Theorem lsmdisj3a 19658

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisj3b.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
lsmdisj3a.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj3a	⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmcntz.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmdisj3a.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
4		lsmcntz.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5		lsmdisj3b.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	4, 5	lsmcom2 19624	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
8	7	ineq1d 4160	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈))
9	8	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 }))
10		incom 4150	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑆)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑆))
12	11	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ↔ (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 }))
13	9, 12	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ (((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 })))
14		lsmcntz.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		lsmdisj.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	4, 2, 1, 14, 15	lsmdisj2a 19656	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))
17	13, 16	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  0_gc0g 17396  SubGrpcsubg 19090  Cntzccntz 19284  LSSumclsm 19603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-subg 19093  df-cntz 19286  df-lsm 19605

This theorem is referenced by: (None)