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Theorem islvol2aN 38976
Description: The predicate "is a lattice volume". (Contributed by NM, 16-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol2a.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
islvol2a.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
islvol2a.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
islvol2a.v 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
islvol2aN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem islvol2aN
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
2 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simpl3 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
4 islvol2a.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
5 islvol2a.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5hlatjidm 38752 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
72, 3, 6syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
81, 7sylan9eqr 2788 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
98oveq1d 7420 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
109oveq1d 7420 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
11 simprl 768 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
12 simprr 770 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
13 islvol2a.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (LVolsβ€˜πΎ)
144, 5, 133atnelvolN 38970 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
152, 3, 11, 12, 14syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
1710, 16eqneltrd 2847 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) β†’ Β¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
1817ex 412 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 = 𝑄 β†’ Β¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
1918necon2ad 2949 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 β†’ 𝑃 β‰  𝑄))
202hllatd 38747 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
21 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2221, 5atbase 38672 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2322ad2antrl 725 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2421, 4, 5hlatjcl 38750 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2524adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
26 islvol2a.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
2721, 26, 4latleeqj2 18417 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
2820, 23, 25, 27syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
29 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
304, 5, 133atnelvolN 38970 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
312, 29, 3, 12, 30syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
32 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆))
3332eleq1d 2812 . . . . . . 7 (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
3433notbid 318 . . . . . 6 (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (Β¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
3531, 34syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ Β¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
3628, 35sylbid 239 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ Β¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
3736con2d 134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 β†’ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)))
3821, 5atbase 38672 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3938ad2antll 726 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4021, 4latjcl 18404 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4120, 25, 23, 40syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4221, 26, 4latleeqj2 18417 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
4320, 39, 41, 42syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
444, 5, 133atnelvolN 38970 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑉)
452, 29, 3, 11, 44syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑉)
46 eleq1 2815 . . . . . . 7 ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑉))
4746notbid 318 . . . . . 6 ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) β†’ (Β¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ Β¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑉))
4845, 47syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) β†’ Β¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
4943, 48sylbid 239 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) β†’ Β¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
5049con2d 134 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 β†’ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
5119, 37, 503jcad 1126 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 β†’ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
5226, 4, 5, 13lvoli2 38965 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
53523expia 1118 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) β†’ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
5451, 53impbid 211 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) β†’ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ Β¬ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LVolsclvol 38877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-llines 38882  df-lplanes 38883  df-lvols 38884
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