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Theorem islvol2aN 36860
Description: The predicate "is a lattice volume". (Contributed by NM, 16-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol2a.l = (le‘𝐾)
islvol2a.j = (join‘𝐾)
islvol2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol2a.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islvol2aN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))

Proof of Theorem islvol2aN
StepHypRef Expression
1 oveq1 7158 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
2 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simpl3 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑄𝐴)
4 islvol2a.j . . . . . . . . . . 11 = (join‘𝐾)
5 islvol2a.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5hlatjidm 36637 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
72, 3, 6syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
81, 7sylan9eqr 2881 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
98oveq1d 7166 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑄 𝑅))
109oveq1d 7166 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))
11 simprl 770 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅𝐴)
12 simprr 772 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
13 islvol2a.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (LVols‘𝐾)
144, 5, 133atnelvolN 36854 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
152, 3, 11, 12, 14syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
1615adantr 484 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
1710, 16eqneltrd 2935 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
1817ex 416 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
1918necon2ad 3029 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉𝑃𝑄))
202hllatd 36632 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
21 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2221, 5atbase 36557 . . . . . . 7 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2322ad2antrl 727 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2421, 4, 5hlatjcl 36635 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2524adantr 484 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
26 islvol2a.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
2721, 26, 4latleeqj2 17676 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 (𝑃 𝑄) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄)))
2820, 23, 25, 27syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 (𝑃 𝑄) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄)))
29 simpl2 1189 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑃𝐴)
304, 5, 133atnelvolN 36854 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉)
312, 29, 3, 12, 30syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉)
32 oveq1 7158 . . . . . . . 8 (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
3332eleq1d 2900 . . . . . . 7 (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉))
3433notbid 321 . . . . . 6 (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → (¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉))
3531, 34syl5ibrcom 250 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
3628, 35sylbid 243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
3736con2d 136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
3821, 5atbase 36557 . . . . . . 7 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
3938ad2antll 728 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4021, 4latjcl 17663 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4120, 25, 23, 40syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4221, 26, 4latleeqj2 17676 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
4320, 39, 41, 42syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
444, 5, 133atnelvolN 36854 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉)
452, 29, 3, 11, 44syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉)
46 eleq1 2903 . . . . . . 7 ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉))
4746notbid 321 . . . . . 6 ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅) → (¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉))
4845, 47syl5ibrcom 250 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
4943, 48sylbid 243 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
5049con2d 136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
5119, 37, 503jcad 1126 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
5226, 4, 5, 13lvoli2 36849 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
53523expia 1118 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
5451, 53impbid 215 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5053  cfv 6345  (class class class)co 7151  Basecbs 16485  lecple 16574  joincjn 17556  Latclat 17657  Atomscatm 36531  HLchlt 36618  LVolsclvol 36761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-lat 17658  df-clat 17720  df-oposet 36444  df-ol 36446  df-oml 36447  df-covers 36534  df-ats 36535  df-atl 36566  df-cvlat 36590  df-hlat 36619  df-llines 36766  df-lplanes 36767  df-lvols 36768
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