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Theorem rmydioph 40539
Description: jm2.27 40533 restated in terms of Diophantine sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
rmydioph {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem rmydioph
Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elmapi 8530 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
2 2nn 11903 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
32jm2.27dlem3 40536 . . . . . . . 8 2 ∈ (1...2)
4 df-3 11894 . . . . . . . 8 3 = (2 + 1)
53, 4, 2jm2.27dlem2 40535 . . . . . . 7 2 ∈ (1...3)
6 ffvelrn 6902 . . . . . . 7 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
71, 5, 6sylancl 589 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
8 elnn0 12092 . . . . . 6 ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
97, 8sylib 221 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
10 iba 531 . . . . . . 7 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))))
11 andi 1008 . . . . . . 7 (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))
1210, 11bitrdi 290 . . . . . 6 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))))
1312anbi2d 632 . . . . 5 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
149, 13syl 17 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
15 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2))
16 nnz 12199 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
1716adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
18 frmy 40439 . . . . . . . . . . . . . 14 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
1918fovcl 7338 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
2015, 17, 19syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ)
21 rmy0 40454 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
2221ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
23 nngt0 11861 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → 0 < (𝑎‘2))
2423adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < (𝑎‘2))
25 0zd 12188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
26 ltrmy 40477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑎‘2) ∈ ℤ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
2715, 25, 17, 26syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0 < (𝑎‘2) ↔ ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
2824, 27mpbid 235 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm 0) < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))
2922, 28eqbrtrrd 5077 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → 0 < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))
30 elnnz 12186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ ↔ (((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℤ ∧ 0 < ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))))
3120, 29, 30sylanbrc 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ)
32 eleq1 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) → ((𝑎‘3) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∈ ℕ))
3331, 32syl5ibrcom 250 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) → (𝑎‘3) ∈ ℕ))
3433pm4.71rd 566 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))))
35 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2))
36 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘2) ∈ ℕ)
37 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → (𝑎‘3) ∈ ℕ)
38 jm2.27 40533 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
3935, 36, 37, 38syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
4039pm5.32da 582 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
4134, 40bitrd 282 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))))
4241ex 416 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))))
4342pm5.32rd 581 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
44 oveq2 7221 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm 0))
4544adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = ((𝑎‘1) Yrm 0))
4621ad2antlr 727 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm 0) = 0)
4745, 46eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) = 0)
4847eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
4948ex 416 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
5049pm5.32rd 581 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))
5143, 50orbi12d 919 . . . . 5 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0)) ↔ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))))
5251pm5.32da 582 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) = 0))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
5314, 52bitrd 282 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))))
5453rabbiia 3382 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))}
55 3nn0 12108 . . . 4 3 ∈ ℕ0
56 2z 12209 . . . 4 2 ∈ ℤ
57 ovex 7246 . . . . 5 (1...3) ∈ V
58 1nn 11841 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
5958jm2.27dlem3 40536 . . . . . . 7 1 ∈ (1...1)
60 df-2 11893 . . . . . . 7 2 = (1 + 1)
6159, 60, 58jm2.27dlem2 40535 . . . . . 6 1 ∈ (1...2)
6261, 4, 2jm2.27dlem2 40535 . . . . 5 1 ∈ (1...3)
63 mzpproj 40262 . . . . 5 (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
6457, 62, 63mp2an 692 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
65 eluzrabdioph 40331 . . . 4 ((3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3))
6655, 56, 64, 65mp3an 1463 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3)
67 3nn 11909 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ
6867jm2.27dlem3 40536 . . . . . . . 8 3 ∈ (1...3)
69 mzpproj 40262 . . . . . . . 8 (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
7057, 68, 69mp2an 692 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
71 elnnrabdioph 40332 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
7255, 70, 71mp2an 692 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
73 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖‘8) ∈ V
74 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖‘9) ∈ V
75 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖10) ∈ V
76 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑔 = (𝑖‘9) → (𝑔↑2) = ((𝑖‘9)↑2))
77 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓↑2) = ((𝑖‘8)↑2))
7877oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2)) = (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
7976, 78oveqan12rd 7233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → ((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
8079eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
81803adant3 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
82 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( = (𝑖10) → ( + 1) = ((𝑖10) + 1))
8382oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ( = (𝑖10) → (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))))
8483eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = (𝑖10) → (𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
