Theorem latjlej1 18448

Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej1i 31355 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latjlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlej1 18443	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
5	4	3adant3r1 1179	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
6		simpl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simpr1 1191	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simpr2 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3	latjcl 18434	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
10	9	3adant3r1 1179	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
11	1, 2	lattr 18439	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
12	6, 7, 8, 10, 11	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
13	5, 12	mpan2d 692	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
14	1, 2, 3	latlej2 18444	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
15	14	3adant3r1 1179	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
16	13, 15	jctird 525	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))))
17		simpr3 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
18	7, 17, 10	3jca 1125	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵))
19	1, 2, 3	latjle12 18445	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
20	18, 19	syldan 589	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
21	16, 20	sylibd 238	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  joincjn 18306  Latclat 18426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-poset 18308  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-lat 18427

This theorem is referenced by:  latjlej2  18449  latjlej12  18450  ps-2  39081  dalem5  39270  cdlema1N  39394  dalawlem3  39476  dalawlem6  39479  dalawlem7  39480  dalawlem11  39484  dalawlem12  39485  cdleme20d  39915  trlcolem  40329  cdlemh1  40418