Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpln2a 36564
Description: The predicate "is a lattice plane" for join of atoms. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln2a.l = (le‘𝐾)
islpln2a.j = (join‘𝐾)
islpln2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln2a.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islpln2a ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))

Proof of Theorem islpln2a
StepHypRef Expression
1 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
2 islpln2a.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
3 islpln2a.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3hlatjidm 36385 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
543ad2antr2 1181 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
61, 5sylan9eqr 2875 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
76oveq1d 7160 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑅 𝑆))
8 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
9 simplr2 1208 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
10 simplr3 1209 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑆𝐴)
11 islpln2a.p . . . . . . . 8 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
122, 3, 112atnelpln 36560 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → ¬ (𝑅 𝑆) ∈ 𝑃)
138, 9, 10, 12syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ¬ (𝑅 𝑆) ∈ 𝑃)
147, 13eqneltrd 2929 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
1514ex 413 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑄 = 𝑅 → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
1615necon2ad 3028 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃𝑄𝑅))
17 hllat 36379 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1817adantr 481 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
19 simpr3 1188 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
20 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 3atbase 36305 . . . . . . 7 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
2320, 2, 3hlatjcl 36383 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
24233adant3r3 1176 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
25 islpln2a.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
2620, 25, 2latleeqj2 17662 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 (𝑄 𝑅) ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅)))
2718, 22, 24, 26syl3anc 1363 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 (𝑄 𝑅) ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅)))
282, 3, 112atnelpln 36560 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ¬ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃)
29283adant3r3 1176 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃)
30 eleq1 2897 . . . . . . 7 (((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃))
3130notbid 319 . . . . . 6 (((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅) → (¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ ¬ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃))
3229, 31syl5ibrcom 248 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
3327, 32sylbid 241 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 (𝑄 𝑅) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
3433con2d 136 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
3516, 34jcad 513 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 → (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))
3625, 2, 3, 11lplni2 36553 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
37363expia 1113 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
3835, 37impbid 213 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  Latclat 17643  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LPlanesclpl 36508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515
This theorem is referenced by:  islpln2ah  36565  2atmat  36577  dalawlem13  36899  cdleme16d  37297
  Copyright terms: Public domain W3C validator