Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme1.f |
. . 3
β’ πΉ = ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) |
2 | 1 | oveq2i 7369 |
. 2
β’ (π
β¨ πΉ) = (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
3 | | simpll 766 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β HL) |
4 | | simpr3l 1235 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β π΄) |
5 | | hllat 37828 |
. . . . . 6
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
6 | 5 | ad2antrr 725 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β Lat) |
7 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
8 | | cdleme1.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
9 | 7, 8 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
10 | 4, 9 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
11 | | cdleme1.u |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
12 | | simpr1 1195 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π΄) |
13 | 7, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
15 | | simpr2 1196 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β π΄) |
16 | 7, 8 | atbase 37754 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
18 | | cdleme1.j |
. . . . . . . . 9
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
19 | 7, 18 | latjcl 18329 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
20 | 6, 14, 17, 19 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
21 | | cdleme1.h |
. . . . . . . . 9
β’ π» = (LHypβπΎ) |
22 | 7, 21 | lhpbase 38464 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 22 | ad2antlr 726 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
24 | | cdleme1.m |
. . . . . . . 8
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
25 | 7, 24 | latmcl 18330 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 6, 20, 23, 25 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 11, 26 | eqeltrid 2842 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
28 | 7, 18 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
29 | 6, 10, 27, 28 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
30 | 7, 18 | latjcl 18329 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
31 | 6, 14, 10, 30 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
32 | 7, 24 | latmcl 18330 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
33 | 6, 31, 23, 32 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
34 | 7, 18 | latjcl 18329 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ)) β (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
35 | 6, 17, 33, 34 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β (BaseβπΎ)) |
36 | | cdleme1.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
37 | 7, 36, 18 | latlej1 18338 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β π
β€ (π
β¨ π)) |
38 | 6, 10, 27, 37 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β€ (π
β¨ π)) |
39 | 7, 36, 18, 24, 8 | atmod3i1 38330 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) β (BaseβπΎ)) β§ π
β€ (π
β¨ π)) β (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) = ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))))) |
40 | 3, 4, 29, 35, 38, 39 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) = ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))))) |
41 | 7, 36, 18 | latlej2 18339 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β π
β€ (π β¨ π
)) |
42 | 6, 14, 10, 41 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π
β€ (π β¨ π
)) |
43 | 7, 36, 18, 24, 8 | atmod3i1 38330 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π
β€ (π β¨ π
)) β (π
β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) = ((π β¨ π
) β§ (π
β¨ π))) |
44 | 3, 4, 31, 23, 42, 43 | syl131anc 1384 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) = ((π β¨ π
) β§ (π
β¨ π))) |
45 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
46 | 36, 18, 45, 8, 21 | lhpjat2 38487 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β (π
β¨ π) = (1.βπΎ)) |
47 | 46 | 3ad2antr3 1191 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ π) = (1.βπΎ)) |
48 | 47 | oveq2d 7374 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π β¨ π
) β§ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π
) β§ (1.βπΎ))) |
49 | | hlol 37826 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
50 | 49 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β πΎ β OL) |
51 | 7, 24, 45 | olm11 37692 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β OL β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π
) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π
)) |
52 | 50, 31, 51 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π β¨ π
) β§ (1.βπΎ)) = (π β¨ π
)) |
53 | 44, 48, 52 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ ((π β¨ π
) β§ π)) = (π β¨ π
)) |
54 | 53 | oveq2d 7374 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β¨ (π
β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) = (π β¨ (π β¨ π
))) |
55 | 7, 18 | latj12 18374 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π
) β§ π) β (BaseβπΎ))) β (π β¨ (π
β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) = (π
β¨ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
56 | 6, 17, 10, 33, 55 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β¨ (π
β¨ ((π β¨ π
) β§ π))) = (π
β¨ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
57 | 7, 18 | latj13 18376 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ))) β (π β¨ (π β¨ π
)) = (π
β¨ (π β¨ π))) |
58 | 6, 17, 14, 10, 57 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β¨ (π β¨ π
)) = (π
β¨ (π β¨ π))) |
59 | 54, 56, 58 | 3eqtr3rd 2786 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ (π β¨ π)) = (π
β¨ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π)))) |
60 | 59 | oveq2d 7374 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ (π β¨ π))) = ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))))) |
61 | 36, 18, 24, 8, 21, 11 | cdlemeulpq 38686 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ (π β¨ π)) |
62 | 61 | 3adantr3 1172 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
63 | 7, 36, 18 | latjlej2 18344 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ))) β (π β€ (π β¨ π) β (π
β¨ π) β€ (π
β¨ (π β¨ π)))) |
64 | 6, 27, 20, 10, 63 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π β€ (π β¨ π) β (π
β¨ π) β€ (π
β¨ (π β¨ π)))) |
65 | 62, 64 | mpd 15 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ π) β€ (π
β¨ (π β¨ π))) |
66 | 7, 18 | latjcl 18329 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π
β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (π
β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
67 | 6, 10, 20, 66 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
68 | 7, 36, 24 | latleeqm1 18357 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ (π β¨ π)) β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β€ (π
β¨ (π β¨ π)) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ (π β¨ π))) = (π
β¨ π))) |
69 | 6, 29, 67, 68 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π
β¨ π) β€ (π
β¨ (π β¨ π)) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ (π β¨ π))) = (π
β¨ π))) |
70 | 65, 69 | mpbid 231 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β ((π
β¨ π) β§ (π
β¨ (π β¨ π))) = (π
β¨ π)) |
71 | 40, 60, 70 | 3eqtr2rd 2784 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ π) = (π
β¨ ((π
β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π
) β§ π))))) |
72 | 2, 71 | eqtr4id 2796 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π))) β (π
β¨ πΉ) = (π
β¨ π)) |