Theorem latm12 39490

Description: A rearrangement of lattice meet. (in12 4181 analog.) (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
olmass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olmass.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latm12	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ 𝑍)) = (𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Proof of Theorem latm12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ollat 39473	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		olmass.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		olmass.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7	5, 6	latmcom 18386	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) = (𝑌 ∧ 𝑋))
9	8	oveq1d 7373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑍) = ((𝑌 ∧ 𝑋) ∧ 𝑍))
10	5, 6	latmassOLD 39489	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑍) = (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ 𝑍)))
11		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
12	4, 3, 11	3jca 1128	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵))
13	5, 6	latmassOLD 39489	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∧ 𝑍) = (𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))
14	12, 13	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌 ∧ 𝑋) ∧ 𝑍) = (𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))
15	9, 10, 14	3eqtr3d 2779	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ (𝑌 ∧ 𝑍)) = (𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  meetcmee 18235  Latclat 18354  OLcol 39434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18217  df-poset 18236  df-lub 18267  df-glb 18268  df-join 18269  df-meet 18270  df-lat 18355  df-oposet 39436  df-ol 39438

This theorem is referenced by:  latm4  39493  omlfh1N  39518  dalawlem6  40136