Theorem islindf5 20956

Description: A family is independent iff the linear combinations homomorphism is injective. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindf5.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
islindf5.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
islindf5.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
islindf5.v	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
islindf5.e	⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
islindf5.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
islindf5.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
islindf5.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
islindf5.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)

Assertion

Ref	Expression
islindf5	⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑇   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem islindf5

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islindf5.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ LMod)
2		islindf5.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑋)
3		islindf5.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝐼⟶𝐶)
4		islindf5.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
6		islindf5.v	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑇)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑇) = (0g‘𝑇)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (0g‘(Scalar‘𝑇)) = (0g‘(Scalar‘𝑇))
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	islindf4 20955	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴:𝐼⟶𝐶) → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
11	1, 2, 3, 10	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
12		oveq1 7262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∘f · 𝐴) = (𝑦 ∘f · 𝐴))
13	12	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
14		islindf5.e	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑇 Σg (𝑥 ∘f · 𝐴)))
15		ovex 7288	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) ∈ V
16	13, 14, 15	fvmpt 6857	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
17	16	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐸‘𝑦) = (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)))
18	17	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) ↔ (𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇)))
19		islindf5.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑇))
20	5	lmodring 20046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑇 ∈ LMod → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
21	1, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) ∈ Ring)
22	19, 21	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
23		islindf5.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
24		eqid 2738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
25	23, 24	frlm0 20871	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑋) → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝐹))
26	22, 2, 25	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (0g‘𝐹))
27	19	fveq2d 6760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) = (0g‘(Scalar‘𝑇)))
28	27	sneqd 4570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → {(0g‘𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘𝑇))})
29	28	xpeq2d 5610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {(0g‘𝑅)}) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
30	26, 29	eqtr3d 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
31	30	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐹) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))
32	31	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑦 = (0g‘𝐹) ↔ 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))})))
33	18, 32	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
34	33	ralbidva 3119	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
35	19	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑇) = 𝑅)
36	35	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼))
37	36, 23	eqtr4di 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼) = 𝐹)
38	37	fveq2d 6760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = (Base‘𝐹))
39		islindf5.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
40	38, 39	eqtr4di 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼)) = 𝐵)
41	40	raleqdv 3339	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))})) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
42	34, 41	bitr4d 281	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹)) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑇) freeLMod 𝐼))((𝑇 Σg (𝑦 ∘f · 𝐴)) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘𝑇))}))))
43	11, 42	bitr4d 281	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
44	23, 39, 4, 6, 14, 1, 2, 19, 3	frlmup1 20915	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇))
45		lmghm 20208	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 LMHom 𝑇) → 𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇))
46		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
47	39, 4, 46, 7	ghmf1 18778	. . 3 ⊢ (𝐸 ∈ (𝐹 GrpHom 𝑇) → (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
48	44, 45, 47	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸:𝐵–1-1→𝐶 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ((𝐸‘𝑦) = (0g‘𝑇) → 𝑦 = (0g‘𝐹))))
49	43, 48	bitr4d 281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 LIndF 𝑇 ↔ 𝐸:𝐵–1-1→𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ⟶wf 6414  –1-1→wf1 6415  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∘_f cof 7509  Basecbs 16840  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  0_gc0g 17067   Σ_g cgsu 17068   GrpHom cghm 18746  Ringcrg 19698  LModclmod 20038   LMHom clmhm 20196   freeLMod cfrlm 20863   LIndF clindf 20921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-hash 13973  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-prds 17075  df-pws 17077  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mhm 18345  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mulg 18616  df-subg 18667  df-ghm 18747  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-subrg 19937  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lmhm 20199  df-lbs 20252  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-nzr 20442  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-uvc 20900  df-lindf 20923

This theorem is referenced by:  indlcim  20957