85843ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
8681, 853anbi12d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))))
8786anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))))))
88 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))
8988breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3)) ↔ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
9089anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
91 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓 = (𝑖‘8) → (𝑓 − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)))
9291breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓 = (𝑖‘8) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2))))
9392anbi1d 633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 = (𝑖‘8) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))
9490, 93anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑖‘8) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
95943ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9687, 95anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 = (𝑖‘8) ∧ 𝑔 = (𝑖‘9) ∧ = (𝑖10)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
9773, 74, 75, 96sbc3ie 3781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9897sbcbii 3755 . . . . . . . . . . . . . 14 ([(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
9998sbcbii 3755 . . . . . . . . . . . . 13 ([(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
10099sbcbii 3755 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
101100sbcbii 3755 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
102101sbcbii 3755 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
103 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘5) ∈ V
104 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘6) ∈ V
105 fvex 6730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖‘7) ∈ V
106 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
1071063ad2ant2 1136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑↑2) = ((𝑖‘6)↑2))
108 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐↑2) = ((𝑖‘5)↑2))
109108oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = (𝑖‘5) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
1101093ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2)) = ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
111107, 110oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
112111eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
113 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)))
1141133ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)))
115112, 1143anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ↔ (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))))
116 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒↑2) = ((𝑖‘7)↑2))
117116oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((𝑒↑2) − 1) = (((𝑖‘7)↑2) − 1))
118117oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)) = ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))
119118oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))))
120119eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
1211203ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1))
122 eqeq1 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 = (𝑖‘5) → (𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
1231223ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2)))))
124 simp2 1139 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → 𝑑 = (𝑖‘6))
125 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
1261253ad2ant3 1137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑒 − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))
127124, 126breq12d 5066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))
128121, 123, 1273anbi123d 1438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))))
129115, 128anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ↔ ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))))))
130 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = (𝑖‘7) → (𝑒 − 1) = ((𝑖‘7) − 1))
131130breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = (𝑖‘7) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ↔ (2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
132 breq1 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 = (𝑖‘6) → (𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))))
133131, 132bi2anan9r 640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)))))
134133anbi1d 633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
1351343adant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
136129, 135anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 = (𝑖‘5) ∧ 𝑑 = (𝑖‘6) ∧ 𝑒 = (𝑖‘7)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))))
137103, 104, 105, 136sbc3ie 3781 . . . . . . . . . . . 12 ([(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
138137sbcbii 3755 . . . . . . . . . . 11 ([(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
139138sbcbii 3755 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))
140 vex 3412 . . . . . . . . . . . 12 𝑖 ∈ V
141140resex 5899 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ↾ (1...3)) ∈ V
142 fvex 6730 . . . . . . . . . . 11 (𝑖‘4) ∈ V
143 oveq1 7220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = (𝑖‘4) → (𝑏↑2) = ((𝑖‘4)↑2))
14462jm2.27dlem1 40534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘1) = (𝑖‘1))
145144oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘1)↑2) = ((𝑖‘1)↑2))
146145oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑎‘1)↑2) − 1) = (((𝑖‘1)↑2) − 1))
14768jm2.27dlem1 40534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘3) = (𝑖‘3))
148147oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘3)↑2) = ((𝑖‘3)↑2))
149146, 148oveq12d 7231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))
150143, 149oveqan12rd 7233 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))))
151150eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1))
152146oveq1d 7228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)) = ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))
153152oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))))
154153eqeq1d 2739 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
155154adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ↔ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1))
156151, 1553anbi12d 1439 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ↔ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))))
157148oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · ((𝑎‘3)↑2)) = (2 · ((𝑖‘3)↑2)))
158157oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))))
159158eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ↔ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))))
160144oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) = ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))
