Theorem lsmdisj3a 19626

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisj3b.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
lsmdisj3a.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj3a	⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Proof of Theorem lsmdisj3a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2		lsmcntz.t	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmdisj3a.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
4		lsmcntz.p	. . . . . . 7 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
5		lsmdisj3b.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
6	4, 5	lsmcom2 19592	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
8	7	ineq1d 4185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈))
9	8	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 }))
10		incom 4175	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑆)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = (𝑇 ∩ 𝑆))
12	11	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 } ↔ (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 }))
13	9, 12	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ (((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 })))
14		lsmcntz.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15		lsmdisj.o	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
16	4, 2, 1, 14, 15	lsmdisj2a 19624	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))
17	13, 16	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 } ∧ (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 }) ↔ ((𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 } ∧ (𝑇 ∩ 𝑈) = { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  {csn 4592  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0_gc0g 17409  SubGrpcsubg 19059  Cntzccntz 19254  LSSumclsm 19571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-cntz 19256  df-lsm 19573

This theorem is referenced by: (None)