Theorem islvol2aN 39060

Description: The predicate "is a lattice volume". (Contributed by NM, 16-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
islvol2a.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
islvol2a.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
islvol2a.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol2a.v	⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
islvol2aN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem islvol2aN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑄))
2		simpl1 1189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3		simpl3 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
4		islvol2a.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		islvol2a.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	4, 5	hlatjidm 38836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
7	2, 3, 6	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑄 ∨ 𝑄) = 𝑄)
8	1, 7	sylan9eqr 2790	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) = 𝑄)
9	8	oveq1d 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑅))
10	9	oveq1d 7430	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆))
11		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
12		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
13		islvol2a.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (LVols‘𝐾)
14	4, 5, 13	3atnelvolN 39054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
15	2, 3, 11, 12, 14	syl13anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
17	10, 16	eqneltrd 2849	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
18	17	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
19	18	necon2ad 2951	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 → 𝑃 ≠ 𝑄))
20	2	hllatd 38831	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
21		eqid 2728	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
22	21, 5	atbase 38756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
23	22	ad2antrl 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
24	21, 4, 5	hlatjcl 38834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
25	24	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
26		islvol2a.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
27	21, 26, 4	latleeqj2 18438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
28	20, 23, 25, 27	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
29		simpl2 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
30	4, 5, 13	3atnelvolN 39054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
31	2, 29, 3, 12, 30	syl13anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
32		oveq1 7422	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆))
33	32	eleq1d 2814	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
34	33	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄) → (¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
35	31, 34	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑃 ∨ 𝑄) → ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
36	28, 35	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
37	36	con2d 134	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)))
38	21, 5	atbase 38756	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
39	38	ad2antll 728	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
40	21, 4	latjcl 18425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
41	20, 25, 23, 40	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
42	21, 26, 4	latleeqj2 18438	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
43	20, 39, 41, 42	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
44	4, 5, 13	3atnelvolN 39054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑉)
45	2, 29, 3, 11, 44	syl13anc 1370	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑉)
46		eleq1 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑉))
47	46	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) → (¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ¬ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ 𝑉))
48	45, 47	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) → ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
49	43, 48	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) → ¬ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
50	49	con2d 134	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 → ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
51	19, 37, 50	3jcad 1127	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 → (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))
52	26, 4, 5, 13	lvoli2 39049	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉)
53	52	3expia 1119	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉))
54	51, 53	impbid 211	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2936   class class class wbr 5143  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  lecple 17234  joincjn 18297  Latclat 18417  Atomscatm 38730  HLchlt 38817  LVolsclvol 38961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-lat 18418  df-clat 18485  df-oposet 38643  df-ol 38645  df-oml 38646  df-covers 38733  df-ats 38734  df-atl 38765  df-cvlat 38789  df-hlat 38818  df-llines 38966  df-lplanes 38967  df-lvols 38968

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