161160breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))
162159, 1613anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
163162adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1))) ↔ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))))
164156, 163anbi12d 634 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ↔ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))))
165147oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (2 · (𝑎‘3)) = (2 · (𝑖‘3)))
166165breq1d 5063 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)))
167147oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))
168167breq2d 5065 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3)) ↔ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))))
169166, 168anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))))
1705jm2.27dlem1 40534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (𝑎‘2) = (𝑖‘2))
171170oveq2d 7229 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) = ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)))
172165, 171breq12d 5066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ↔ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))))
173170, 147breq12d 5066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3) ↔ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))
174172, 173anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)) ↔ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))
175169, 174anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
176175adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))) ↔ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
177164, 176anbi12d 634 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 = (𝑖 ↾ (1...3)) ∧ 𝑏 = (𝑖‘4)) → ((((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))))
178141, 142, 177sbc2ie 3778 . . . . . . . . . 10 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
179102, 139, 1783bitri 300 . . . . . . . . 9 ([(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))) ↔ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))))
180179rabbii 3383 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} = {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))}
181 10nn0 12311 . . . . . . . . . . . 12 10 ∈ ℕ0
182 ovex 7246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...10) ∈ V
183 df-5 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 = (4 + 1)
184 df-6 11897 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 6 = (5 + 1)
185 df-7 11898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 7 = (6 + 1)
186 df-8 11899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 8 = (7 + 1)
187 df-9 11900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 9 = (8 + 1)
188 9p1e10 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (9 + 1) = 10
189188eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 10 = (9 + 1)
190 ssid 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...10) ⊆ (1...10)
191189, 190jm2.27dlem5 40538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1...9) ⊆ (1...10)
192187, 191jm2.27dlem5 40538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...8) ⊆ (1...10)
193186, 192jm2.27dlem5 40538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...7) ⊆ (1...10)
194185, 193jm2.27dlem5 40538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...6) ⊆ (1...10)
195184, 194jm2.27dlem5 40538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...5) ⊆ (1...10)
196183, 195jm2.27dlem5 40538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...4) ⊆ (1...10)
197 4nn 11913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℕ
198197jm2.27dlem3 40536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 4 ∈ (1...4)
199196, 198sselii 3897 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ (1...10)
200 mzpproj 40262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 4 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
201182, 199, 200mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
202 2nn0 12107 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℕ0
203 mzpexpmpt 40270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘4)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
204201, 202, 203mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
205 df-4 11895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 = (3 + 1)
206205, 196jm2.27dlem5 40538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...3) ⊆ (1...10)
2074, 206jm2.27dlem5 40538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...2) ⊆ (1...10)
20860, 207jm2.27dlem5 40538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...1) ⊆ (1...10)
209208, 59sselii 3897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ (1...10)
210 mzpproj 40262 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((1...10) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
211182, 209, 210mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
212 mzpexpmpt 40270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
213211, 202, 212mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
214 1z 12207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
215 mzpconstmpt 40265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
216182, 214, 215mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))
217 mzpsubmpt 40268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘1)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
218213, 216, 217mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
219206, 68sselii 3897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ (1...10)
220 mzpproj 40262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
221182, 219, 220mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
222 mzpexpmpt 40270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
223221, 202, 222mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
224 mzpmulmpt 40267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
225218, 223, 224mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
226 mzpsubmpt 40268 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘4)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
227204, 225, 226mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
228 eqrabdioph 40302 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
229181, 227, 216, 228mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
230 6nn 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ
231230jm2.27dlem3 40536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 6 ∈ (1...6)
232194, 231sselii 3897 . . . . . . . . . . . . . . 15 6 ∈ (1...10)
233 mzpproj 40262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 6 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
234182, 232, 233mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
235 mzpexpmpt 40270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
