Theorem rnxpss 6131

Description: The range of a Cartesian product is included in its second factor. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rnxpss	⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem rnxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5636	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 6116	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5854	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4		dmxpss 6130	. . 3 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstri 3981	. 2 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
6	1, 5	eqsstri 3981	1 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   ⊆ wss 3902   × cxp 5623  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-11 2163  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-br 5100  df-opab 5162  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-rn 5636

This theorem is referenced by:  ssxpb  6133  ssrnres  6137  resssxp  6229  funssxp  6691  fconst  6721  dff2  7046  dff3  7047  fliftf  7263  frxp2  8088  frxp3  8095  marypha1lem  9340  marypha1  9341  dfac12lem2  10059  brdom4  10444  nqerf  10845  xptrrel  14907  lern  18518  cnconst2  23231  lmss  23246  tsmsxplem1  24101  causs  25258  i1f0  25648  itg10  25649  taylf  26328  noextendseq  27639  perpln2  28766  gsumpart  33127  locfinref  33979  sitg0  34484  heicant  37827  rntrclfvOAI  42969  rtrclex  43894  trclexi  43897  rtrclexi  43898  cnvtrcl0  43903  rntrcl  43905  brtrclfv2  44004  xphe  44058  rfovcnvf1od  44281