Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme30a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme30a 39762
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme30.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdleme30.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme30.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme30.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme30.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme30.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdleme30a (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)
Proof of Theorem cdleme30a
StepHypRef Expression
1 simp1l 1194 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38747 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp21 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐴)
4 cdleme30.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 cdleme30.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
64, 5atbase 38672 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝐴 β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
73, 6syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
8 simp23 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 simp1r 1195 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ 𝐻)
10 cdleme30.h . . . . . 6 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
114, 10lhpbase 39382 . . . . 5 (π‘Š ∈ 𝐻 β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
129, 11syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Š ∈ 𝐡)
13 cdleme30.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
144, 13latmcl 18405 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
152, 8, 12, 14syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
16 simp22l 1289 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
17 cdleme30.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
184, 17latjass 18448 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑠 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∨ 𝑋) = (𝑠 ∨ ((π‘Œ ∧ π‘Š) ∨ 𝑋)))
192, 7, 15, 16, 18syl13anc 1369 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∨ 𝑋) = (𝑠 ∨ ((π‘Œ ∧ π‘Š) ∨ 𝑋)))
20 simp3l 1198 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋)
21 simp3r 1199 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
22 cdleme30.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
234, 22, 13latmlem1 18434 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
242, 16, 8, 12, 23syl13anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
2521, 24mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š))
264, 13latmcl 18405 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Š ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
272, 16, 12, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡)
284, 22, 17latjlej2 18419 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) β†’ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ≀ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
292, 27, 15, 7, 28syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Š) ≀ (π‘Œ ∧ π‘Š) β†’ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ≀ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
3025, 29mpd 15 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) ≀ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
3120, 30eqbrtrrd 5165 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
324, 17latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑠 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
332, 7, 15, 32syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡)
344, 22, 17latleeqj2 18417 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∨ 𝑋) = (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
352, 16, 33, 34syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ≀ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ↔ ((𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∨ 𝑋) = (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š))))
3631, 35mpbid 231 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) ∨ 𝑋) = (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)))
37 simp1 1133 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
384, 22, 17, 13, 10lhpmod2i2 39422 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((π‘Œ ∧ π‘Š) ∨ 𝑋) = (π‘Œ ∧ (π‘Š ∨ 𝑋)))
3937, 8, 16, 21, 38syl121anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ ((π‘Œ ∧ π‘Š) ∨ 𝑋) = (π‘Œ ∧ (π‘Š ∨ 𝑋)))
4039oveq2d 7421 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ∨ ((π‘Œ ∧ π‘Š) ∨ 𝑋)) = (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ (π‘Š ∨ 𝑋))))
41 simp22 1204 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š))
42 eqid 2726 . . . . . . . 8 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
434, 22, 17, 42, 10lhpj1 39406 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = (1.β€˜πΎ))
4437, 41, 43syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (π‘Š ∨ 𝑋) = (1.β€˜πΎ))
4544oveq2d 7421 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∧ (π‘Š ∨ 𝑋)) = (π‘Œ ∧ (1.β€˜πΎ)))
46 hlol 38744 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
471, 46syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ OL)
484, 13, 42olm11 38610 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ (1.β€˜πΎ)) = π‘Œ)
4947, 8, 48syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∧ (1.β€˜πΎ)) = π‘Œ)
5045, 49eqtrd 2766 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (π‘Œ ∧ (π‘Š ∨ 𝑋)) = π‘Œ)
5150oveq2d 7421 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ (π‘Š ∨ 𝑋))) = (𝑠 ∨ π‘Œ))
524, 22, 17latlej1 18413 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑠 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ 𝑠 ≀ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
532, 7, 27, 52syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑠 ≀ (𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)))
5453, 20breqtrd 5167 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑠 ≀ 𝑋)
554, 22, 2, 7, 16, 8, 54, 21lattrd 18411 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑠 ≀ π‘Œ)
564, 22, 17latleeqj1 18416 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑠 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑠 ≀ π‘Œ ↔ (𝑠 ∨ π‘Œ) = π‘Œ))
572, 7, 8, 56syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ≀ π‘Œ ↔ (𝑠 ∨ π‘Œ) = π‘Œ))
5855, 57mpbid 231 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ∨ π‘Œ) = π‘Œ)
5940, 51, 583eqtrd 2770 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ∨ ((π‘Œ ∧ π‘Š) ∨ 𝑋)) = π‘Œ)
6019, 36, 593eqtr3d 2774 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑠 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Š) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((𝑠 ∨ (𝑋 ∧ π‘Š)) = 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑠 ∨ (π‘Œ ∧ π‘Š)) = π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  1.cp1 18389  Latclat 18396  OLcol 38557  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-p1 18391  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180  df-lhyp 39372
This theorem is referenced by:  cdleme32b  39826
  Copyright terms: Public domain W3C validator