Theorem islindf5 21946

Description: A family is independent iff the linear combinations homomorphism is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf5.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
islindf5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
islindf5.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
islindf5.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
islindf5.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
islindf5.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
islindf5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
islindf5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
islindf5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
islindf5	⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem islindf5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islindf5.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
2		islindf5.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
3		islindf5.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
4		islindf5.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
5		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6		islindf5.v	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
7		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
8		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
9		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	islindf4 21945	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1394	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
12		oveq1 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∘f · 𝐴) = (𝑦 ∘f · 𝐴))
13	12	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
14		islindf5.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
15		ovex 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
17	16	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
18	17	eqeq1d 2767	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) ↔ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇)))
19		islindf5.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
20	5	lmodring 20955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
21	1, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
22	19, 21	eqeltrd 2865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23		islindf5.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
24		eqid 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	23, 24	frlm0 21861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝐹))
26	22, 2, 25	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝐹))
27	19	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
28	27	sneqd 4597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘𝑇))})
29	28	xpeq2d 5681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
30	26, 29	eqtr3d 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
31	30	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐹) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
32	31	eqeq2d 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (0g‘𝐹) ↔ 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))})))
33	18, 32	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
34	33	ralbidva 3186	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
35	19	eqcomd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = 𝑅)
36	35	oveq1d 7415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼))
37	36, 23	eqtr4di 2818	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼) = 𝐹)
38	37	fveq2d 6875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = (Base‘𝐹))
39		islindf5.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
40	38, 39	eqtr4di 2818	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = 𝐵)
41	40	raleqdv 3323	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
42	34, 41	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
43	11, 42	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
44	23, 39, 4, 6, 14, 1, 2, 19, 3	frlmup1 21905	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
45		lmghm 21118	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) → 𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
46		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
47	39, 4, 46, 7	ghmf1 19304	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇) → (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
48	44, 45, 47	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
49	43, 48	bitr4d 285	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5185   × cxp 5649  ⟶wf 6521  –1-1→wf1 6522  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∘_f cof 7662  Basecbs 17257  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17480   Σ_g cgsu 17481   GrpHom cghm 19271  Ringcrg 20303  LModclmod 20947   LMHom clmhm 21106   freeLMod cfrlm 21853   LIndF clindf 21911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-ring 20305  df-nzr 20584  df-subrg 20643  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-lmhm 21109  df-lbs 21162  df-sra 21260  df-rgmod 21261  df-dsmm 21839  df-frlm 21854  df-uvc 21890  df-lindf 21913

This theorem is referenced by:  indlcim  21947