Theorem ldual0v 38848

Description: The zero vector of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualv0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualv0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ldualv0.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualv0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
ldualv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
ldual0v	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem ldual0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
2		ldualv0.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		ldualv0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
6		ldualv0.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualv0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ldualv0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	2, 7, 8, 1	lfl0f 38767	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 10	ldualvadd 38827	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)(𝑉 × { 0 })))
12	8, 2, 3, 7, 1, 6, 10	lfladd0l 38772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
13	11, 12	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
14	4, 6	ldualgrp 38844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)
15		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16	1, 4, 15, 6, 10	ldualelvbase 38825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷))
17		ldualv0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
18	15, 5, 17	grpid 18970	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
19	14, 16, 18	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
20	13, 19	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {csn 4633   × cxp 5680  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7688  Basecbs 17213  +_gcplusg 17266  Scalarcsca 17269  0_gc0g 17454  Grpcgrp 18928  LModclmod 20836  LFnlclfn 38755  LDualcld 38821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-plusg 17279  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-0g 17456  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-sbg 18933  df-cmn 19780  df-abl 19781  df-mgp 20118  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-lmod 20838  df-lfl 38756  df-ldual 38822

This theorem is referenced by:  ldual0vcl  38849  lkr0f2  38859  lduallkr3  38860  lclkrlem1  41205  lclkrlem2j  41215  lcd0v  41310  lcd0v2  41311