))
33455, 332, 333mp2an 690 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)
335 anrabdioph 41089 . . . . . 6 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3))
33672, 334, 335mp2an 690 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3)
337 mzpproj 41046 . . . . . . 7 (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
33857, 5, 337mp2an 690 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
339 elnnrabdioph 41116 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
34055, 338, 339mp2an 690 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
341 anrabdioph 41089 . . . . 5 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3))
342336, 340, 341mp2an 690 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3)
343 eq0rabdioph 41085 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
34455, 70, 343mp2an 690 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
345 eq0rabdioph 41085 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
34655, 338, 345mp2an 690 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
347 anrabdioph 41089 . . . . 5 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
348344, 346, 347mp2an 690 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
349 orrabdioph 41090 . . . 4 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
350342, 348, 349mp2an 690 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
351 anrabdioph 41089 . . 3 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
35266, 350, 351mp2an 690 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
35354, 352eqeltri 2834 1 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  [wsbc 3739   class class class wbr 5105  cmpt 5188  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  5c5 12211  6c6 12212  7c7 12213  8c8 12214  9c9 12215  0cn0 12413  cz 12499  cdc 12618  cuz 12763  ...cfz 13424  cexp 13967  cdvds 16136  mzPolycmzp 41031  Diophcdioph 41064   Yrm crmy 41210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-numer 16610  df-denom 16611  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-mzpcl 41032  df-mzp 41033  df-dioph 41065  df-squarenn 41150  df-pell1qr 41151  df-pell14qr 41152  df-pell1234qr 41153  df-pellfund 41154  df-rmx 41211  df-rmy 41212
This theorem is referenced by:  rmxdioph  41326  expdiophlem2  41332
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