MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjlej1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjlej1 17959
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej1i 29554 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjlej1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latjlej1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latlej1 17954 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑌 (𝑌 𝑍))
543adant3r1 1184 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌 (𝑌 𝑍))
6 simpl 486 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simpr1 1196 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
8 simpr2 1197 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
91, 3latjcl 17945 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
1093adant3r1 1184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
111, 2lattr 17950 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 (𝑌 𝑍)) → 𝑋 (𝑌 𝑍)))
126, 7, 8, 10, 11syl13anc 1374 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 (𝑌 𝑍)) → 𝑋 (𝑌 𝑍)))
135, 12mpan2d 694 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌𝑋 (𝑌 𝑍)))
141, 2, 3latlej2 17955 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑍 (𝑌 𝑍))
15143adant3r1 1184 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍 (𝑌 𝑍))
1613, 15jctird 530 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 (𝑌 𝑍) ∧ 𝑍 (𝑌 𝑍))))
17 simpr3 1198 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
187, 17, 103jca 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵))
191, 2, 3latjle12 17956 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 (𝑌 𝑍) ∧ 𝑍 (𝑌 𝑍)) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2018, 19syldan 594 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 (𝑌 𝑍) ∧ 𝑍 (𝑌 𝑍)) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2116, 20sylibd 242 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110   class class class wbr 5053  cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  lecple 16809  joincjn 17818  Latclat 17937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-poset 17820  df-lub 17852  df-glb 17853  df-join 17854  df-meet 17855  df-lat 17938
This theorem is referenced by:  latjlej2  17960  latjlej12  17961  ps-2  37229  dalem5  37418  cdlema1N  37542  dalawlem3  37624  dalawlem6  37627  dalawlem7  37628  dalawlem11  37632  dalawlem12  37633  cdleme20d  38063  trlcolem  38477  cdlemh1  38566
  Copyright terms: Public domain W3C validator