Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual0v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual0v 37718
Description: The zero vector of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualv0.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ldualv0.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualv0.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
ldualv0.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualv0.o 𝑂 = (0gβ€˜π·)
ldualv0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
ldual0v (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑉 Γ— { 0 }))

Proof of Theorem ldual0v
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . . 4 (LFnlβ€˜π‘Š) = (LFnlβ€˜π‘Š)
2 ldualv0.r . . . 4 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
3 eqid 2731 . . . 4 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
4 ldualv0.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
5 eqid 2731 . . . 4 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
6 ldualv0.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
7 ldualv0.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
8 ldualv0.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
92, 7, 8, 1lfl0f 37637 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (LFnlβ€˜π‘Š))
106, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (LFnlβ€˜π‘Š))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 10ldualvadd 37697 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })(+gβ€˜π·)(𝑉 Γ— { 0 })) = ((𝑉 Γ— { 0 }) ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑉 Γ— { 0 })))
128, 2, 3, 7, 1, 6, 10lfladd0l 37642 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— { 0 }) ∘f (+gβ€˜π‘…)(𝑉 Γ— { 0 })) = (𝑉 Γ— { 0 }))
1311, 12eqtrd 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑉 Γ— { 0 })(+gβ€˜π·)(𝑉 Γ— { 0 })) = (𝑉 Γ— { 0 }))
144, 6ldualgrp 37714 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ Grp)
15 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
161, 4, 15, 6, 10ldualelvbase 37695 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (Baseβ€˜π·))
17 ldualv0.o . . . 4 𝑂 = (0gβ€˜π·)
1815, 5, 17grpid 18815 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (((𝑉 Γ— { 0 })(+gβ€˜π·)(𝑉 Γ— { 0 })) = (𝑉 Γ— { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 Γ— { 0 })))
1914, 16, 18syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑉 Γ— { 0 })(+gβ€˜π·)(𝑉 Γ— { 0 })) = (𝑉 Γ— { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 Γ— { 0 })))
2013, 19mpbid 231 1 (πœ‘ β†’ 𝑂 = (𝑉 Γ— { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4606   Γ— cxp 5651  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ∘f cof 7635  Basecbs 17109  +gcplusg 17162  Scalarcsca 17165  0gc0g 17350  Grpcgrp 18777  LModclmod 20393  LFnlclfn 37625  LDualcld 37691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-plusg 17175  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-0g 17352  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-lmod 20395  df-lfl 37626  df-ldual 37692
This theorem is referenced by:  ldual0vcl  37719  lkr0f2  37729  lduallkr3  37730  lclkrlem1  40075  lclkrlem2j  40085  lcd0v  40180  lcd0v2  40181
  Copyright terms: Public domain W3C validator