Theorem rnxpss 6169

Description: The range of a Cartesian product is included in its second factor. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rnxpss	⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem rnxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5671	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6153	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5893	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4		dmxpss 6168	. . 3 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstri 3982	. 2 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
6	1, 5	eqsstri 3982	1 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3904   × cxp 5658  ^◡ccnv 5659  dom cdm 5660  ran crn 5661

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-11 2191  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-dm 5670  df-rn 5671

This theorem is used by:  ssxpb  6171  ssrnres  6175  resssxp  6271  funssxp  6734  fconst  6764  dff2  7094  dff3  7095  fliftf  7313  frxp2  8138  frxp3  8145  marypha1lem  9391  marypha1  9392  dfac12lem2  10135  brdom4  10520  nqerf  10921  xptrrel  15024  lern  18653  cnconst2  23451  lmss  23466  tsmsxplem1  24321  causs  25468  i1f0  25857  itg10  25858  taylf  26535  noextendseq  27842  perpln2  29002  gsumpart  33392  locfinref  34240  sitg0  34745  heicant  38334  rntrclfvOAI  43450  rtrclex  44371  trclexi  44374  rtrclexi  44375  cnvtrcl0  44380  rntrcl  44382  brtrclfv2  44481  xphe  44535  rfovcnvf1od  44758