MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj13 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem latj13 18435
Description: Swap 1st and 3rd members of lattice join. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjass.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latj13 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) = (𝑍 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑋)))
Proof of Theorem latj13
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 simpr2 1195 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
3 simpr3 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
4 simpr1 1194 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
5 latjass.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 latjass.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
75, 6latj32 18434 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Œ ∨ 𝑍) ∨ 𝑋) = ((π‘Œ ∨ 𝑋) ∨ 𝑍))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Œ ∨ 𝑍) ∨ 𝑋) = ((π‘Œ ∨ 𝑋) ∨ 𝑍))
95, 6latjcl 18388 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
1093adant3r1 1182 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
115, 6latjcom 18396 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) = ((π‘Œ ∨ 𝑍) ∨ 𝑋))
121, 4, 10, 11syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) = ((π‘Œ ∨ 𝑍) ∨ 𝑋))
135, 6latjcl 18388 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑋) ∈ 𝐡)
141, 2, 4, 13syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑋) ∈ 𝐡)
155, 6latjcom 18396 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ 𝑋) ∨ 𝑍))
161, 3, 14, 15syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑍 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ 𝑋) ∨ 𝑍))
178, 12, 163eqtr4d 2782 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) = (𝑍 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  joincjn 18260  Latclat 18380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381
This theorem is referenced by:  3atlem1  38342  dalawlem3  38732  dalawlem6  38735  cdleme1  39086  cdleme11g  39124
  Copyright terms: Public domain W3C validator