Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme11.f |
. . . 4
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
2 | 1 | oveq2i 7369 |
. . 3
β’ (π β¨ πΉ) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
3 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β πΎ β HL) |
4 | | simp22l 1293 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β π β π΄) |
5 | 3 | hllatd 37872 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β πΎ β Lat) |
6 | | simp23 1209 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β π β π΄) |
7 | | eqid 2733 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
8 | | cdleme11.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 7, 8 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
10 | 6, 9 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β π β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp1 1137 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
12 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β π β π΄) |
13 | | cdleme11.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | | cdleme11.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
15 | | cdleme11.m |
. . . . . . 7
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
16 | | cdleme11.h |
. . . . . . 7
β’ π» = (LHypβπΎ) |
17 | | cdleme11.u |
. . . . . . 7
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
18 | 13, 14, 15, 8, 16, 17, 7 | cdleme0aa 38719 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 11, 12, 4, 18 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β π β (BaseβπΎ)) |
20 | 7, 14 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | 5, 10, 19, 20 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | 7, 8 | atbase 37797 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 4, 22 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 7, 8 | atbase 37797 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 12, 24 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 7, 14 | latjcl 18333 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 5, 25, 10, 26 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
28 | | simp1r 1199 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β π β π») |
29 | 7, 16 | lhpbase 38507 |
. . . . . . 7
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β π β (BaseβπΎ)) |
31 | 7, 15 | latmcl 18334 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
32 | 5, 27, 30, 31 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
33 | 7, 14 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
34 | 5, 23, 32, 33 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
35 | 7, 13, 14 | latlej1 18342 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) β π β€ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
36 | 5, 23, 32, 35 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β π β€ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
37 | 7, 13, 14, 15, 8 | atmod1i1 38366 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β§ π β€ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) = ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
38 | 3, 4, 21, 34, 36, 37 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) = ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
39 | 2, 38 | eqtrid 2785 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ πΉ) = ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
40 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
41 | 13, 14, 15, 8, 16, 17 | cdleme0cq 38724 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
42 | 11, 12, 40, 41 | syl12anc 836 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ π) = (π β¨ π)) |
43 | 42 | oveq2d 7374 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ π))) |
44 | 7, 14 | latj12 18378 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ π))) |
45 | 5, 23, 10, 19, 44 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ π))) |
46 | 7, 14 | latj13 18380 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ π))) |
47 | 5, 23, 25, 10, 46 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ π))) |
48 | 43, 45, 47 | 3eqtr4d 2783 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ (π β¨ π)) = (π β¨ (π β¨ π))) |
49 | 48 | oveq1d 7373 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) = ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
50 | 7, 13, 15 | latmle1 18358 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β€ (π β¨ π)) |
51 | 5, 27, 30, 50 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β ((π β¨ π) β§ π) β€ (π β¨ π)) |
52 | 7, 13, 14 | latjlej2 18348 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (((π β¨ π) β§ π) β€ (π β¨ π) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β€ (π β¨ (π β¨ π)))) |
53 | 5, 32, 27, 23, 52 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (((π β¨ π) β§ π) β€ (π β¨ π) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β€ (π β¨ (π β¨ π)))) |
54 | 51, 53 | mpd 15 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β€ (π β¨ (π β¨ π))) |
55 | 7, 14 | latjcl 18333 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
56 | 5, 23, 27, 55 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
57 | 7, 13, 15 | latleeqm2 18362 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β€ (π β¨ (π β¨ π)) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
58 | 5, 34, 56, 57 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β ((π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) β€ (π β¨ (π β¨ π)) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
59 | 54, 58 | mpbid 231 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
60 | | cdleme11.c |
. . . 4
β’ πΆ = ((π β¨ π) β§ π) |
61 | 60 | oveq2i 7369 |
. . 3
β’ (π β¨ πΆ) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) |
62 | 59, 61 | eqtr4di 2791 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) = (π β¨ πΆ)) |
63 | 39, 49, 62 | 3eqtrd 2777 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ πΉ) = (π β¨ πΆ)) |