MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindf5 21734
Description: A family is independent iff the linear combinations homomorphism is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf5.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
islindf5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
islindf5.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
islindf5.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
islindf5.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
islindf5.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
islindf5.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
islindf5.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
islindf5.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
Assertion
Ref Expression
islindf5 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐡–1-1→𝐢))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑇   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘₯)

Proof of Theorem islindf5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islindf5.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
2 islindf5.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
3 islindf5.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
4 islindf5.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
5 eqid 2726 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
6 islindf5.v . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
7 eqid 2726 . . . . 5 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
8 eqid 2726 . . . . 5 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
9 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))
104, 5, 6, 7, 8, 9islindf4 21733 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
111, 2, 3, 10syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
12 oveq1 7412 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝐴) = (𝑦 ∘f Β· 𝐴))
1312oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)) = (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)))
14 islindf5.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
15 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 6992 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)))
1716adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)))
1817eqeq1d 2728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) ↔ (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡)))
19 islindf5.r . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
205lmodring 20714 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
211, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
2219, 21eqeltrd 2827 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 islindf5.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
24 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
2523, 24frlm0 21649 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (0gβ€˜πΉ))
2622, 2, 25syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (0gβ€˜πΉ))
2719fveq2d 6889 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
2827sneqd 4635 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))})
2928xpeq2d 5699 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))
3026, 29eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜πΉ) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))
3231eqeq2d 2737 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))})))
3318, 32imbi12d 344 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ)) ↔ ((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
3433ralbidva 3169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
3519eqcomd 2732 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝑅)
3635oveq1d 7420 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼))
3736, 23eqtr4di 2784 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼) = 𝐹)
3837fveq2d 6889 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜πΉ))
39 islindf5.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
4038, 39eqtr4di 2784 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼)) = 𝐡)
4140raleqdv 3319 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
4234, 41bitr4d 282 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
4311, 42bitr4d 282 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ))))
4423, 39, 4, 6, 14, 1, 2, 19, 3frlmup1 21693 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
45 lmghm 20879 . . 3 (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
46 eqid 2726 . . . 4 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
4739, 4, 46, 7ghmf1 19171 . . 3 (𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇) β†’ (𝐸:𝐡–1-1→𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ))))
4844, 45, 473syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸:𝐡–1-1→𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ))))
4943, 48bitr4d 282 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐡–1-1→𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  {csn 4623   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  βŸΆwf 6533  β€“1-1β†’wf1 6534  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394   Ξ£g cgsu 17395   GrpHom cghm 19138  Ringcrg 20138  LModclmod 20706   LMHom clmhm 20867   freeLMod cfrlm 21641   LIndF clindf 21699
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-nzr 20415  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lmhm 20870  df-lbs 20923  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-uvc 21678  df-lindf 21701
This theorem is referenced by:  indlcim  21735
  Copyright terms: Public domain W3C validator