Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual0v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual0v 36346
 Description: The zero vector of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualv0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualv0.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualv0.z 0 = (0g𝑅)
ldualv0.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualv0.o 𝑂 = (0g𝐷)
ldualv0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
ldual0v (𝜑𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem ldual0v
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . . 4 (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
2 ldualv0.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2824 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 ldualv0.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5 eqid 2824 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
6 ldualv0.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 ldualv0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
8 ldualv0.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
92, 7, 8, 1lfl0f 36265 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
106, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 10ldualvadd 36325 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g𝑅)(𝑉 × { 0 })))
128, 2, 3, 7, 1, 6, 10lfladd0l 36270 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g𝑅)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
1311, 12eqtrd 2859 . 2 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
144, 6ldualgrp 36342 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Grp)
15 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
161, 4, 15, 6, 10ldualelvbase 36323 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷))
17 ldualv0.o . . . 4 𝑂 = (0g𝐷)
1815, 5, 17grpid 18128 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
1914, 16, 18syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
2013, 19mpbid 235 1 (𝜑𝑂 = (𝑉 × { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {csn 4548   × cxp 5534  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   ∘f cof 7390  Basecbs 16472  +gcplusg 16554  Scalarcsca 16557  0gc0g 16702  Grpcgrp 18092  LModclmod 19620  LFnlclfn 36253  LDualcld 36319 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-n0 11884  df-z 11968  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-plusg 16567  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-minusg 18096  df-sbg 18097  df-cmn 18897  df-abl 18898  df-mgp 19229  df-ur 19241  df-ring 19288  df-lmod 19622  df-lfl 36254  df-ldual 36320 This theorem is referenced by:  ldual0vcl  36347  lkr0f2  36357  lduallkr3  36358  lclkrlem1  38702  lclkrlem2j  38712  lcd0v  38807  lcd0v2  38808
 Copyright terms: Public domain W3C validator