Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme11g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme11g 39649
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme11 39654. (Contributed by NM, 14-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme11.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme11.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme11.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme11.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme11.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme11.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme11.c 𝐢 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
cdleme11.d 𝐷 = ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)
cdleme11.f 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme11g (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∨ 𝐹) = (𝑄 ∨ 𝐢))

Proof of Theorem cdleme11g
StepHypRef Expression
1 cdleme11.f . . . 4 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
21oveq2i 7416 . . 3 (𝑄 ∨ 𝐹) = (𝑄 ∨ ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
3 simp1l 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝐾 ∈ HL)
4 simp22l 1289 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
53hllatd 38747 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6 simp23 1205 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
7 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
8 cdleme11.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
97, 8atbase 38672 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
106, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simp1 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
12 simp21 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
13 cdleme11.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
14 cdleme11.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
15 cdleme11.m . . . . . . 7 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
16 cdleme11.h . . . . . . 7 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
17 cdleme11.u . . . . . . 7 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
1813, 14, 15, 8, 16, 17, 7cdleme0aa 39594 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1911, 12, 4, 18syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
207, 14latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑆 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
215, 10, 19, 20syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑆 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
227, 8atbase 38672 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
234, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
247, 8atbase 38672 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2512, 24syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
267, 14latjcl 18404 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
275, 25, 10, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 simp1r 1195 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
297, 16lhpbase 39382 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3028, 29syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
317, 15latmcl 18405 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
325, 27, 30, 31syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
337, 14latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
345, 23, 32, 33syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
357, 13, 14latlej1 18413 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
365, 23, 32, 35syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
377, 13, 14, 15, 8atmod1i1 39241 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∨ π‘ˆ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑄 ≀ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))) = ((𝑄 ∨ (𝑆 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
383, 4, 21, 34, 36, 37syl131anc 1380 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))) = ((𝑄 ∨ (𝑆 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
392, 38eqtrid 2778 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∨ 𝐹) = ((𝑄 ∨ (𝑆 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
40 simp22 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
4113, 14, 15, 8, 16, 17cdleme0cq 39599 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑄 ∨ π‘ˆ) = (𝑃 ∨ 𝑄))
4211, 12, 40, 41syl12anc 834 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∨ π‘ˆ) = (𝑃 ∨ 𝑄))
4342oveq2d 7421 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑆 ∨ (𝑄 ∨ π‘ˆ)) = (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
447, 14latj12 18449 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑄 ∨ (𝑆 ∨ π‘ˆ)) = (𝑆 ∨ (𝑄 ∨ π‘ˆ)))
455, 23, 10, 19, 44syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∨ (𝑆 ∨ π‘ˆ)) = (𝑆 ∨ (𝑄 ∨ π‘ˆ)))
467, 14latj13 18451 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑃 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) = (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
475, 23, 25, 10, 46syl13anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) = (𝑆 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
4843, 45, 473eqtr4d 2776 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∨ (𝑆 ∨ π‘ˆ)) = (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
4948oveq1d 7420 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑄 ∨ (𝑆 ∨ π‘ˆ)) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) = ((𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
507, 13, 15latmle1 18429 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
515, 27, 30, 50syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆))
527, 13, 14latjlej2 18419 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ≀ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆))))
535, 32, 27, 23, 52syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ≀ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆))))
5451, 53mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ≀ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)))
557, 14latjcl 18404 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
565, 23, 27, 55syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
577, 13, 15latleeqm2 18433 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ≀ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) = (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
585, 34, 56, 57syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)) ≀ (𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ↔ ((𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) = (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))))
5954, 58mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) = (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
60 cdleme11.c . . . 4 𝐢 = ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
6160oveq2i 7416 . . 3 (𝑄 ∨ 𝐢) = (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))
6259, 61eqtr4di 2784 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ ((𝑄 ∨ (𝑃 ∨ 𝑆)) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š))) = (𝑄 ∨ 𝐢))
6339, 49, 623eqtrd 2770 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 β‰  𝑄) β†’ (𝑄 ∨ 𝐹) = (𝑄 ∨ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme11h  39650  cdleme11j  39651  cdleme15a  39658
  Copyright terms: Public domain W3C validator