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Theorem islvol2aN 36608
Description: The predicate "is a lattice volume". (Contributed by NM, 16-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
islvol2a.l = (le‘𝐾)
islvol2a.j = (join‘𝐾)
islvol2a.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
islvol2a.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
islvol2aN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))

Proof of Theorem islvol2aN
StepHypRef Expression
1 oveq1 7152 . . . . . . . . 9 (𝑃 = 𝑄 → (𝑃 𝑄) = (𝑄 𝑄))
2 simpl1 1183 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
3 simpl3 1185 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑄𝐴)
4 islvol2a.j . . . . . . . . . . 11 = (join‘𝐾)
5 islvol2a.a . . . . . . . . . . 11 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
64, 5hlatjidm 36385 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
72, 3, 6syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑄 𝑄) = 𝑄)
81, 7sylan9eqr 2875 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (𝑃 𝑄) = 𝑄)
98oveq1d 7160 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑄 𝑅))
109oveq1d 7160 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))
11 simprl 767 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅𝐴)
12 simprr 769 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆𝐴)
13 islvol2a.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (LVols‘𝐾)
144, 5, 133atnelvolN 36602 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
152, 3, 11, 12, 14syl13anc 1364 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
1710, 16eqneltrd 2929 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) ∧ 𝑃 = 𝑄) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
1817ex 413 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑃 = 𝑄 → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
1918necon2ad 3028 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉𝑃𝑄))
202hllatd 36380 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
21 eqid 2818 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2221, 5atbase 36305 . . . . . . 7 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2322ad2antrl 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
2421, 4, 5hlatjcl 36383 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
2524adantr 481 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
26 islvol2a.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
2721, 26, 4latleeqj2 17662 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅 (𝑃 𝑄) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄)))
2820, 23, 25, 27syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 (𝑃 𝑄) ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄)))
29 simpl2 1184 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑃𝐴)
304, 5, 133atnelvolN 36602 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉)
312, 29, 3, 12, 30syl13anc 1364 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉)
32 oveq1 7152 . . . . . . . 8 (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑆))
3332eleq1d 2894 . . . . . . 7 (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉))
3433notbid 319 . . . . . 6 (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → (¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑆) ∈ 𝑉))
3531, 34syl5ibrcom 248 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) = (𝑃 𝑄) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
3628, 35sylbid 241 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑅 (𝑃 𝑄) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
3736con2d 136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄)))
3821, 5atbase 36305 . . . . . . 7 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
3938ad2antll 725 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4021, 4latjcl 17649 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4120, 25, 23, 40syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
4221, 26, 4latleeqj2 17662 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
4320, 39, 41, 42syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
444, 5, 133atnelvolN 36602 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉)
452, 29, 3, 11, 44syl13anc 1364 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉)
46 eleq1 2897 . . . . . . 7 ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉))
4746notbid 319 . . . . . 6 ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅) → (¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ ¬ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ 𝑉))
4845, 47syl5ibrcom 248 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
4943, 48sylbid 241 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) → ¬ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
5049con2d 136 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
5119, 37, 503jcad 1121 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 → (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
5226, 4, 5, 13lvoli2 36597 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
53523expia 1113 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉))
5451, 53impbid 213 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉 ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  Latclat 17643  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LVolsclvol 36509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516
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