Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dalem24 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dalem24 38871
Description: Lemma for dath 38910. Show that auxiliary atom 𝐺 is outside of plane π‘Œ. (Contributed by NM, 2-Aug-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
dalem.ph (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
dalem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
dalem.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
dalem.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
dalem.ps (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
dalem23.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
dalem23.o 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
dalem23.y π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
dalem23.z 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
dalem23.g 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
Assertion
Ref Expression
dalem24 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ)
Proof of Theorem dalem24
StepHypRef Expression
1 dalem23.g . . . . 5 𝐺 = ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆))
21oveq1i 7421 . . . 4 (𝐺 ∧ π‘Œ) = (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∧ π‘Œ)
3 dalem.ph . . . . . . . 8 (πœ‘ ↔ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝐢 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ π‘ˆ ∈ 𝐴)) ∧ (π‘Œ ∈ 𝑂 ∧ 𝑍 ∈ 𝑂) ∧ ((Β¬ 𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ 𝑃)) ∧ (Β¬ 𝐢 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘ˆ ∨ 𝑆)) ∧ (𝐢 ≀ (𝑃 ∨ 𝑆) ∧ 𝐢 ≀ (𝑄 ∨ 𝑇) ∧ 𝐢 ≀ (𝑅 ∨ π‘ˆ)))))
43dalemkehl 38797 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ HL)
5 hlol 38534 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
64, 5syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ OL)
763ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ OL)
843ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ HL)
9 dalem.ps . . . . . . . 8 (πœ“ ↔ ((𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴) ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ ∧ (𝑑 β‰  𝑐 ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ ∧ 𝐢 ≀ (𝑐 ∨ 𝑑))))
109dalemccea 38857 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
11103ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑐 ∈ 𝐴)
123dalempea 38800 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
13123ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
14 eqid 2730 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
15 dalem.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
16 dalem.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
1714, 15, 16hlatjcl 38540 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
188, 11, 13, 17syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
199dalemddea 38858 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
20193ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑑 ∈ 𝐴)
213dalemsea 38803 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
22213ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
2314, 15, 16hlatjcl 38540 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
248, 20, 22, 23syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
25 dalem23.o . . . . . . 7 𝑂 = (LPlanesβ€˜πΎ)
263, 25dalemyeb 38823 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
27263ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
28 dalem23.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2914, 28latmmdir 38408 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∧ π‘Œ) = (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ)))
307, 18, 24, 27, 29syl13anc 1370 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ (𝑑 ∨ 𝑆)) ∧ π‘Œ) = (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ)))
312, 30eqtrid 2782 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∧ π‘Œ) = (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ)))
3215, 16hlatjcom 38541 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑐))
338, 11, 13, 32syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑐 ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ 𝑐))
3433oveq1d 7426 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) = ((𝑃 ∨ 𝑐) ∧ π‘Œ))
35 dalem.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
36 dalem23.y . . . . . . . 8 π‘Œ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)
373, 35, 15, 16, 25, 36dalemply 38828 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ≀ π‘Œ)
38373ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑃 ≀ π‘Œ)
399dalem-ccly 38859 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
40393ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)
4114, 35, 15, 28, 162atjm 38619 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑐 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑃 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑐 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑐) ∧ π‘Œ) = 𝑃)
428, 13, 11, 27, 38, 40, 41syl132anc 1386 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑐) ∧ π‘Œ) = 𝑃)
4334, 42eqtrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) = 𝑃)
4415, 16hlatjcom 38541 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑑))
458, 20, 22, 44syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑑 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑑))
4645oveq1d 7426 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ) = ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ))
47 dalem23.z . . . . . . . 8 𝑍 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∨ π‘ˆ)
483, 35, 15, 16, 47dalemsly 38829 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍) β†’ 𝑆 ≀ π‘Œ)
49483adant3 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝑆 ≀ π‘Œ)
509dalem-ddly 38860 . . . . . . 7 (πœ“ β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
51503ad2ant3 1133 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)
5214, 35, 15, 28, 162atjm 38619 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑑 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (𝑆 ≀ π‘Œ ∧ Β¬ 𝑑 ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ) = 𝑆)
538, 22, 20, 27, 49, 51, 52syl132anc 1386 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑑) ∧ π‘Œ) = 𝑆)
5446, 53eqtrd 2770 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ) = 𝑆)
5543, 54oveq12d 7429 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (((𝑐 ∨ 𝑃) ∧ π‘Œ) ∧ ((𝑑 ∨ 𝑆) ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∧ 𝑆))
563, 35, 15, 16, 25, 36dalempnes 38825 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  𝑆)
57 hlatl 38533 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
584, 57syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
59 eqid 2730 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
6028, 59, 16atnem0 38491 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 β‰  𝑆 ↔ (𝑃 ∧ 𝑆) = (0.β€˜πΎ)))
6158, 12, 21, 60syl3anc 1369 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑃 β‰  𝑆 ↔ (𝑃 ∧ 𝑆) = (0.β€˜πΎ)))
6256, 61mpbid 231 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑃 ∧ 𝑆) = (0.β€˜πΎ))
63623ad2ant1 1131 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝑃 ∧ 𝑆) = (0.β€˜πΎ))
6431, 55, 633eqtrd 2774 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (𝐺 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ))
65583ad2ant1 1131 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
663, 35, 15, 16, 9, 28, 25, 36, 47, 1dalem23 38870 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ 𝐺 ∈ 𝐴)
6714, 35, 28, 59, 16atnle 38490 . . 3 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝐺 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ ↔ (𝐺 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
6865, 66, 27, 67syl3anc 1369 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ (Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ ↔ (𝐺 ∧ π‘Œ) = (0.β€˜πΎ)))
6964, 68mpbird 256 1 ((πœ‘ ∧ π‘Œ = 𝑍 ∧ πœ“) β†’ Β¬ 𝐺 ≀ π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  0.cp0 18380  OLcol 38347  Atomscatm 38436  AtLatcal 38437  HLchlt 38523  LPlanesclpl 38666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673
This theorem is referenced by:  dalem27  38873  dalem30  38876  dalem54  38900
  Copyright terms: Public domain W3C validator