Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem24 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dalem24 38266
Description: Lemma for dath 38305. Show that auxiliary atom 𝐺 is outside of plane π‘Œ. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem23.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem23.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem23.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem23.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem23.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dalem24 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ)
Proof of Theorem dalem24
StepHypRef Expression
1 dalem23.g . . . . 5 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
21oveq1i 7387 . . . 4 (𝐺 ∧ π‘Œ) = (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∧ π‘Œ)
3 dalem.ph . . . . . . . 8 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
43dalemkehl 38192 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
5 hlol 37929 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OL)
763ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ OL)
843ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 dalem.ps . . . . . . . 8 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
109dalemccea 38252 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
11103ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
123dalempea 38195 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
13123ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
14 eqid 2731 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
15 dalem.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
16 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1714, 15, 16hlatjcl 37935 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
188, 11, 13, 17syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
199dalemddea 38253 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
20193ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
213dalemsea 38198 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
22213ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
2314, 15, 16hlatjcl 37935 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
248, 20, 22, 23syl3anc 1371 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 dalem23.o . . . . . . 7 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
263, 25dalemyeb 38218 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
27263ad2ant1 1133 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 dalem23.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2914, 28latmmdir 37803 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∧ π‘Œ) = (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ)))
307, 18, 24, 27, 29syl13anc 1372 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∧ π‘Œ) = (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ)))
312, 30eqtrid 2783 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∧ π‘Œ) = (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ)))
3215, 16hlatjcom 37936 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑐))
338, 11, 13, 32syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑐))
3433oveq1d 7392 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) = ((𝑃 ∨ 𝑐) ∧ π‘Œ))
35 dalem.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
36 dalem23.y . . . . . . . 8 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
373, 35, 15, 16, 25, 36dalemply 38223 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ π‘Œ)
38373ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ≀ π‘Œ)
399dalem-ccly 38254 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
40393ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
4114, 35, 15, 28, 162atjm 38014 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑐) ∧ π‘Œ) = 𝑃)
428, 13, 11, 27, 38, 40, 41syl132anc 1388 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑐) ∧ π‘Œ) = 𝑃)
4334, 42eqtrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) = 𝑃)
4415, 16hlatjcom 37936 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑑))
458, 20, 22, 44syl3anc 1371 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑑))
4645oveq1d 7392 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ) = ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ))
47 dalem23.z . . . . . . . 8 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
483, 35, 15, 16, 47dalemsly 38224 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ 𝑆 ≀ π‘Œ)
49483adant3 1132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑆 ≀ π‘Œ)
509dalem-ddly 38255 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
51503ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
5214, 35, 15, 28, 162atjm 38014 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ) = 𝑆)
538, 22, 20, 27, 49, 51, 52syl132anc 1388 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ) = 𝑆)
5446, 53eqtrd 2771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ) = 𝑆)
5543, 54oveq12d 7395 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∧ 𝑆))
563, 35, 15, 16, 25, 36dalempnes 38220 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  𝑆)
57 hlatl 37928 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
584, 57syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
59 eqid 2731 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
6028, 59, 16atnem0 37886 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑆 ↔ (𝑃 ∧ 𝑆) = (0.β€˜πΎ)))
6158, 12, 21, 60syl3anc 1371 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 β‰  𝑆 ↔ (𝑃 ∧ 𝑆) = (0.β€˜πΎ)))
6256, 61mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∧ 𝑆) = (0.β€˜πΎ))
63623ad2ant1 1133 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑃 ∧ 𝑆) = (0.β€˜πΎ))
6431, 55, 633eqtrd 2775 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ))
65583ad2ant1 1133 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
663, 35, 15, 16, 9, 28, 25, 36, 47, 1dalem23 38265 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
6714, 35, 28, 59, 16atnle 37885 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ ↔ (𝐺 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
6865, 66, 27, 67syl3anc 1371 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ ↔ (𝐺 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
6964, 68mpbird 256 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939   class class class wbr 5125  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  Basecbs 17109  lecple 17169  joincjn 18229  meetcmee 18230  0.cp0 18341  OLcol 37742  Atomscatm 37831  AtLatcal 37832  HLchlt 37918  LPlanesclpl 38061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-proset 18213  df-poset 18231  df-plt 18248  df-lub 18264  df-glb 18265  df-join 18266  df-meet 18267  df-p0 18343  df-lat 18350  df-clat 18417  df-oposet 37744  df-ol 37746  df-oml 37747  df-covers 37834  df-ats 37835  df-atl 37866  df-cvlat 37890  df-hlat 37919  df-llines 38067  df-lplanes 38068
This theorem is referenced by:  dalem27  38268  dalem30  38271  dalem54  38295
  Copyright terms: Public domain W3C validator