Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  islpln2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islpln2a 35436
Description: The predicate "is a lattice plane" for join of atoms. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
islpln2a.l = (le‘𝐾)
islpln2a.j = (join‘𝐾)
islpln2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islpln2a.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islpln2a ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))

Proof of Theorem islpln2a
StepHypRef Expression
1 oveq1 6848 . . . . . . . 8 (𝑄 = 𝑅 → (𝑄 𝑅) = (𝑅 𝑅))
2 islpln2a.j . . . . . . . . . 10 = (join‘𝐾)
3 islpln2a.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
42, 3hlatjidm 35257 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
543ad2antr2 1240 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 𝑅) = 𝑅)
61, 5sylan9eqr 2820 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → (𝑄 𝑅) = 𝑅)
76oveq1d 6856 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑅 𝑆))
8 simpll 783 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝐾 ∈ HL)
9 simplr2 1277 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑅𝐴)
10 simplr3 1279 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → 𝑆𝐴)
11 islpln2a.p . . . . . . . 8 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
122, 3, 112atnelpln 35432 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → ¬ (𝑅 𝑆) ∈ 𝑃)
138, 9, 10, 12syl3anc 1490 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ¬ (𝑅 𝑆) ∈ 𝑃)
147, 13eqneltrd 2862 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑄 = 𝑅) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
1514ex 401 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑄 = 𝑅 → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
1615necon2ad 2951 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃𝑄𝑅))
17 hllat 35251 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1817adantr 472 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
19 simpr3 1252 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
20 eqid 2764 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2120, 3atbase 35177 . . . . . . 7 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
2320, 2, 3hlatjcl 35255 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
24233adant3r3 1235 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
25 islpln2a.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
2620, 25, 2latleeqj2 17331 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 (𝑄 𝑅) ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅)))
2718, 22, 24, 26syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 (𝑄 𝑅) ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅)))
282, 3, 112atnelpln 35432 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → ¬ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃)
29283adant3r3 1235 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃)
30 eleq1 2831 . . . . . . 7 (((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃))
3130notbid 309 . . . . . 6 (((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅) → (¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ ¬ (𝑄 𝑅) ∈ 𝑃))
3229, 31syl5ibrcom 238 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) = (𝑄 𝑅) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
3327, 32sylbid 231 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 (𝑄 𝑅) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
3433con2d 131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)))
3516, 34jcad 508 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 → (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))
3625, 2, 3, 11lplni2 35425 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
37363expia 1150 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃))
3835, 37impbid 203 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃 ↔ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936   class class class wbr 4808  cfv 6067  (class class class)co 6841  Basecbs 16131  lecple 16222  joincjn 17211  Latclat 17312  Atomscatm 35151  HLchlt 35238  LPlanesclpl 35380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-id 5184  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-proset 17195  df-poset 17213  df-plt 17225  df-lub 17241  df-glb 17242  df-join 17243  df-meet 17244  df-p0 17306  df-lat 17313  df-clat 17375  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387
This theorem is referenced by:  islpln2ah  35437  2atmat  35449  dalawlem13  35771  cdleme16d  36169
  Copyright terms: Public domain W3C validator