236234, 202, 235mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
237 5nn 11916 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 5 ∈ ℕ
238237jm2.27dlem3 40536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 5 ∈ (1...5)
239195, 238sselii 3897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ (1...10)
240 mzpproj 40262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 5 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
241182, 239, 240mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
242 mzpexpmpt 40270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
243241, 202, 242mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
244 mzpmulmpt 40267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘1)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘5)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
245218, 243, 244mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
246 mzpsubmpt 40268 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘6)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
247236, 245, 246mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
248 eqrabdioph 40302 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
249181, 247, 216, 248mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
250 7nn 11922 . . . . . . . . . . . . . . 15 7 ∈ ℕ
251250jm2.27dlem3 40536 . . . . . . . . . . . . . 14 7 ∈ (1...7)
252193, 251sselii 3897 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ (1...10)
253 mzpproj 40262 . . . . . . . . . . . . 13 (((1...10) ∈ V ∧ 7 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
254182, 252, 253mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
255 eluzrabdioph 40331 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10))
256181, 56, 254, 255mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10)
257 3anrabdioph 40307 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10))
258229, 249, 256, 257mp3an 1463 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10)
259 9nn 11928 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 9 ∈ ℕ
260259jm2.27dlem3 40536 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ (1...9)
261260, 189, 259jm2.27dlem2 40535 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ∈ (1...10)
262 mzpproj 40262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 9 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
263182, 261, 262mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
264 mzpexpmpt 40270 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘9)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
265263, 202, 264mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
266 mzpexpmpt 40270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
267254, 202, 266mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
268 mzpsubmpt 40268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
269267, 216, 268mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
270 8nn 11925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 8 ∈ ℕ
271270jm2.27dlem3 40536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ (1...8)
272192, 271sselii 3897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ (1...10)
273 mzpproj 40262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((1...10) ∈ V ∧ 8 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
274182, 272, 273mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
275 mzpexpmpt 40270 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ 2 ∈ ℕ0) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
276274, 202, 275mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
277 mzpmulmpt 40267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘7)↑2) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
278269, 276, 277mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
279 mzpsubmpt 40268 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘9)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
280265, 278, 279mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
281 eqrabdioph 40302 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10))
282181, 280, 216, 281mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10)
283 10nn 12309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ∈ ℕ
284283jm2.27dlem3 40536 . . . . . . . . . . . . . . 15 10 ∈ (1...10)
285 mzpproj 40262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 10 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
286182, 284, 285mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
287 mzpaddmpt 40266 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖10)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
288286, 216, 287mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
289 mzpconstmpt 40265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((1...10) ∈ V ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
290182, 56, 289mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10))
291 mzpmulmpt 40267 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘3)↑2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
292290, 223, 291mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
293 mzpmulmpt 40267 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖10) + 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
294288, 292, 293mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
295 eqrabdioph 40302 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘5)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10))
296181, 241, 294, 295mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10)
297 mzpsubmpt 40268 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
298254, 211, 297mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
299 dvdsrabdioph 40335 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10))
300181, 234, 298, 299mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10)
301 3anrabdioph 40307 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2)))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10))
302282, 296, 300, 301mp3an 1463 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10)
303 anrabdioph 40305 . . . . . . . . . 10 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10))
304258, 302, 303mp2an 692 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10)
305 mzpmulmpt 40267 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 2) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
306290, 221, 305mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
307 mzpsubmpt 40268 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘7)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
308254, 216, 307mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
309 dvdsrabdioph 40335 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘7) − 1)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10))
310181, 306, 308, 309mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10)
