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Theorem islpln2a 38040
Description: The predicate "is a lattice plane" for join of atoms. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln2a.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
islpln2a.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islpln2a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islpln2a.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
islpln2a ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem islpln2a
StepHypRef Expression
1 oveq1 7369 . . . . . . . 8 (𝑄 = 𝑅 β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑅 ∨ 𝑅))
2 islpln2a.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 islpln2a.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
42, 3hlatjidm 37860 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
543ad2antr2 1190 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ∨ 𝑅) = 𝑅)
61, 5sylan9eqr 2799 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) = 𝑅)
76oveq1d 7377 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑅 ∨ 𝑆))
8 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 simplr2 1217 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
10 simplr3 1218 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
11 islpln2a.p . . . . . . . 8 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
122, 3, 112atnelpln 38036 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
138, 9, 10, 12syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ Β¬ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
147, 13eqneltrd 2858 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) β†’ Β¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
1514ex 414 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 = 𝑅 β†’ Β¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
1615necon2ad 2959 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 β†’ 𝑄 β‰  𝑅))
17 hllat 37854 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1817adantr 482 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
19 simpr3 1197 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
20 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2120, 3atbase 37780 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2320, 2, 3hlatjcl 37858 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
24233adant3r3 1185 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 islpln2a.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2620, 25, 2latleeqj2 18348 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
2718, 22, 24, 26syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
282, 3, 112atnelpln 38036 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
29283adant3r3 1185 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃)
30 eleq1 2826 . . . . . . 7 (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃))
3130notbid 318 . . . . . 6 (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ (Β¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ Β¬ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ 𝑃))
3229, 31syl5ibrcom 247 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ Β¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
3327, 32sylbid 239 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ Β¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
3433con2d 134 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
3516, 34jcad 514 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 β†’ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))))
3625, 2, 3, 11lplni2 38029 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
37363expia 1122 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃))
3835, 37impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  lecple 17147  joincjn 18207  Latclat 18327  Atomscatm 37754  HLchlt 37841  LPlanesclpl 37984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-lat 18328  df-clat 18395  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991
This theorem is referenced by:  islpln2ah  38041  2atmat  38053  dalawlem13  38375  cdleme16d  38773
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