Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2atmat 39544
Description: The meet of two intersecting lines (expressed as joins of atoms) is an atom. (Contributed by NM, 21-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atmat.l = (le‘𝐾)
2atmat.j = (join‘𝐾)
2atmat.m = (meet‘𝐾)
2atmat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2atmat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2atmat
StepHypRef Expression
1 simp11 1202 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 39346 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 2atmat.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
5 2atmat.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
63, 4, 5hlatjcl 39349 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
763ad2ant1 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
8 simp21 1205 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝐴)
93, 5atbase 39271 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
108, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
11 simp22 1206 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆𝐴)
123, 5atbase 39271 . . . . . 6 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
143, 4latjass 18541 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
152, 7, 10, 13, 14syl13anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)))
16 simp33 1210 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
173, 4latjcl 18497 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
182, 7, 10, 17syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
19 2atmat.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
203, 19, 4latleeqj2 18510 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
212, 13, 18, 20syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
2216, 21mpbid 232 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
2315, 22eqtr3d 2777 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
24 simp23 1207 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝑄)
25 simp32 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
26 simp12 1203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑃𝐴)
27 simp13 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑄𝐴)
28 eqid 2735 . . . . . 6 (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
2919, 4, 5, 28islpln2a 39531 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))))
301, 26, 27, 8, 29syl13anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))))
3124, 25, 30mpbir2and 713 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾))
3223, 31eqeltrd 2839 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ (LPlanes‘𝐾))
33 eqid 2735 . . . . 5 (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
344, 5, 33llni2 39495 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑃𝑄) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
351, 26, 27, 24, 34syl31anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
36 simp31 1208 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → 𝑅𝑆)
374, 5, 33llni2 39495 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ 𝑅𝑆) → (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
381, 8, 11, 36, 37syl31anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
39 2atmat.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
404, 39, 5, 33, 282llnmj 39543 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
411, 35, 38, 40syl3anc 1370 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
4232, 41mpbird 257 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴𝑃𝑄) ∧ (𝑅𝑆 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → ((𝑃 𝑄) (𝑅 𝑆)) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LLinesclln 39474  LPlanesclpl 39475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482
This theorem is referenced by:  4atexlemc  40052
  Copyright terms: Public domain W3C validator