MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjlej1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjlej1 18448
Description: Add join to both sides of a lattice ordering. (chlej1i 31355 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latlej.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latlej.l = (le‘𝐾)
latlej.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjlej1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latjlej1
StepHypRef Expression
1 latlej.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latlej.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 latlej.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
41, 2, 3latlej1 18443 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑌 (𝑌 𝑍))
543adant3r1 1179 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌 (𝑌 𝑍))
6 simpl 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
7 simpr1 1191 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
8 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
91, 3latjcl 18434 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
1093adant3r1 1179 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
111, 2lattr 18439 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 (𝑌 𝑍)) → 𝑋 (𝑌 𝑍)))
126, 7, 8, 10, 11syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌𝑌 (𝑌 𝑍)) → 𝑋 (𝑌 𝑍)))
135, 12mpan2d 692 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌𝑋 (𝑌 𝑍)))
141, 2, 3latlej2 18444 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑍 (𝑌 𝑍))
15143adant3r1 1179 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍 (𝑌 𝑍))
1613, 15jctird 525 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 (𝑌 𝑍) ∧ 𝑍 (𝑌 𝑍))))
17 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
187, 17, 103jca 1125 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵))
191, 2, 3latjle12 18445 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 (𝑌 𝑍) ∧ 𝑍 (𝑌 𝑍)) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2018, 19syldan 589 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 (𝑌 𝑍) ∧ 𝑍 (𝑌 𝑍)) ↔ (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
2116, 20sylibd 238 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌 → (𝑋 𝑍) (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  lecple 17243  joincjn 18306  Latclat 18426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-poset 18308  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-lat 18427
This theorem is referenced by:  latjlej2  18449  latjlej12  18450  ps-2  39081  dalem5  39270  cdlema1N  39394  dalawlem3  39476  dalawlem6  39479  dalawlem7  39480  dalawlem11  39484  dalawlem12  39485  cdleme20d  39915  trlcolem  40329  cdlemh1  40418
  Copyright terms: Public domain W3C validator