MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindf5 21787
Description: A family is independent iff the linear combinations homomorphism is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf5.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
islindf5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
islindf5.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
islindf5.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
islindf5.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
islindf5.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
islindf5.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
islindf5.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
islindf5.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
Assertion
Ref Expression
islindf5 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐡–1-1→𝐢))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑇   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘₯)

Proof of Theorem islindf5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islindf5.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
2 islindf5.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
3 islindf5.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
4 islindf5.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
5 eqid 2728 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
6 islindf5.v . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
7 eqid 2728 . . . . 5 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
8 eqid 2728 . . . . 5 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
9 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))
104, 5, 6, 7, 8, 9islindf4 21786 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
111, 2, 3, 10syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
12 oveq1 7433 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝐴) = (𝑦 ∘f Β· 𝐴))
1312oveq2d 7442 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)) = (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)))
14 islindf5.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
15 ovex 7459 . . . . . . . . 9 (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 7010 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)))
1716adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)))
1817eqeq1d 2730 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) ↔ (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡)))
19 islindf5.r . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
205lmodring 20765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
211, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
2219, 21eqeltrd 2829 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 islindf5.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
24 eqid 2728 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
2523, 24frlm0 21702 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (0gβ€˜πΉ))
2622, 2, 25syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (0gβ€˜πΉ))
2719fveq2d 6906 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
2827sneqd 4644 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))})
2928xpeq2d 5712 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))
3026, 29eqtr3d 2770 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))
3130adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜πΉ) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))
3231eqeq2d 2739 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))})))
3318, 32imbi12d 343 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ)) ↔ ((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
3433ralbidva 3173 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
3519eqcomd 2734 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝑅)
3635oveq1d 7441 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼))
3736, 23eqtr4di 2786 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼) = 𝐹)
3837fveq2d 6906 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜πΉ))
39 islindf5.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
4038, 39eqtr4di 2786 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼)) = 𝐡)
4140raleqdv 3323 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
4234, 41bitr4d 281 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
4311, 42bitr4d 281 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ))))
4423, 39, 4, 6, 14, 1, 2, 19, 3frlmup1 21746 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
45 lmghm 20930 . . 3 (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
46 eqid 2728 . . . 4 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
4739, 4, 46, 7ghmf1 19214 . . 3 (𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇) β†’ (𝐸:𝐡–1-1→𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ))))
4844, 45, 473syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸:𝐡–1-1→𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ))))
4943, 48bitr4d 281 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐡–1-1→𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {csn 4632   class class class wbr 5152   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  βŸΆwf 6549  β€“1-1β†’wf1 6550  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∘f cof 7690  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245   ·𝑠 cvsca 17246  0gc0g 17430   Ξ£g cgsu 17431   GrpHom cghm 19181  Ringcrg 20187  LModclmod 20757   LMHom clmhm 20918   freeLMod cfrlm 21694   LIndF clindf 21752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-fsupp 9396  df-sup 9475  df-oi 9543  df-card 9972  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-fzo 13670  df-seq 14009  df-hash 14332  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-gsum 17433  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19038  df-subg 19092  df-ghm 19182  df-cntz 19282  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-nzr 20466  df-subrg 20522  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lmhm 20921  df-lbs 20974  df-sra 21072  df-rgmod 21073  df-dsmm 21680  df-frlm 21695  df-uvc 21731  df-lindf 21754
This theorem is referenced by:  indlcim  21788
  Copyright terms: Public domain W3C validator