Theorem islpln2a 39531

Description: The predicate "is a lattice plane" for join of atoms. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
islpln2a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islpln2a.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islpln2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln2a.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islpln2a	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem islpln2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑅))
2		islpln2a.j	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		islpln2a.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	hlatjidm 39351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
5	4	3ad2antr2 1188	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
6	1, 5	sylan9eqr 2797	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) = 𝑅)
7	6	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆))
8		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
9		simplr2 1215	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅 ∈ 𝐴)
10		simplr3 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑆 ∈ 𝐴)
11		islpln2a.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
12	2, 3, 11	2atnelpln 39527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
13	8, 9, 10, 12	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
14	7, 13	eqneltrd 2859	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
15	14	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑄 = 𝑅 → ¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
16	15	necon2ad 2953	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 → 𝑄 ≠ 𝑅))
17		hllat 39345	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
18	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
19		simpr3 1195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
20		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
21	20, 3	atbase 39271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
22	19, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
23	20, 2, 3	hlatjcl 39349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
24	23	3adant3r3 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
25		islpln2a.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
26	20, 25, 2	latleeqj2 18510	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
27	18, 22, 24, 26	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
28	2, 3, 11	2atnelpln 39527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → ¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
29	28	3adant3r3 1183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
30		eleq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃))
31	30	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅) → (¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ ¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃))
32	29, 31	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅) → ¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
33	27, 32	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) → ¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
34	33	con2d 134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 → ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
35	16, 34	jcad 512	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 → (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))
36	25, 2, 3, 11	lplni2 39520	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
37	36	3expia 1120	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
38	35, 37	impbid 212	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LPlanesclpl 39475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482

This theorem is referenced by:  islpln2ah  39532  2atmat  39544  dalawlem13  39866  cdleme16d  40264