Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3atlem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 3atlem1 38866
Description: Lemma for 3at 38873. (Contributed by NM, 22-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3at.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
3at.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3at.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
3atlem1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
Proof of Theorem 3atlem1
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simp131 1305 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
3 simp132 1306 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
4 simp133 1307 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐴)
5 3at.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
6 3at.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
75, 6hlatjass 38752 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
9 simp121 1302 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
10 simp122 1303 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
11 simp123 1304 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
125, 6hlatjass 38752 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
131, 9, 10, 11, 12syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
14 simp3 1135 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
1513, 14eqbrtrrd 5165 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
161hllatd 38746 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
17 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
1817, 6atbase 38671 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
199, 18syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2017, 5, 6hlatjcl 38749 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
211, 10, 11, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2217, 5, 6hlatjcl 38749 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
231, 2, 3, 22syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2417, 6atbase 38671 . . . . . . . . . . 11 (π‘ˆ ∈ 𝐴 β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
254, 24syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2617, 5latjcl 18401 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2716, 23, 25, 26syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 3at.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2917, 28, 5latjle12 18412 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑃 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) ↔ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
3016, 19, 21, 27, 29syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) ↔ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
3115, 30mpbird 257 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
3231simpld 494 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
3332, 8breqtrd 5167 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
3417, 5, 6hlatjcl 38749 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
351, 3, 4, 34syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
36 simp22 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ))
3717, 28, 5, 6hlexchb2 38768 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ↔ (𝑃 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) = (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ))))
381, 9, 2, 35, 36, 37syl131anc 1380 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ≀ (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) ↔ (𝑃 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) = (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ))))
3933, 38mpbid 231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) = (𝑆 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
405, 6hlatj12 38753 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) = (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
411, 9, 3, 4, 40syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)) = (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
428, 39, 413eqtr2d 2772 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
435, 6hlatj12 38753 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑅)))
441, 9, 10, 11, 43syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)) = (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑅)))
4515, 44, 423brtr3d 5172 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑅)) ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
4617, 6atbase 38671 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4710, 46syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4817, 5, 6hlatjcl 38749 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
491, 9, 11, 48syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5017, 6atbase 38671 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
513, 50syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5217, 5, 6hlatjcl 38749 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
531, 9, 4, 52syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5417, 5latjcl 18401 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5516, 51, 53, 54syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5617, 28, 5latjle12 18412 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑅)) ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ))))
5716, 47, 49, 55, 56syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ))) ↔ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑅)) ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ))))
5845, 57mpbird 257 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑃 ∨ 𝑅) ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ))))
5958simpld 494 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
60 simp23 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ))
6117, 28, 5, 6hlexchb2 38768 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ↔ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) = (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ))))
621, 10, 3, 53, 60, 61syl131anc 1380 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ≀ (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ↔ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) = (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ))))
6359, 62mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) = (𝑇 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)))
6417, 5latj13 18448 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) = (π‘ˆ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6516, 47, 19, 25, 64syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) = (π‘ˆ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6642, 63, 653eqtr2d 2772 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = (π‘ˆ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
6717, 5, 6hlatjcl 38749 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
681, 9, 10, 67syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
6917, 6atbase 38671 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7011, 69syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
7117, 28, 5latjle12 18412 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
7216, 68, 70, 27, 71syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
7314, 72mpbird 257 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) ∧ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)))
7473simprd 495 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
7574, 66breqtrd 5167 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ 𝑅 ≀ (π‘ˆ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
76 simp21 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
7717, 28, 5, 6hlexchb2 38768 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ (𝑅 ≀ (π‘ˆ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑅 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) = (π‘ˆ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))))
781, 11, 4, 68, 76, 77syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑅 ≀ (π‘ˆ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ↔ (𝑅 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) = (π‘ˆ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))))
7975, 78mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑅 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) = (π‘ˆ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
8017, 5latjcom 18409 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
8116, 70, 68, 80syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ (𝑅 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
8266, 79, 813eqtr2rd 2773 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑃 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ π‘ˆ)) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ≀ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  Latclat 18393  Atomscatm 38645  HLchlt 38732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-lat 18394  df-ats 38649  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733
This theorem is referenced by:  3atlem3  38868
  Copyright terms: Public domain W3C validator