MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islindf5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islindf5 21261
Description: A family is independent iff the linear combinations homomorphism is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islindf5.f 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
islindf5.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
islindf5.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
islindf5.v Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
islindf5.e 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
islindf5.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
islindf5.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
islindf5.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
islindf5.a (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
Assertion
Ref Expression
islindf5 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐡–1-1→𝐢))
Distinct variable groups:   πœ‘,π‘₯   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑇   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hint:   𝐸(π‘₯)

Proof of Theorem islindf5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islindf5.t . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ LMod)
2 islindf5.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑋)
3 islindf5.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:𝐼⟢𝐢)
4 islindf5.c . . . . 5 𝐢 = (Baseβ€˜π‘‡)
5 eqid 2733 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘‡) = (Scalarβ€˜π‘‡)
6 islindf5.v . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘‡)
7 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜π‘‡) = (0gβ€˜π‘‡)
8 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))
9 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))
104, 5, 6, 7, 8, 9islindf4 21260 . . . 4 ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟢𝐢) β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
111, 2, 3, 10syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
12 oveq1 7365 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∘f Β· 𝐴) = (𝑦 ∘f Β· 𝐴))
1312oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)) = (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)))
14 islindf5.e . . . . . . . . 9 𝐸 = (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (𝑇 Ξ£g (π‘₯ ∘f Β· 𝐴)))
15 ovex 7391 . . . . . . . . 9 (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) ∈ V
1613, 14, 15fvmpt 6949 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐡 β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)))
1716adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (πΈβ€˜π‘¦) = (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)))
1817eqeq1d 2735 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) ↔ (𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡)))
19 islindf5.r . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘‡))
205lmodring 20344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
211, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) ∈ Ring)
2219, 21eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23 islindf5.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
24 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
2523, 24frlm0 21176 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (0gβ€˜πΉ))
2622, 2, 25syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (0gβ€˜πΉ))
2719fveq2d 6847 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡)))
2827sneqd 4599 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))})
2928xpeq2d 5664 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))
3026, 29eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΉ) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))
3130adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜πΉ) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))
3231eqeq2d 2744 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (𝑦 = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))})))
3318, 32imbi12d 345 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ)) ↔ ((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
3433ralbidva 3169 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
3519eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘‡) = 𝑅)
3635oveq1d 7373 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼))
3736, 23eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼) = 𝐹)
3837fveq2d 6847 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜πΉ))
39 islindf5.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
4038, 39eqtr4di 2791 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼)) = 𝐡)
4140raleqdv 3312 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))})) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
4234, 41bitr4d 282 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ)) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘‡) freeLMod 𝐼))((𝑇 Ξ£g (𝑦 ∘f Β· 𝐴)) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘‡))}))))
4311, 42bitr4d 282 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ))))
4423, 39, 4, 6, 14, 1, 2, 19, 3frlmup1 21220 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
45 lmghm 20507 . . 3 (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) β†’ 𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
46 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
4739, 4, 46, 7ghmf1 19042 . . 3 (𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇) β†’ (𝐸:𝐡–1-1→𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ))))
4844, 45, 473syl 18 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐸:𝐡–1-1→𝐢 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 ((πΈβ€˜π‘¦) = (0gβ€˜π‘‡) β†’ 𝑦 = (0gβ€˜πΉ))))
4943, 48bitr4d 282 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐡–1-1→𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  βŸΆwf 6493  β€“1-1β†’wf1 6494  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327   GrpHom cghm 19010  Ringcrg 19969  LModclmod 20336   LMHom clmhm 20495   freeLMod cfrlm 21168   LIndF clindf 21226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lmhm 20498  df-lbs 20551  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-nzr 20744  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205  df-lindf 21228
This theorem is referenced by:  indlcim  21262
  Copyright terms: Public domain W3C validator