Theorem islindf5 21829

Description: A family is independent iff the linear combinations homomorphism is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf5.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
islindf5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
islindf5.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
islindf5.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
islindf5.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
islindf5.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
islindf5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
islindf5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
islindf5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
islindf5	⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem islindf5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islindf5.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
2		islindf5.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
3		islindf5.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
4		islindf5.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6		islindf5.v	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	islindf4 21828	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
12		oveq1 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∘f · 𝐴) = (𝑦 ∘f · 𝐴))
13	12	oveq2d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
14		islindf5.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
15		ovex 7393	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6941	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
18	17	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) ↔ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇)))
19		islindf5.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
20	5	lmodring 20854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
22	19, 21	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23		islindf5.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
24		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	23, 24	frlm0 21744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝐹))
26	22, 2, 25	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝐹))
27	19	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
28	27	sneqd 4580	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘𝑇))})
29	28	xpeq2d 5654	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
30	26, 29	eqtr3d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐹) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
32	31	eqeq2d 2748	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (0g‘𝐹) ↔ 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))})))
33	18, 32	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
34	33	ralbidva 3159	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
35	19	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = 𝑅)
36	35	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼))
37	36, 23	eqtr4di 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼) = 𝐹)
38	37	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = (Base‘𝐹))
39		islindf5.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
40	38, 39	eqtr4di 2790	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = 𝐵)
41	40	raleqdv 3296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
42	34, 41	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
43	11, 42	bitr4d 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
44	23, 39, 4, 6, 14, 1, 2, 19, 3	frlmup1 21788	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
45		lmghm 21018	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) → 𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
46		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
47	39, 4, 46, 7	ghmf1 19212	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇) → (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
48	44, 45, 47	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
49	43, 48	bitr4d 282	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  {csn 4568   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167   × cxp 5622  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394   GrpHom cghm 19178  Ringcrg 20205  LModclmod 20846   LMHom clmhm 21006   freeLMod cfrlm 21736   LIndF clindf 21794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-nzr 20481  df-subrg 20538  df-lmod 20848  df-lss 20918  df-lsp 20958  df-lmhm 21009  df-lbs 21062  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-uvc 21773  df-lindf 21796

This theorem is referenced by:  indlcim  21830