Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1285 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37872 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
3 | | simp11 1204 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simp12l 1287 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
5 | | simp13l 1289 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
6 | | cdleme12.l |
. . . . . . . . . 10
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | cdleme12.j |
. . . . . . . . . 10
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
8 | | cdleme12.m |
. . . . . . . . . 10
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
9 | | cdleme12.a |
. . . . . . . . . 10
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
10 | | cdleme12.h |
. . . . . . . . . 10
β’ π» = (LHypβπΎ) |
11 | | cdleme12.u |
. . . . . . . . . 10
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
12 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . 10
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
13 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 | cdleme0aa 38719 |
. . . . . . . . 9
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β (BaseβπΎ)) |
14 | 3, 4, 5, 13 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
15 | 12, 7 | latjidm 18356 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) = π) |
16 | 2, 14, 15 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = π) |
17 | 16 | oveq2d 7374 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ π)) |
18 | | simp33 1212 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
19 | | simp21l 1291 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
20 | 12, 9 | atbase 37797 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
21 | 19, 20 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
22 | | simp22l 1293 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
23 | 12, 9 | atbase 37797 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 12, 7 | latjcl 18333 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
26 | 2, 21, 24, 25 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
27 | 12, 6, 7 | latleeqj2 18346 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (π β€ (π β¨ π) β ((π β¨ π) β¨ π) = (π β¨ π))) |
28 | 2, 14, 26, 27 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π) β ((π β¨ π) β¨ π) = (π β¨ π))) |
29 | 18, 28 | mpbid 231 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β¨ π) = (π β¨ π)) |
30 | 17, 29 | eqtr2d 2774 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π))) |
31 | | simp21 1207 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
32 | | cdleme12.f |
. . . . . . . . 9
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
33 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 32 | cdleme1 38736 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ πΉ) = (π β¨ π)) |
34 | 3, 4, 5, 31, 33 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ πΉ) = (π β¨ π)) |
35 | | simp22 1208 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
36 | | cdleme12.g |
. . . . . . . . 9
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
37 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 36 | cdleme1 38736 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) β (π β¨ πΊ) = (π β¨ π)) |
38 | 3, 4, 5, 35, 37 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ πΊ) = (π β¨ π)) |
39 | 34, 38 | oveq12d 7376 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ πΉ) β¨ (π β¨ πΊ)) = ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π))) |
40 | 12, 7 | latj4 18383 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π))) |
41 | 2, 21, 24, 14, 14, 40 | syl122anc 1380 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π))) |
42 | 39, 41 | eqtr4d 2776 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ πΉ) β¨ (π β¨ πΊ)) = ((π β¨ π) β¨ (π β¨ π))) |
43 | 30, 42 | eqtr4d 2776 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) = ((π β¨ πΉ) β¨ (π β¨ πΊ))) |
44 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 32, 12 | cdleme1b 38735 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
45 | 3, 4, 5, 19, 44 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
46 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 36, 12 | cdleme1b 38735 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΊ β (BaseβπΎ)) |
47 | 3, 4, 5, 22, 46 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β (BaseβπΎ)) |
48 | 12, 7 | latj4 18383 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ πΉ β (BaseβπΎ)) β§ (π β (BaseβπΎ) β§ πΊ β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ πΉ) β¨ (π β¨ πΊ)) = ((π β¨ π) β¨ (πΉ β¨ πΊ))) |
49 | 2, 21, 45, 24, 47, 48 | syl122anc 1380 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ πΉ) β¨ (π β¨ πΊ)) = ((π β¨ π) β¨ (πΉ β¨ πΊ))) |
50 | 43, 49 | eqtr2d 2774 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β¨ (πΉ β¨ πΊ)) = (π β¨ π)) |
51 | 12, 7 | latjcl 18333 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ πΊ β (BaseβπΎ)) β (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) |
52 | 2, 45, 47, 51 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) |
53 | 12, 6, 7 | latleeqj2 18346 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((πΉ β¨ πΊ) β€ (π β¨ π) β ((π β¨ π) β¨ (πΉ β¨ πΊ)) = (π β¨ π))) |
54 | 2, 52, 26, 53 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((πΉ β¨ πΊ) β€ (π β¨ π) β ((π β¨ π) β¨ (πΉ β¨ πΊ)) = (π β¨ π))) |
55 | 50, 54 | mpbird 257 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ πΊ) β€ (π β¨ π)) |
56 | | simp12 1205 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
57 | | simp13 1206 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
58 | | simp23l 1295 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β π β π) |
59 | | simp31 1210 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
60 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 32 | cdleme3fa 38745 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π΄) |
61 | 3, 56, 57, 31, 58, 59, 60 | syl132anc 1389 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β π΄) |
62 | | simp32 1211 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
63 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 36 | cdleme3fa 38745 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β π΄) |
64 | 3, 56, 57, 35, 58, 62, 63 | syl132anc 1389 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β πΊ β π΄) |
65 | 6, 7, 8, 9, 10, 11, 32, 36 | cdleme11l 38778 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β πΉ β πΊ) |
66 | 6, 7, 9 | ps-1 37986 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (πΉ β π΄ β§ πΊ β π΄ β§ πΉ β πΊ) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((πΉ β¨ πΊ) β€ (π β¨ π) β (πΉ β¨ πΊ) = (π β¨ π))) |
67 | 1, 61, 64, 65, 19, 22, 66 | syl132anc 1389 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β ((πΉ β¨ πΊ) β€ (π β¨ π) β (πΉ β¨ πΊ) = (π β¨ π))) |
68 | 55, 67 | mpbid 231 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ πΊ) = (π β¨ π)) |