Theorem peano2nn 12157

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8366	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
2		fvelrnb 6894	. . . 4 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω → (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴)
4		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ V
5		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
6		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + 1) = (𝑥 + 1))
7		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) → (𝑧 + 1) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
8	5, 6, 7	frsucmpt2 8371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ V) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
9	4, 8	mpan2 691	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
10		peano2 7832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
11		fnfvelrn 7025	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ suc 𝑦 ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
12	1, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
13		df-nn 12146	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
14		df-ima 5637	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
15	13, 14	eqtri 2759	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
16	12, 15	eleqtrrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ℕ)
17	9, 16	eqeltrrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
18		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) = (𝐴 + 1))
19	18	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 1) ∈ ℕ))
20	17, 19	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ))
21	20	rexlimiv 3130	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
22	3, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
23	22, 15	eleq2s 2854	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625   ↾ cres 5626   “ cima 5627  suc csuc 6319   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ωcom 7808  reccrdg 8340  1c1 11027   + caddc 11029  ℕcn 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-nn 12146

This theorem is referenced by:  dfnn2  12158  dfnn3  12159  peano2nnd  12162  nnind  12163  nnaddcl  12168  2nn  12218  3nn  12224  4nn  12228  5nn  12231  6nn  12234  7nn  12237  8nn  12240  9nn  12243  nnunb  12397  nneo  12576  10nn  12623  fzonn0p1p1  13660  ser1const  13981  expp1  13991  facp1  14201  relexpsucnnl  14953  isercolllem1  15588  isercoll2  15592  climcndslem2  15773  climcnds  15774  harmonic  15782  trireciplem  15785  trirecip  15786  rpnnen2lem9  16147  sqrt2irr  16174  nno  16309  nnoddm1d2  16313  rplpwr  16485  prmind2  16612  eulerthlem2  16709  pcmpt  16820  pockthi  16835  prmreclem6  16849  dec5nprm  16994  mulgnnp1  19012  chfacfisf  22798  chfacfisfcpmat  22799  cayhamlem1  22810  1stcfb  23389  bcthlem3  25282  bcthlem4  25283  ovolunlem1a  25453  ovolicc2lem4  25477  voliunlem1  25507  volsup  25513  volsup2  25562  itg1climres  25671  mbfi1fseqlem5  25676  itg2monolem1  25707  itg2i1fseqle  25711  itg2i1fseq  25712  itg2i1fseq2  25713  itg2addlem  25715  itg2gt0  25717  itg2cnlem1  25718  aaliou3lem7  26313  emcllem1  26962  emcllem2  26963  emcllem3  26964  emcllem5  26966  emcllem6  26967  emcllem7  26968  zetacvg  26981  lgam1  27030  bclbnd  27247  bposlem5  27255  2sqlem10  27395  dchrisumlem2  27457  logdivbnd  27523  pntrsumo1  27532  pntrsumbnd  27533  wwlksext2clwwlk  30132  numclwwlk2lem1  30451  numclwlk2lem2f  30452  opsqrlem5  32219  opsqrlem6  32220  nnindf  32900  psgnfzto1st  33187  esumpmono  34236  fibp1  34558  rrvsum  34611  subfacp1lem6  35379  subfaclim  35382  bcprod  35932  bccolsum  35933  iprodgam  35936  faclimlem1  35937  faclimlem2  35938  faclim2  35942  nn0prpwlem  36516  mblfinlem2  37859  volsupnfl  37866  seqpo  37948  incsequz  37949  incsequz2  37950  geomcau  37960  heiborlem6  38017  bfplem1  38023  fimgmcyc  42789  fsuppind  42833  jm2.27dlem4  43254  nnsplit  45603  sumnnodd  45876  stoweidlem20  46264  wallispilem4  46312  wallispi2lem1  46315  wallispi2lem2  46316  stirlinglem4  46321  stirlinglem8  46325  stirlinglem11  46328  stirlinglem12  46329  stirlinglem13  46330  vonioolem2  46925  vonicclem2  46928  deccarry  47557  iccpartres  47664  iccelpart  47679  odz2prm2pw  47809  fmtnoprmfac1  47811  fmtnoprmfac2  47813  lighneallem4  47856