Theorem 2atmat 39670

Description: The meet of two intersecting lines (expressed as joins of atoms) is an atom. (Contributed by NM, 21-Nov-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2atmat.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2atmat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2atmat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2atmat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2atmat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2atmat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ HL)
2	1	hllatd 39473	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝐾 ∈ Lat)
3		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4		2atmat.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5		2atmat.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6	3, 4, 5	hlatjcl 39476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
8		simp21 1207	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
9	3, 5	atbase 39398	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
11		simp22 1208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
12	3, 5	atbase 39398	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
13	11, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
14	3, 4	latjass 18399	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
15	2, 7, 10, 13, 14	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)))
16		simp33 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
17	3, 4	latjcl 18355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
18	2, 7, 10, 17	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
19		2atmat.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
20	3, 19, 4	latleeqj2 18368	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
21	2, 13, 18, 20	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ↔ (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)))
22	16, 21	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
23	15, 22	eqtr3d 2770	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))
24		simp23 1209	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
25		simp32 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
26		simp12 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
27		simp13 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
28		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (LPlanes‘𝐾) = (LPlanes‘𝐾)
29	19, 4, 5, 28	islpln2a 39657	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))))
30	1, 26, 27, 8, 29	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾) ↔ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))))
31	24, 25, 30	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) ∈ (LPlanes‘𝐾))
32	23, 31	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ (LPlanes‘𝐾))
33		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (LLines‘𝐾) = (LLines‘𝐾)
34	4, 5, 33	llni2 39621	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
35	1, 26, 27, 24, 34	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾))
36		simp31 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → 𝑅 ≠ 𝑆)
37	4, 5, 33	llni2 39621	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ≠ 𝑆) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
38	1, 8, 11, 36, 37	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾))
39		2atmat.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
40	4, 39, 5, 33, 28	2llnmj 39669	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ (LLines‘𝐾) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (LLines‘𝐾)) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
41	1, 35, 38, 40	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴 ↔ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ (LPlanes‘𝐾)))
42	32, 41	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄) ∧ (𝑅 ≠ 𝑆 ∧ ¬ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑆 ≤ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅))) → ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆)) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17130  lecple 17178  joincjn 18227  meetcmee 18228  Latclat 18347  Atomscatm 39372  HLchlt 39459  LLinesclln 39600  LPlanesclpl 39601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-proset 18210  df-poset 18229  df-plt 18244  df-lub 18260  df-glb 18261  df-join 18262  df-meet 18263  df-p0 18339  df-lat 18348  df-clat 18415  df-oposet 39285  df-ol 39287  df-oml 39288  df-covers 39375  df-ats 39376  df-atl 39407  df-cvlat 39431  df-hlat 39460  df-llines 39607  df-lplanes 39608

This theorem is referenced by:  4atexlemc  40178