Theorem peano2nn 12177

Description: Peano postulate: a successor of a positive integer is a positive integer. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
peano2nn	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem peano2nn

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 8367	. . . 4 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω
2		fvelrnb 6894	. . . 4 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω → (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴)
4		ovex 7393	. . . . . . 7 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ V
5		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
6		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + 1) = (𝑥 + 1))
7		oveq1 7367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) → (𝑧 + 1) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
8	5, 6, 7	frsucmpt2 8372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ V) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
9	4, 8	mpan2 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) = (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1))
10		peano2 7834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈ ω)
11		fnfvelrn 7026	. . . . . . . 8 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) Fn ω ∧ suc 𝑦 ∈ ω) → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
12	1, 10, 11	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω))
13		df-nn 12166	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω)
14		df-ima 5637	. . . . . . . 8 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) “ ω) = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
15	13, 14	eqtri 2760	. . . . . . 7 ⊢ ℕ = ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)
16	12, 15	eleqtrrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ω → ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘suc 𝑦) ∈ ℕ)
17	9, 16	eqeltrrd 2838	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ ℕ)
18		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) = (𝐴 + 1))
19	18	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → ((((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) + 1) ∈ ℕ ↔ (𝐴 + 1) ∈ ℕ))
20	17, 19	syl5ibcom 245	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ω → (((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ))
21	20	rexlimiv 3132	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω ((rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω)‘𝑦) = 𝐴 → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
22	3, 21	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ran (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 1) ↾ ω) → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)
23	22, 15	eleq2s 2855	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝐴 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ↦ cmpt 5167  ran crn 5625   ↾ cres 5626   “ cima 5627  suc csuc 6319   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ωcom 7810  reccrdg 8341  1c1 11030   + caddc 11032  ℕcn 12165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166

This theorem is referenced by:  dfnn2  12178  dfnn3  12179  peano2nnd  12182  nnind  12183  nnaddcl  12188  2nn  12245  3nn  12251  4nn  12255  5nn  12258  6nn  12261  7nn  12264  8nn  12267  9nn  12270  nnunb  12424  nneo  12604  10nn  12651  fzonn0p1p1  13690  ser1const  14011  expp1  14021  facp1  14231  relexpsucnnl  14983  isercolllem1  15618  isercoll2  15622  climcndslem2  15806  climcnds  15807  harmonic  15815  trireciplem  15818  trirecip  15819  rpnnen2lem9  16180  sqrt2irr  16207  nno  16342  nnoddm1d2  16346  rplpwr  16518  prmind2  16645  eulerthlem2  16743  pcmpt  16854  pockthi  16869  prmreclem6  16883  dec5nprm  17028  mulgnnp1  19049  chfacfisf  22829  chfacfisfcpmat  22830  cayhamlem1  22841  1stcfb  23420  bcthlem3  25303  bcthlem4  25304  ovolunlem1a  25473  ovolicc2lem4  25497  voliunlem1  25527  volsup  25533  volsup2  25582  itg1climres  25691  mbfi1fseqlem5  25696  itg2monolem1  25727  itg2i1fseqle  25731  itg2i1fseq  25732  itg2i1fseq2  25733  itg2addlem  25735  itg2gt0  25737  itg2cnlem1  25738  aaliou3lem7  26326  emcllem1  26973  emcllem2  26974  emcllem3  26975  emcllem5  26977  emcllem6  26978  emcllem7  26979  zetacvg  26992  lgam1  27041  bclbnd  27257  bposlem5  27265  2sqlem10  27405  dchrisumlem2  27467  logdivbnd  27533  pntrsumo1  27542  pntrsumbnd  27543  wwlksext2clwwlk  30142  numclwwlk2lem1  30461  numclwlk2lem2f  30462  opsqrlem5  32230  opsqrlem6  32231  nnindf  32908  psgnfzto1st  33181  esumpmono  34239  fibp1  34561  rrvsum  34614  subfacp1lem6  35383  subfaclim  35386  bcprod  35936  bccolsum  35937  iprodgam  35940  faclimlem1  35941  faclimlem2  35942  faclim2  35946  nn0prpwlem  36520  mblfinlem2  37993  volsupnfl  38000  seqpo  38082  incsequz  38083  incsequz2  38084  geomcau  38094  heiborlem6  38151  bfplem1  38157  fimgmcyc  42993  fsuppind  43037  jm2.27dlem4  43458  nnsplit  45806  sumnnodd  46078  stoweidlem20  46466  wallispilem4  46514  wallispi2lem1  46517  wallispi2lem2  46518  stirlinglem4  46523  stirlinglem8  46527  stirlinglem11  46530  stirlinglem12  46531  stirlinglem13  46532  vonioolem2  47127  vonicclem2  47130  deccarry  47771  iccpartres  47890  iccelpart  47905  odz2prm2pw  48038  fmtnoprmfac1  48040  fmtnoprmfac2  48042  lighneallem4  48085