Theorem rnxpss 6169

Description: The range of a Cartesian product is included in its second factor. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rnxpss	⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem rnxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5670	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6152	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5892	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4		dmxpss 6168	. . 3 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstri 3980	. 2 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
6	1, 5	eqsstri 3980	1 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3902   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-dm 5669  df-rn 5670

This theorem is used by:  ssxpb  6171  ssrnres  6175  resssxp  6271  funssxp  6735  fconst  6765  dff2  7095  dff3  7096  fliftf  7319  frxp2  8145  frxp3  8152  marypha1lem  9406  marypha1  9407  dfac12lem2  10150  brdom4  10536  nqerf  10942  xptrrel  15055  lern  18683  cnconst2  23512  lmss  23527  tsmsxplem1  24383  causs  25530  i1f0  25919  itg10  25920  taylf  26597  noextendseq  27904  perpln2  29066  gsumpart  33505  locfinref  34353  sitg0  34859  heicant  38406  rntrclfvOAI  43538  rtrclex  44459  trclexi  44462  rtrclexi  44463  cnvtrcl0  44468  rntrcl  44470  brtrclfv2  44569  xphe  44623  rfovcnvf1od  44846