Theorem ldual0v 40207

Description: The zero vector of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualv0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualv0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ldualv0.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualv0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
ldualv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
ldual0v	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem ldual0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
2		ldualv0.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		ldualv0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
6		ldualv0.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualv0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ldualv0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	2, 7, 8, 1	lfl0f 40126	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
10	6, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 10	ldualvadd 40186	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)(𝑉 × { 0 })))
12	8, 2, 3, 7, 1, 6, 10	lfladd0l 40131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
13	11, 12	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
14	4, 6	ldualgrp 40203	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)
15		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16	1, 4, 15, 6, 10	ldualelvbase 40184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷))
17		ldualv0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
18	15, 5, 17	grpid 19186	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
19	14, 16, 18	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
20	13, 19	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584   × cxp 5649  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Scalarcsca 17431  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  LModclmod 21135  LFnlclfn 40114  LDualcld 40180

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lfl 40115  df-ldual 40181

This theorem is used by:  ldual0vcl  40208  lkr0f2  40218  lduallkr3  40219  lclkrlem1  42563  lclkrlem2j  42573  lcd0v  42668  lcd0v2  42669