Theorem peano2nn 12198

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8403	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
2		fvelrnb 6921	. . . 4 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω → (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴)
4		ovex 7420	. . . . . . 7 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ V
5		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
6		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + 1) = (𝑥 + 1))
7		oveq1 7394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) → (𝑧 + 1) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
8	5, 6, 7	frsucmpt2 8408	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ V) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
9	4, 8	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
10		peano2 7866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
11		fnfvelrn 7052	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ suc 𝑦 ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
12	1, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
13		df-nn 12187	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
14		df-ima 5651	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
15	13, 14	eqtri 2752	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
16	12, 15	eleqtrrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ℕ)
17	9, 16	eqeltrrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
18		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) = (𝐴 + 1))
19	18	eleq1d 2813	. . . . 5 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 1) ∈ ℕ))
20	17, 19	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ))
21	20	rexlimiv 3127	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
22	3, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
23	22, 15	eleq2s 2846	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053  Vcvv 3447   ↦ cmpt 5188  ran crn 5639   ↾ cres 5640   “ cima 5641  suc csuc 6334   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ωcom 7842  reccrdg 8377  1c1 11069   + caddc 11071  ℕcn 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-nn 12187

This theorem is referenced by:  dfnn2  12199  dfnn3  12200  peano2nnd  12203  nnind  12204  nnaddcl  12209  2nn  12259  3nn  12265  4nn  12269  5nn  12272  6nn  12275  7nn  12278  8nn  12281  9nn  12284  nnunb  12438  nneo  12618  10nn  12665  fzonn0p1p1  13705  ser1const  14023  expp1  14033  facp1  14243  relexpsucnnl  14996  isercolllem1  15631  isercoll2  15635  climcndslem2  15816  climcnds  15817  harmonic  15825  trireciplem  15828  trirecip  15829  rpnnen2lem9  16190  sqrt2irr  16217  nno  16352  nnoddm1d2  16356  rplpwr  16528  prmind2  16655  eulerthlem2  16752  pcmpt  16863  pockthi  16878  prmreclem6  16892  dec5nprm  17037  mulgnnp1  19014  chfacfisf  22741  chfacfisfcpmat  22742  cayhamlem1  22753  1stcfb  23332  bcthlem3  25226  bcthlem4  25227  ovolunlem1a  25397  ovolicc2lem4  25421  voliunlem1  25451  volsup  25457  volsup2  25506  itg1climres  25615  mbfi1fseqlem5  25620  itg2monolem1  25651  itg2i1fseqle  25655  itg2i1fseq  25656  itg2i1fseq2  25657  itg2addlem  25659  itg2gt0  25661  itg2cnlem1  25662  aaliou3lem7  26257  emcllem1  26906  emcllem2  26907  emcllem3  26908  emcllem5  26910  emcllem6  26911  emcllem7  26912  zetacvg  26925  lgam1  26974  bclbnd  27191  bposlem5  27199  2sqlem10  27339  dchrisumlem2  27401  logdivbnd  27467  pntrsumo1  27476  pntrsumbnd  27477  wwlksext2clwwlk  29986  numclwwlk2lem1  30305  numclwlk2lem2f  30306  opsqrlem5  32073  opsqrlem6  32074  nnindf  32744  psgnfzto1st  33062  esumpmono  34069  fibp1  34392  rrvsum  34445  subfacp1lem6  35172  subfaclim  35175  bcprod  35725  bccolsum  35726  iprodgam  35729  faclimlem1  35730  faclimlem2  35731  faclim2  35735  nn0prpwlem  36310  mblfinlem2  37652  volsupnfl  37659  seqpo  37741  incsequz  37742  incsequz2  37743  geomcau  37753  heiborlem6  37810  bfplem1  37816  fimgmcyc  42522  fsuppind  42578  jm2.27dlem4  43001  nnsplit  45354  sumnnodd  45628  stoweidlem20  46018  wallispilem4  46066  wallispi2lem1  46069  wallispi2lem2  46070  stirlinglem4  46075  stirlinglem8  46079  stirlinglem11  46082  stirlinglem12  46083  stirlinglem13  46084  vonioolem2  46679  vonicclem2  46682  deccarry  47309  iccpartres  47416  iccelpart  47431  odz2prm2pw  47561  fmtnoprmfac1  47563  fmtnoprmfac2  47565  lighneallem4  47608