Theorem islindf5 21046

Description: A family is independent iff the linear combinations homomorphism is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf5.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
islindf5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
islindf5.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
islindf5.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
islindf5.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
islindf5.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
islindf5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
islindf5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
islindf5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
islindf5	⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem islindf5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islindf5.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
2		islindf5.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
3		islindf5.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
4		islindf5.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6		islindf5.v	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	islindf4 21045	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
12		oveq1 7282	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∘f · 𝐴) = (𝑦 ∘f · 𝐴))
13	12	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
14		islindf5.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
15		ovex 7308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
17	16	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
18	17	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) ↔ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇)))
19		islindf5.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
20	5	lmodring 20131	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
22	19, 21	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23		islindf5.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
24		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	23, 24	frlm0 20961	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝐹))
26	22, 2, 25	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝐹))
27	19	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
28	27	sneqd 4573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘𝑇))})
29	28	xpeq2d 5619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
30	26, 29	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
31	30	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐹) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
32	31	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (0g‘𝐹) ↔ 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))})))
33	18, 32	imbi12d 345	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
34	33	ralbidva 3111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
35	19	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = 𝑅)
36	35	oveq1d 7290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼))
37	36, 23	eqtr4di 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼) = 𝐹)
38	37	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = (Base‘𝐹))
39		islindf5.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
40	38, 39	eqtr4di 2796	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = 𝐵)
41	40	raleqdv 3348	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
42	34, 41	bitr4d 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
43	11, 42	bitr4d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
44	23, 39, 4, 6, 14, 1, 2, 19, 3	frlmup1 21005	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
45		lmghm 20293	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) → 𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
46		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
47	39, 4, 46, 7	ghmf1 18863	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇) → (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
48	44, 45, 47	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
49	43, 48	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  {csn 4561   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ⟶wf 6429  –1-1→wf1 6430  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∘_f cof 7531  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  0_gc0g 17150   Σ_g cgsu 17151   GrpHom cghm 18831  Ringcrg 19783  LModclmod 20123   LMHom clmhm 20281   freeLMod cfrlm 20953   LIndF clindf 21011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-mhm 18430  df-submnd 18431  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-subg 18752  df-ghm 18832  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-abl 19389  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-subrg 20022  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234  df-lmhm 20284  df-lbs 20337  df-sra 20434  df-rgmod 20435  df-nzr 20529  df-dsmm 20939  df-frlm 20954  df-uvc 20990  df-lindf 21013

This theorem is referenced by:  indlcim  21047