Theorem rnxpss 6137

Description: The range of a Cartesian product is included in its second factor. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rnxpss	⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem rnxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5642	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6122	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5860	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4		dmxpss 6136	. . 3 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstri 3969	. 2 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
6	1, 5	eqsstri 3969	1 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   ⊆ wss 3890   × cxp 5629  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-pr 5376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-dm 5641  df-rn 5642

This theorem is referenced by:  ssxpb  6139  ssrnres  6143  resssxp  6235  funssxp  6697  fconst  6727  dff2  7052  dff3  7053  fliftf  7270  frxp2  8094  frxp3  8101  marypha1lem  9346  marypha1  9347  dfac12lem2  10067  brdom4  10452  nqerf  10853  xptrrel  14942  lern  18557  cnconst2  23248  lmss  23263  tsmsxplem1  24118  causs  25265  i1f0  25654  itg10  25655  taylf  26326  noextendseq  27631  perpln2  28779  gsumpart  33124  locfinref  33985  sitg0  34490  heicant  37976  rntrclfvOAI  43123  rtrclex  44044  trclexi  44047  rtrclexi  44048  cnvtrcl0  44053  rntrcl  44055  brtrclfv2  44154  xphe  44208  rfovcnvf1od  44431