311 mzpsubmpt 40268 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
312274, 221, 311mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
313 dvdsrabdioph 40335 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘6)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10))
314181, 234, 312, 313mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)
315 anrabdioph 40305 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1)} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10))
316310, 314, 315mp2an 692 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)
317207, 3sselii 3897 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ (1...10)
318 mzpproj 40262 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1...10) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...10)) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
319182, 317, 318mp2an 692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))
320 mzpsubmpt 40268 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘8)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10)))
321274, 319, 320mp2an 692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))
322 dvdsrabdioph 40335 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (2 · (𝑖‘3))) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10))
323181, 306, 321, 322mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10)
324 lerabdioph 40330 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℕ0 ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...10)) ∧ (𝑖 ∈ (ℤ ↑m (1...10)) ↦ (𝑖‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...10))) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10))
325181, 319, 221, 324mp3an 1463 . . . . . . . . . . 11 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10)
326 anrabdioph 40305 . . . . . . . . . . 11 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10))
327323, 325, 326mp2an 692 . . . . . . . . . 10 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)
328 anrabdioph 40305 . . . . . . . . . 10 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10))
329316, 327, 328mp2an 692 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)
330 anrabdioph 40305 . . . . . . . . 9 (({𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1))))} ∈ (Dioph‘10) ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3)))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘10))
331304, 329, 330mp2an 692 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ ((((((𝑖‘4)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘3)↑2))) = 1 ∧ (((𝑖‘6)↑2) − ((((𝑖‘1)↑2) − 1) · ((𝑖‘5)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘7) ∈ (ℤ‘2)) ∧ ((((𝑖‘9)↑2) − ((((𝑖‘7)↑2) − 1) · ((𝑖‘8)↑2))) = 1 ∧ (𝑖‘5) = (((𝑖10) + 1) · (2 · ((𝑖‘3)↑2))) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘7) − (𝑖‘1)))) ∧ (((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘7) − 1) ∧ (𝑖‘6) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘3))) ∧ ((2 · (𝑖‘3)) ∥ ((𝑖‘8) − (𝑖‘2)) ∧ (𝑖‘2) ≤ (𝑖‘3))))} ∈ (Dioph‘10)
332180, 331eqeltri 2834 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘10)
333205, 183, 184, 185, 186, 187, 1897rexfrabdioph 40325 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ {𝑖 ∈ (ℕ0m (1...10)) ∣ [(𝑖 ↾ (1...3)) / 𝑎][(𝑖‘4) / 𝑏][(𝑖‘5) / 𝑐][(𝑖‘6) / 𝑑][(𝑖‘7) / 𝑒][(𝑖‘8) / 𝑓][(𝑖‘9) / 𝑔][(𝑖10) / ](((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘10)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3))
33455, 332, 333mp2an 692 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)
335 anrabdioph 40305 . . . . . 6 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3))
33672, 334, 335mp2an 692 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3)
337 mzpproj 40262 . . . . . . 7 (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
33857, 5, 337mp2an 692 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
339 elnnrabdioph 40332 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
34055, 338, 339mp2an 692 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
341 anrabdioph 40305 . . . . 5 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3)))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3))
342336, 340, 341mp2an 692 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3)
343 eq0rabdioph 40301 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
34455, 70, 343mp2an 692 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
345 eq0rabdioph 40301 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
34655, 338, 345mp2an 692 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
347 anrabdioph 40305 . . . . 5 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
348344, 346, 347mp2an 692 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
349 orrabdioph 40306 . . . 4 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
350342, 348, 349mp2an 692 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
351 anrabdioph 40305 . . 3 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
35266, 350, 351mp2an 692 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ ((((𝑎‘3) ∈ ℕ ∧ ∃𝑏 ∈ ℕ0𝑐 ∈ ℕ0𝑑 ∈ ℕ0𝑒 ∈ ℕ0𝑓 ∈ ℕ0𝑔 ∈ ℕ0 ∈ ℕ0 (((((𝑏↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · ((𝑎‘3)↑2))) = 1 ∧ ((𝑑↑2) − ((((𝑎‘1)↑2) − 1) · (𝑐↑2))) = 1 ∧ 𝑒 ∈ (ℤ‘2)) ∧ (((𝑔↑2) − (((𝑒↑2) − 1) · (𝑓↑2))) = 1 ∧ 𝑐 = (( + 1) · (2 · ((𝑎‘3)↑2))) ∧ 𝑑 ∥ (𝑒 − (𝑎‘1)))) ∧ (((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑒 − 1) ∧ 𝑑 ∥ (𝑓 − (𝑎‘3))) ∧ ((2 · (𝑎‘3)) ∥ (𝑓 − (𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ≤ (𝑎‘3))))) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = 0 ∧ (𝑎‘2) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
35354, 352eqeltri 2834 1 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1) Yrm (𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399  wo 847  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wrex 3062  {crab 3065  Vcvv 3408  [wsbc 3694   class class class wbr 5053  cmpt 5135  cres 5553  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  m cmap 8508  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867  cle 10868  cmin 11062  cn 11830  2c2 11885  3c3 11886  4c4 11887  5c5 11888  6c6 11889  7c7 11890  8c8 11891  9c9 11892  0cn0 12090  cz 12176  cdc 12293  cuz 12438  ...cfz 13095  cexp 13635  cdvds 15815  mzPolycmzp 40247  Diophcdioph 40280   Yrm crmy 40426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-xnn0 12163  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-prm 16229  df-numer 16291  df-denom 16292  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764  df-log 25445  df-mzpcl 40248  df-mzp 40249  df-dioph 40281  df-squarenn 40366  df-pell1qr 40367  df-pell14qr 40368  df-pell1234qr 40369  df-pellfund 40370  df-rmx 40427  df-rmy 40428
This theorem is referenced by:  rmxdioph  40541  expdiophlem2  40547
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