Theorem rnxpss 6165

Description: The range of a Cartesian product is included in its second factor. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rnxpss	⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem rnxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5666	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6148	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5888	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4		dmxpss 6164	. . 3 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstri 3977	. 2 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
6	1, 5	eqsstri 3977	1 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3899   × cxp 5653  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-dm 5665  df-rn 5666

This theorem is used by:  ssxpb  6167  ssrnres  6171  resssxp  6267  funssxp  6732  fconst  6762  dff2  7093  dff3  7094  fliftf  7317  frxp2  8143  frxp3  8150  marypha1lem  9406  marypha1  9407  dfac12lem2  10150  brdom4  10536  nqerf  10942  xptrrel  15056  lern  18682  cnconst2  23511  lmss  23526  tsmsxplem1  24382  causs  25529  i1f0  25918  itg10  25919  taylf  26600  noextendseq  27906  perpln2  29068  gsumpart  33506  locfinref  34354  sitg0  34860  heicant  38407  rntrclfvOAI  43539  rtrclex  44460  trclexi  44463  rtrclexi  44464  cnvtrcl0  44469  rntrcl  44471  brtrclfv2  44570  xphe  44624  rfovcnvf1od  44847