Theorem lsmdisj3a 19568

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisj3b.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
lsmdisj3a.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj3a	⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmcntz.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmdisj3a.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
4		lsmcntz.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5		lsmdisj3b.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	4, 5	lsmcom2 19534	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
8	7	ineq1d 4170	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈))
9	8	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 }))
10		incom 4160	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑆)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑆))
12	11	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ↔ (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 }))
13	9, 12	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ (((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 })))
14		lsmcntz.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		lsmdisj.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	4, 2, 1, 14, 15	lsmdisj2a 19566	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))
17	13, 16	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  {csn 4577  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0_gc0g 17343  SubGrpcsubg 18999  Cntzccntz 19194  LSSumclsm 19513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-nn 12129  df-2 12191  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-grp 18815  df-minusg 18816  df-subg 19002  df-cntz 19196  df-lsm 19515

This theorem is referenced by: (None)