Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1l 1198 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37855 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β πΎ β Lat) |
3 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β π β π΄) |
4 | | cdleme30.b |
. . . . 5
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
5 | | cdleme30.a |
. . . . 5
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
6 | 4, 5 | atbase 37780 |
. . . 4
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
7 | 3, 6 | syl 17 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β π β π΅) |
8 | | simp23 1209 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β π β π΅) |
9 | | simp1r 1199 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β π β π») |
10 | | cdleme30.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
11 | 4, 10 | lhpbase 38490 |
. . . . 5
β’ (π β π» β π β π΅) |
12 | 9, 11 | syl 17 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β π β π΅) |
13 | | cdleme30.m |
. . . . 5
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
14 | 4, 13 | latmcl 18336 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
15 | 2, 8, 12, 14 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β§ π) β π΅) |
16 | | simp22l 1293 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β π β π΅) |
17 | | cdleme30.j |
. . . 4
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
18 | 4, 17 | latjass 18379 |
. . 3
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β¨ (π β§ π)) β¨ π) = (π β¨ ((π β§ π) β¨ π))) |
19 | 2, 7, 15, 16, 18 | syl13anc 1373 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β ((π β¨ (π β§ π)) β¨ π) = (π β¨ ((π β§ π) β¨ π))) |
20 | | simp3l 1202 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |
21 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β π β€ π) |
22 | | cdleme30.l |
. . . . . . . 8
β’ β€ =
(leβπΎ) |
23 | 4, 22, 13 | latmlem1 18365 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β π΅ β§ π β π΅ β§ π β π΅)) β (π β€ π β (π β§ π) β€ (π β§ π))) |
24 | 2, 16, 8, 12, 23 | syl13anc 1373 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β€ π β (π β§ π) β€ (π β§ π))) |
25 | 21, 24 | mpd 15 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β§ π) β€ (π β§ π)) |
26 | 4, 13 | latmcl 18336 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β§ π) β π΅) |
27 | 2, 16, 12, 26 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β§ π) β π΅) |
28 | 4, 22, 17 | latjlej2 18350 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β§ π) β π΅ β§ (π β§ π) β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β§ π) β€ (π β§ π) β (π β¨ (π β§ π)) β€ (π β¨ (π β§ π)))) |
29 | 2, 27, 15, 7, 28 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β ((π β§ π) β€ (π β§ π) β (π β¨ (π β§ π)) β€ (π β¨ (π β§ π)))) |
30 | 25, 29 | mpd 15 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β¨ (π β§ π)) β€ (π β¨ (π β§ π))) |
31 | 20, 30 | eqbrtrrd 5134 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β π β€ (π β¨ (π β§ π))) |
32 | 4, 17 | latjcl 18335 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β (π β¨ (π β§ π)) β π΅) |
33 | 2, 7, 15, 32 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β¨ (π β§ π)) β π΅) |
34 | 4, 22, 17 | latleeqj2 18348 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π β¨ (π β§ π)) β π΅) β (π β€ (π β¨ (π β§ π)) β ((π β¨ (π β§ π)) β¨ π) = (π β¨ (π β§ π)))) |
35 | 2, 16, 33, 34 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β€ (π β¨ (π β§ π)) β ((π β¨ (π β§ π)) β¨ π) = (π β¨ (π β§ π)))) |
36 | 31, 35 | mpbid 231 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β ((π β¨ (π β§ π)) β¨ π) = (π β¨ (π β§ π))) |
37 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
38 | 4, 22, 17, 13, 10 | lhpmod2i2 38530 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ π β π΅) β§ π β€ π) β ((π β§ π) β¨ π) = (π β§ (π β¨ π))) |
39 | 37, 8, 16, 21, 38 | syl121anc 1376 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β ((π β§ π) β¨ π) = (π β§ (π β¨ π))) |
40 | 39 | oveq2d 7378 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β¨ ((π β§ π) β¨ π)) = (π β¨ (π β§ (π β¨ π)))) |
41 | | simp22 1208 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) |
42 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(1.βπΎ) =
(1.βπΎ) |
43 | 4, 22, 17, 42, 10 | lhpj1 38514 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π)) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
44 | 37, 41, 43 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β¨ π) = (1.βπΎ)) |
45 | 44 | oveq2d 7378 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β§ (π β¨ π)) = (π β§ (1.βπΎ))) |
46 | | hlol 37852 |
. . . . . . 7
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
47 | 1, 46 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β πΎ β OL) |
48 | 4, 13, 42 | olm11 37718 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β OL β§ π β π΅) β (π β§ (1.βπΎ)) = π) |
49 | 47, 8, 48 | syl2anc 585 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β§ (1.βπΎ)) = π) |
50 | 45, 49 | eqtrd 2777 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β§ (π β¨ π)) = π) |
51 | 50 | oveq2d 7378 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β¨ (π β§ (π β¨ π))) = (π β¨ π)) |
52 | 4, 22, 17 | latlej1 18344 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ (π β§ π) β π΅) β π β€ (π β¨ (π β§ π))) |
53 | 2, 7, 27, 52 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β π β€ (π β¨ (π β§ π))) |
54 | 53, 20 | breqtrd 5136 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β π β€ π) |
55 | 4, 22, 2, 7, 16, 8,
54, 21 | lattrd 18342 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β π β€ π) |
56 | 4, 22, 17 | latleeqj1 18347 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β€ π β (π β¨ π) = π)) |
57 | 2, 7, 8, 56 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β€ π β (π β¨ π) = π)) |
58 | 55, 57 | mpbid 231 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β¨ π) = π) |
59 | 40, 51, 58 | 3eqtrd 2781 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β¨ ((π β§ π) β¨ π)) = π) |
60 | 19, 36, 59 | 3eqtr3d 2785 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ (π β π΅ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΅) β§ ((π β¨ (π β§ π)) = π β§ π β€ π)) β (π β¨ (π β§ π)) = π) |