Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldual0v Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldual0v 37579
Description: The zero vector of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualv0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualv0.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualv0.z 0 = (0g𝑅)
ldualv0.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualv0.o 𝑂 = (0g𝐷)
ldualv0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
Assertion
Ref Expression
ldual0v (𝜑𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem ldual0v
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . 4 (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
2 ldualv0.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2736 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 ldualv0.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5 eqid 2736 . . . 4 (+g𝐷) = (+g𝐷)
6 ldualv0.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
7 ldualv0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
8 ldualv0.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
92, 7, 8, 1lfl0f 37498 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
106, 9syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
111, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 10ldualvadd 37558 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g𝑅)(𝑉 × { 0 })))
128, 2, 3, 7, 1, 6, 10lfladd0l 37503 . . 3 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g𝑅)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
1311, 12eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
144, 6ldualgrp 37575 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ Grp)
15 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
161, 4, 15, 6, 10ldualelvbase 37556 . . 3 (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷))
17 ldualv0.o . . . 4 𝑂 = (0g𝐷)
1815, 5, 17grpid 18778 . . 3 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
1914, 16, 18syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((𝑉 × { 0 })(+g𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
2013, 19mpbid 231 1 (𝜑𝑂 = (𝑉 × { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  {csn 4584   × cxp 5629  cfv 6493  (class class class)co 7353  f cof 7611  Basecbs 17075  +gcplusg 17125  Scalarcsca 17128  0gc0g 17313  Grpcgrp 18740  LModclmod 20307  LFnlclfn 37486  LDualcld 37552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-plusg 17138  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-0g 17315  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-lmod 20309  df-lfl 37487  df-ldual 37553
This theorem is referenced by:  ldual0vcl  37580  lkr0f2  37590  lduallkr3  37591  lclkrlem1  39936  lclkrlem2j  39946  lcd0v  40041  lcd0v2  40042
  Copyright terms: Public domain W3C validator