MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcom2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcom2 19523
Description: Subgroup sum commutes. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmsubg.p โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
lsmsubg.z ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
lsmcom2 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡))

Proof of Theorem lsmcom2
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘ฅ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1139 . . . . . . . . 9 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
21sselda 3983 . . . . . . . 8 (((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
32adantrr 716 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ))
4 simprr 772 . . . . . . 7 (((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
6 lsmsubg.z . . . . . . . 8 ๐‘ = (Cntzโ€˜๐บ)
75, 6cntzi 19193 . . . . . . 7 ((๐‘Ž โˆˆ (๐‘โ€˜๐‘ˆ) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐บ)๐‘) = (๐‘(+gโ€˜๐บ)๐‘Ž))
83, 4, 7syl2anc 585 . . . . . 6 (((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘Ž(+gโ€˜๐บ)๐‘) = (๐‘(+gโ€˜๐บ)๐‘Ž))
98eqeq2d 2744 . . . . 5 (((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โˆง (๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ โˆง ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘Ž(+gโ€˜๐บ)๐‘) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘(+gโ€˜๐บ)๐‘Ž)))
1092rexbidva 3218 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ฅ = (๐‘Ž(+gโ€˜๐บ)๐‘) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ฅ = (๐‘(+gโ€˜๐บ)๐‘Ž)))
11 rexcom 3288 . . . 4 (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ฅ = (๐‘(+gโ€˜๐บ)๐‘Ž) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ฅ = (๐‘(+gโ€˜๐บ)๐‘Ž))
1210, 11bitrdi 287 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ฅ = (๐‘Ž(+gโ€˜๐บ)๐‘) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ฅ = (๐‘(+gโ€˜๐บ)๐‘Ž)))
13 lsmsubg.p . . . . 5 โŠ• = (LSSumโ€˜๐บ)
145, 13lsmelval 19517 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ฅ = (๐‘Ž(+gโ€˜๐บ)๐‘)))
15143adant3 1133 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โ†” โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ ๐‘ฅ = (๐‘Ž(+gโ€˜๐บ)๐‘)))
165, 13lsmelval 19517 . . . . 5 ((๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ฅ = (๐‘(+gโ€˜๐บ)๐‘Ž)))
1716ancoms 460 . . . 4 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ฅ = (๐‘(+gโ€˜๐บ)๐‘Ž)))
18173adant3 1133 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡) โ†” โˆƒ๐‘ โˆˆ ๐‘ˆ โˆƒ๐‘Ž โˆˆ ๐‘‡ ๐‘ฅ = (๐‘(+gโ€˜๐บ)๐‘Ž)))
1912, 15, 183bitr4d 311 . 2 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) โ†” ๐‘ฅ โˆˆ (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡)))
2019eqrdv 2731 1 ((๐‘‡ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (SubGrpโ€˜๐บ) โˆง ๐‘‡ โŠ† (๐‘โ€˜๐‘ˆ)) โ†’ (๐‘‡ โŠ• ๐‘ˆ) = (๐‘ˆ โŠ• ๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071   โŠ† wss 3949  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  +gcplusg 17197  SubGrpcsubg 19000  Cntzccntz 19179  LSSumclsm 19502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504
This theorem is referenced by:  lsmdisj3  19551  lsmdisj3r  19554  lsmdisj3a  19557  lsmdisj3b  19558  pj2f  19566  pj1id  19567
  Copyright terms: Public domain W3C validator