Theorem latj13 18544

Description: Swap 1st and 3rd members of lattice join. (Contributed by NM, 4-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latj13	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑋)))

Proof of Theorem latj13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2		simpr2 1194	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		simpr3 1195	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simpr1 1193	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		latjass.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		latjass.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	5, 6	latj32 18543	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∨ 𝑋) = ((𝑌 ∨ 𝑋) ∨ 𝑍))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∨ 𝑍) ∨ 𝑋) = ((𝑌 ∨ 𝑋) ∨ 𝑍))
9	5, 6	latjcl 18497	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
10	9	3adant3r1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
11	5, 6	latjcom 18505	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∨ 𝑋))
12	1, 4, 10, 11	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) = ((𝑌 ∨ 𝑍) ∨ 𝑋))
13	5, 6	latjcl 18497	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵)
14	1, 2, 4, 13	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵)
15	5, 6	latjcom 18505	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑋)) = ((𝑌 ∨ 𝑋) ∨ 𝑍))
16	1, 3, 14, 15	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑋)) = ((𝑌 ∨ 𝑋) ∨ 𝑍))
17	8, 12, 16	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) = (𝑍 ∨ (𝑌 ∨ 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  joincjn 18369  Latclat 18489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490

This theorem is referenced by:  3atlem1  39466  dalawlem3  39856  dalawlem6  39859  cdleme1  40210  cdleme11g  40248