Theorem rnxpss 6159

Description: The range of a Cartesian product is included in its second factor. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rnxpss	⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem rnxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5658	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6142	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5882	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4		dmxpss 6158	. . 3 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstri 3976	. 2 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
6	1, 5	eqsstri 3976	1 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3898   × cxp 5645  ^◡ccnv 5646  dom cdm 5647  ran crn 5648

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-dm 5657  df-rn 5658

This theorem is used by:  ssxpb  6161  ssrnres  6165  resssxp  6261  funssxp  6726  fconst  6756  dff2  7087  dff3  7088  fliftf  7311  frxp2  8139  frxp3  8146  marypha1lem  9403  marypha1  9404  dfac12lem2  10195  brdom4  10581  nqerf  10987  xptrrel  15101  lern  18727  cnconst2  23563  lmss  23578  tsmsxplem1  24434  causs  25581  i1f0  25970  itg10  25971  taylf  26652  noextendseq  27958  perpln2  29120  gsumpart  33558  locfinref  34407  sitg0  34913  heicant  38493  rntrclfvOAI  43640  rtrclex  44561  trclexi  44564  rtrclexi  44565  cnvtrcl0  44570  rntrcl  44572  brtrclfv2  44671  xphe  44725  rfovcnvf1od  44948