Theorem latjlej1 17508

Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej1i 28937 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latlej.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
latlej.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjlej1	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latjlej1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latlej.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		latlej.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		latlej.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
4	1, 2, 3	latlej1 17503	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
5	4	3adant3r1 1175	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
6		simpl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
7		simpr1 1187	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		simpr2 1188	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 3	latjcl 17494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
10	9	3adant3r1 1175	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
11	1, 2	lattr 17499	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
12	6, 7, 8, 10, 11	syl13anc 1365	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
13	5, 12	mpan2d 690	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → 𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
14	1, 2, 3	latlej2 17504	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
15	14	3adant3r1 1175	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))
16	13, 15	jctird 527	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍))))
17		simpr3 1189	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
18	7, 17, 10	3jca 1121	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵))
19	1, 2, 3	latjle12 17505	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
20	18, 19	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍) ∧ 𝑍 ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))
21	16, 20	sylibd 240	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → (𝑋 ∨ 𝑍) ≤ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1080   = wceq 1525   ∈ wcel 2083   class class class wbr 4968  ‘cfv 6232  (class class class)co 7023  Basecbs 16316  lecple 16405  joincjn 17387  Latclat 17488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-id 5355  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-poset 17389  df-lub 17417  df-glb 17418  df-join 17419  df-meet 17420  df-lat 17489

This theorem is referenced by:  latjlej2  17509  latjlej12  17510  ps-2  36166  dalem5  36355  cdlema1N  36479  dalawlem3  36561  dalawlem6  36564  dalawlem7  36565  dalawlem11  36569  dalawlem12  36570  cdleme20d  37000  trlcolem  37414  cdlemh1  37503