Theorem peano2nn 12241

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8418	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
2		fvelrnb 6939	. . . 4 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω → (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴)
4		ovex 7441	. . . . . . 7 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ V
5		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
6		oveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + 1) = (𝑥 + 1))
7		oveq1 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) → (𝑧 + 1) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
8	5, 6, 7	frsucmpt2 8423	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ V) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
9	4, 8	mpan2 703	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
10		peano2 7882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
11		fnfvelrn 7073	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ suc 𝑦 ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
12	1, 10, 11	sylancr 598	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
13		df-nn 12230	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
14		df-ima 5672	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
15	13, 14	eqtri 2792	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
16	12, 15	eleqtrrdi 2880	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ℕ)
17	9, 16	eqeltrrd 2870	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
18		oveq1 7415	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) = (𝐴 + 1))
19	18	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 1) ∈ ℕ))
20	17, 19	syl5ibcom 248	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ))
21	20	rexlimiv 3165	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
22	3, 21	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
23	22, 15	eleq2s 2887	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095  Vcvv 3463   ↦ cmpt 5193  ran crn 5660   ↾ cres 5661   “ cima 5662  suc csuc 6359   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ωcom 7858  reccrdg 8392  1c1 11097   + caddc 11099  ℕcn 12229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7411  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-nn 12230

This theorem is referenced by:  dfnn2  12242  dfnn3  12243  peano2nnd  12246  nnind  12247  nnaddcl  12252  2nn  12310  3nn  12316  4nn  12320  5nn  12323  6nn  12326  7nn  12329  8nn  12332  9nn  12335  nnunb  12496  nneo  12676  10nn  12727  fzonn0p1p1  13769  ser1const  14090  expp1  14100  facp1  14310  relexpsucnnl  15063  isercolllem1  15712  isercoll2  15716  climcndslem2  15900  climcnds  15901  harmonic  15909  trireciplem  15912  trirecip  15913  rpnnen2lem9  16274  sqrt2irr  16301  nno  16436  nnoddm1d2  16440  rplpwr  16612  prmind2  16739  eulerthlem2  16837  pcmpt  16948  pockthi  16963  prmreclem6  16977  dec5nprm  17122  mulgnnp1  19144  chfacfisf  22976  chfacfisfcpmat  22977  cayhamlem1  22988  1stcfb  23567  bcthlem3  25450  bcthlem4  25451  ovolunlem1a  25620  ovolicc2lem4  25644  voliunlem1  25674  volsup  25680  volsup2  25729  itg1climres  25838  mbfi1fseqlem5  25843  itg2monolem1  25874  itg2i1fseqle  25878  itg2i1fseq  25879  itg2i1fseq2  25880  itg2addlem  25882  itg2gt0  25884  itg2cnlem1  25885  aaliou3lem7  26475  emcllem1  27122  emcllem2  27123  emcllem3  27124  emcllem5  27126  emcllem6  27127  emcllem7  27128  zetacvg  27141  lgam1  27190  bclbnd  27406  bposlem5  27414  2sqlem10  27554  dchrisumlem2  27616  logdivbnd  27682  pntrsumo1  27691  pntrsumbnd  27692  wwlksext2clwwlk  30345  numclwwlk2lem1  30664  numclwlk2lem2f  30665  opsqrlem5  32433  opsqrlem6  32434  nnindf  33101  psgnfzto1st  33362  esumpmono  34410  fibp1  34732  rrvsum  34785  subfacp1lem6  35572  subfaclim  35575  bcprod  36125  bccolsum  36126  iprodgam  36129  faclimlem1  36130  faclimlem2  36131  faclim2  36135  nn0prpwlem  36718  mblfinlem2  38192  volsupnfl  38199  seqpo  38281  incsequz  38282  incsequz2  38283  geomcau  38293  heiborlem6  38350  bfplem1  38356  fimgmcyc  43187  fsuppind  43207  jm2.27dlem4  43624  nnsplit  45959  sumnnodd  46231  stoweidlem20  46619  wallispilem4  46667  wallispi2lem1  46670  wallispi2lem2  46671  stirlinglem4  46676  stirlinglem8  46680  stirlinglem11  46683  stirlinglem12  46684  stirlinglem13  46685  vonioolem2  47280  vonicclem2  47283  deccarry  47930  iccpartres  48049  iccelpart  48064  odz2prm2pw  48197  fmtnoprmfac1  48199  fmtnoprmfac2  48201  lighneallem4  48244