Theorem ldual0v 39133

Description: The zero vector of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualv0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualv0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ldualv0.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualv0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
ldualv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
ldual0v	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem ldual0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
2		ldualv0.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		ldualv0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
6		ldualv0.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualv0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ldualv0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	2, 7, 8, 1	lfl0f 39052	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 10	ldualvadd 39112	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)(𝑉 × { 0 })))
12	8, 2, 3, 7, 1, 6, 10	lfladd0l 39057	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
13	11, 12	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
14	4, 6	ldualgrp 39129	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)
15		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16	1, 4, 15, 6, 10	ldualelvbase 39110	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷))
17		ldualv0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
18	15, 5, 17	grpid 18854	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
19	14, 16, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
20	13, 19	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4577   × cxp 5617  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Scalarcsca 17164  0_gc0g 17343  Grpcgrp 18812  LModclmod 20763  LFnlclfn 39040  LDualcld 39106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-fz 13411  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-sbg 18817  df-cmn 19661  df-abl 19662  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-lmod 20765  df-lfl 39041  df-ldual 39107

This theorem is referenced by:  ldual0vcl  39134  lkr0f2  39144  lduallkr3  39145  lclkrlem1  41489  lclkrlem2j  41499  lcd0v  41594  lcd0v2  41595