Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl 483 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β πΎ β Lat) |
2 | | simpr2 1195 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
3 | | simpr3 1196 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
4 | | simpr1 1194 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β π β π΅) |
5 | | latjass.b |
. . . 4
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
6 | | latjass.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | 5, 6 | latj32 18434 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
8 | 1, 2, 3, 4, 7 | syl13anc 1372 |
. 2
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β¨ π) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
9 | 5, 6 | latjcl 18388 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
10 | 9 | 3adant3r1 1182 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ π) β π΅) |
11 | 5, 6 | latjcom 18396 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅) β (π β¨ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
12 | 1, 4, 10, 11 | syl3anc 1371 |
. 2
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
13 | 5, 6 | latjcl 18388 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
14 | 1, 2, 4, 13 | syl3anc 1371 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ π) β π΅) |
15 | 5, 6 | latjcom 18396 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅) β (π β¨ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
16 | 1, 3, 14, 15 | syl3anc 1371 |
. 2
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
17 | 8, 12, 16 | 3eqtr4d 2782 |
1
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ π))) |