Theorem islindf5 21755

Description: A family is independent iff the linear combinations homomorphism is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf5.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
islindf5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
islindf5.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
islindf5.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
islindf5.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
islindf5.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
islindf5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
islindf5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
islindf5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
islindf5	⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem islindf5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islindf5.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
2		islindf5.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
3		islindf5.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
4		islindf5.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
5		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6		islindf5.v	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
8		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	islindf4 21754	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
12		oveq1 7397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∘f · 𝐴) = (𝑦 ∘f · 𝐴))
13	12	oveq2d 7406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
14		islindf5.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
15		ovex 7423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
18	17	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) ↔ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇)))
19		islindf5.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
20	5	lmodring 20781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
22	19, 21	eqeltrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23		islindf5.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
24		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	23, 24	frlm0 21670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝐹))
26	22, 2, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝐹))
27	19	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
28	27	sneqd 4604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘𝑇))})
29	28	xpeq2d 5671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
30	26, 29	eqtr3d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐹) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
32	31	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (0g‘𝐹) ↔ 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))})))
33	18, 32	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
34	33	ralbidva 3155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
35	19	eqcomd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = 𝑅)
36	35	oveq1d 7405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼))
37	36, 23	eqtr4di 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼) = 𝐹)
38	37	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = (Base‘𝐹))
39		islindf5.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
40	38, 39	eqtr4di 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = 𝐵)
41	40	raleqdv 3301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
42	34, 41	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
43	11, 42	bitr4d 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
44	23, 39, 4, 6, 14, 1, 2, 19, 3	frlmup1 21714	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
45		lmghm 20945	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) → 𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
46		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
47	39, 4, 46, 7	ghmf1 19185	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇) → (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
48	44, 45, 47	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
49	43, 48	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  {csn 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639  ⟶wf 6510  –1-1→wf1 6511  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  Basecbs 17186  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410   GrpHom cghm 19151  Ringcrg 20149  LModclmod 20773   LMHom clmhm 20933   freeLMod cfrlm 21662   LIndF clindf 21720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-nzr 20429  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-lmhm 20936  df-lbs 20989  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-dsmm 21648  df-frlm 21663  df-uvc 21699  df-lindf 21722

This theorem is referenced by:  indlcim  21756