Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdleme11 39783
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 1st sentence of 3rd paragraph on p. 114. 𝐹 and 𝐺 represent f(s) and f(t) respectively. Their proof provides no details of our cdleme11a 39773 through cdleme11 39783, so there may be a simpler proof that we have overlooked. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme12.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme12.f 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme12.g 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
Assertion
Ref Expression
cdleme11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) = (𝑆 ∨ 𝑇))

Proof of Theorem cdleme11
StepHypRef Expression
1 simp11l 1281 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38876 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp11 1200 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
4 simp12l 1283 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 simp13l 1285 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
6 cdleme12.l . . . . . . . . . 10 ≀ = (leβ€˜πΎ)
7 cdleme12.j . . . . . . . . . 10 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 cdleme12.m . . . . . . . . . 10 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
9 cdleme12.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
10 cdleme12.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
11 cdleme12.u . . . . . . . . . 10 π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
12 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdleme0aa 39723 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
143, 4, 5, 13syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1512, 7latjidm 18463 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆ ∨ π‘ˆ) = π‘ˆ)
162, 14, 15syl2anc 582 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (π‘ˆ ∨ π‘ˆ) = π‘ˆ)
1716oveq2d 7442 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (π‘ˆ ∨ π‘ˆ)) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ))
18 simp33 1208 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
19 simp21l 1287 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
2012, 9atbase 38801 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
22 simp22l 1289 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
2312, 9atbase 38801 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2512, 7latjcl 18440 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
262, 21, 24, 25syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2712, 6, 7latleeqj2 18453 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
282, 14, 26, 27syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
2918, 28mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ) = (𝑆 ∨ 𝑇))
3017, 29eqtr2d 2769 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (π‘ˆ ∨ π‘ˆ)))
31 simp21 1203 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))
32 cdleme12.f . . . . . . . . 9 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
336, 7, 8, 9, 10, 11, 32cdleme1 39740 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑆 ∨ 𝐹) = (𝑆 ∨ π‘ˆ))
343, 4, 5, 31, 33syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∨ 𝐹) = (𝑆 ∨ π‘ˆ))
35 simp22 1204 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š))
36 cdleme12.g . . . . . . . . 9 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
376, 7, 8, 9, 10, 11, 36cdleme1 39740 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š))) β†’ (𝑇 ∨ 𝐺) = (𝑇 ∨ π‘ˆ))
383, 4, 5, 35, 37syl13anc 1369 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑇 ∨ 𝐺) = (𝑇 ∨ π‘ˆ))
3934, 38oveq12d 7444 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝐹) ∨ (𝑇 ∨ 𝐺)) = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
4012, 7latj4 18490 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘ˆ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (π‘ˆ ∨ π‘ˆ)) = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
412, 21, 24, 14, 14, 40syl122anc 1376 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (π‘ˆ ∨ π‘ˆ)) = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∨ (𝑇 ∨ π‘ˆ)))
4239, 41eqtr4d 2771 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝐹) ∨ (𝑇 ∨ 𝐺)) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (π‘ˆ ∨ π‘ˆ)))
4330, 42eqtr4d 2771 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) = ((𝑆 ∨ 𝐹) ∨ (𝑇 ∨ 𝐺)))
446, 7, 8, 9, 10, 11, 32, 12cdleme1b 39739 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
453, 4, 5, 19, 44syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
466, 7, 8, 9, 10, 11, 36, 12cdleme1b 39739 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
473, 4, 5, 22, 46syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4812, 7latj4 18490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝐹) ∨ (𝑇 ∨ 𝐺)) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝐹 ∨ 𝐺)))
492, 21, 45, 24, 47, 48syl122anc 1376 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝐹) ∨ (𝑇 ∨ 𝐺)) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝐹 ∨ 𝐺)))
5043, 49eqtr2d 2769 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝐹 ∨ 𝐺)) = (𝑆 ∨ 𝑇))
5112, 7latjcl 18440 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
522, 45, 47, 51syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5312, 6, 7latleeqj2 18453 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∨ 𝐺) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝐹 ∨ 𝐺)) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
542, 52, 26, 53syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ (𝐹 ∨ 𝐺)) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
5550, 54mpbird 256 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
56 simp12 1201 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
57 simp13 1202 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š))
58 simp23l 1291 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
59 simp31 1206 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
606, 7, 8, 9, 10, 11, 32cdleme3fa 39749 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
613, 56, 57, 31, 58, 59, 60syl132anc 1385 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
62 simp32 1207 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
636, 7, 8, 9, 10, 11, 36cdleme3fa 39749 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ((𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š)) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
643, 56, 57, 35, 58, 62, 63syl132anc 1385 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
656, 7, 8, 9, 10, 11, 32, 36cdleme11l 39782 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐹 β‰  𝐺)
666, 7, 9ps-1 38990 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 β‰  𝐺) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ (𝐹 ∨ 𝐺) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
671, 61, 64, 65, 19, 22, 66syl132anc 1385 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝐹 ∨ 𝐺) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ↔ (𝐹 ∨ 𝐺) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
6855, 67mpbid 231 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ π‘Š)) ∧ ((𝑆 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ π‘Š) ∧ (𝑇 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ π‘Š) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘ˆ ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝐹 ∨ 𝐺) = (𝑆 ∨ 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  lecple 17249  joincjn 18312  meetcmee 18313  Latclat 18432  Atomscatm 38775  HLchlt 38862  LHypclh 39497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501
This theorem is referenced by:  cdleme16  39798
  Copyright terms: Public domain W3C validator