Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11 1203 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 38222 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β πΎ β Lat) |
3 | | eqid 2732 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
4 | | 2atmat.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
5 | | 2atmat.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 3, 4, 5 | hlatjcl 38225 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
7 | 6 | 3ad2ant1 1133 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
8 | | simp21 1206 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π
β π΄) |
9 | 3, 5 | atbase 38147 |
. . . . . 6
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
10 | 8, 9 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π
β (BaseβπΎ)) |
11 | | simp22 1207 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β π΄) |
12 | 3, 5 | atbase 38147 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
13 | 11, 12 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β (BaseβπΎ)) |
14 | 3, 4 | latjass 18432 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (((π β¨ π) β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π))) |
15 | 2, 7, 10, 13, 14 | syl13anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (((π β¨ π) β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π))) |
16 | | simp33 1211 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
17 | 3, 4 | latjcl 18388 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
18 | 2, 7, 10, 17 | syl3anc 1371 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β ((π β¨ π) β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
19 | | 2atmat.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
20 | 3, 19, 4 | latleeqj2 18401 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β (((π β¨ π) β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
))) |
21 | 2, 13, 18, 20 | syl3anc 1371 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β (((π β¨ π) β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
))) |
22 | 16, 21 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (((π β¨ π) β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
23 | 15, 22 | eqtr3d 2774 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
24 | | simp23 1208 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β π) |
25 | | simp32 1210 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
26 | | simp12 1204 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β π΄) |
27 | | simp13 1205 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π β π΄) |
28 | | eqid 2732 |
. . . . . 6
β’
(LPlanesβπΎ) =
(LPlanesβπΎ) |
29 | 19, 4, 5, 28 | islpln2a 38407 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π
β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π
) β (LPlanesβπΎ) β (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) |
30 | 1, 26, 27, 8, 29 | syl13anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (((π β¨ π) β¨ π
) β (LPlanesβπΎ) β (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π)))) |
31 | 24, 25, 30 | mpbir2and 711 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β ((π β¨ π) β¨ π
) β (LPlanesβπΎ)) |
32 | 23, 31 | eqeltrd 2833 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) β (LPlanesβπΎ)) |
33 | | eqid 2732 |
. . . . 5
β’
(LLinesβπΎ) =
(LLinesβπΎ) |
34 | 4, 5, 33 | llni2 38371 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β π) β (π β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
35 | 1, 26, 27, 24, 34 | syl31anc 1373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
36 | | simp31 1209 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β π
β π) |
37 | 4, 5, 33 | llni2 38371 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β§ π
β π) β (π
β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
38 | 1, 8, 11, 36, 37 | syl31anc 1373 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (π
β¨ π) β (LLinesβπΎ)) |
39 | | 2atmat.m |
. . . 4
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
40 | 4, 39, 5, 33, 28 | 2llnmj 38419 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β¨ π) β (LLinesβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (LLinesβπΎ)) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) β (LPlanesβπΎ))) |
41 | 1, 35, 38, 40 | syl3anc 1371 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β (((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄ β ((π β¨ π) β¨ (π
β¨ π)) β (LPlanesβπΎ))) |
42 | 32, 41 | mpbird 256 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ (π
β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) β ((π β¨ π) β§ (π
β¨ π)) β π΄) |