Theorem ldual0v 37718

Description: The zero vector of the dual of a vector space. (Contributed by NM, 24-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualv0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualv0.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualv0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ldualv0.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualv0.o	⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
ldualv0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)

Assertion

Ref	Expression
ldual0v	⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Proof of Theorem ldual0v

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
2		ldualv0.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		ldualv0.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
6		ldualv0.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
7		ldualv0.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		ldualv0.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
9	2, 7, 8, 1	lfl0f 37637	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
10	6, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 10	ldualvadd 37697	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)(𝑉 × { 0 })))
12	8, 2, 3, 7, 1, 6, 10	lfladd0l 37642	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 }) ∘f (+g‘𝑅)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
13	11, 12	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }))
14	4, 6	ldualgrp 37714	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)
15		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
16	1, 4, 15, 6, 10	ldualelvbase 37695	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷))
17		ldualv0.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (0g‘𝐷)
18	15, 5, 17	grpid 18815	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝑉 × { 0 }) ∈ (Base‘𝐷)) → (((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
19	14, 16, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑉 × { 0 })(+g‘𝐷)(𝑉 × { 0 })) = (𝑉 × { 0 }) ↔ 𝑂 = (𝑉 × { 0 })))
20	13, 19	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (𝑉 × { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4606   × cxp 5651  ‘cfv 6516  (class class class)co 7377   ∘_f cof 7635  Basecbs 17109  +_gcplusg 17162  Scalarcsca 17165  0_gc0g 17350  Grpcgrp 18777  LModclmod 20393  LFnlclfn 37625  LDualcld 37691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-of 7637  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-fin 8909  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-2 12240  df-3 12241  df-4 12242  df-5 12243  df-6 12244  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-fz 13450  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17110  df-plusg 17175  df-sca 17178  df-vsca 17179  df-0g 17352  df-mgm 18526  df-sgrp 18575  df-mnd 18586  df-grp 18780  df-minusg 18781  df-sbg 18782  df-cmn 19593  df-abl 19594  df-mgp 19926  df-ur 19943  df-ring 19995  df-lmod 20395  df-lfl 37626  df-ldual 37692

This theorem is referenced by:  ldual0vcl  37719  lkr0f2  37729  lduallkr3  37730  lclkrlem1  40075  lclkrlem2j  40085  lcd0v  40180  lcd0v2  40181