Theorem islpln2a 40698

Description: The predicate "is a lattice plane" for join of atoms. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpln2a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islpln2a.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islpln2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln2a.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islpln2a	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem islpln2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑅))
2		islpln2a.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		islpln2a.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	hlatjidm 40519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
5	4	3ad2antr2 1208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
6	1, 5	sylan9eqr 2817	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) = 𝑅)
7	6	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆))
8		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
9		simplr2 1235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
10		simplr3 1236	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑆 ∈ 𝐴)
11		islpln2a.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
12	2, 3, 11	2atnelpln 40694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
13	8, 9, 10, 12	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
14	7, 13	eqneltrd 2880	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
15	14	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑄 = 𝑅 → ¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
16	15	necon2ad 2970	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 → 𝑄 ≠ 𝑅))
17		hllat 40513	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
18	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
19		simpr3 1215	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
20		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21	20, 3	atbase 40439	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
22	19, 21	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
23	20, 2, 3	hlatjcl 40517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
24	23	3adant3r3 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
25		islpln2a.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
26	20, 25, 2	latleeqj2 18631	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
27	18, 22, 24, 26	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
28	2, 3, 11	2atnelpln 40694	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
29	28	3adant3r3 1203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
30		eleq1 2848	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃))
31	30	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅) → (¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ ¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃))
32	29, 31	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅) → ¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
33	27, 32	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) → ¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
34	33	con2d 135	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 → ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
35	16, 34	jcad 522	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 → (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
36	25, 2, 3, 11	lplni2 40687	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
37	36	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
38	35, 37	impbid 215	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  lecple 17440  joincjn 18490  Latclat 18610  Atomscatm 40413  HLchlt 40500  LPlanesclpl 40642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-lat 18611  df-clat 18678  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501  df-llines 40648  df-lplanes 40649

This theorem is used by:  islpln2ah  40699  2atmat  40711  dalawlem13  41033  cdleme16d  41431