![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > lsmdisj3a | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
lsmcntz.p | โข โ = (LSSumโ๐บ) |
lsmcntz.s | โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) |
lsmcntz.t | โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) |
lsmcntz.u | โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) |
lsmdisj.o | โข 0 = (0gโ๐บ) |
lsmdisj3b.z | โข ๐ = (Cntzโ๐บ) |
lsmdisj3a.2 | โข (๐ โ ๐ โ (๐โ๐)) |
Ref | Expression |
---|---|
lsmdisj3a | โข (๐ โ ((((๐ โ ๐) โฉ ๐) = { 0 } โง (๐ โฉ ๐) = { 0 }) โ ((๐ โฉ (๐ โ ๐)) = { 0 } โง (๐ โฉ ๐) = { 0 }))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | lsmcntz.s | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) | |
2 | lsmcntz.t | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) | |
3 | lsmdisj3a.2 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ (๐โ๐)) | |
4 | lsmcntz.p | . . . . . . 7 โข โ = (LSSumโ๐บ) | |
5 | lsmdisj3b.z | . . . . . . 7 โข ๐ = (Cntzโ๐บ) | |
6 | 4, 5 | lsmcom2 19442 | . . . . . 6 โข ((๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ โ (SubGrpโ๐บ) โง ๐ โ (๐โ๐)) โ (๐ โ ๐) = (๐ โ ๐)) |
7 | 1, 2, 3, 6 | syl3anc 1372 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ โ ๐) = (๐ โ ๐)) |
8 | 7 | ineq1d 4172 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ โ ๐) โฉ ๐) = ((๐ โ ๐) โฉ ๐)) |
9 | 8 | eqeq1d 2735 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ โ ๐) โฉ ๐) = { 0 } โ ((๐ โ ๐) โฉ ๐) = { 0 })) |
10 | incom 4162 | . . . . 5 โข (๐ โฉ ๐) = (๐ โฉ ๐) | |
11 | 10 | a1i 11 | . . . 4 โข (๐ โ (๐ โฉ ๐) = (๐ โฉ ๐)) |
12 | 11 | eqeq1d 2735 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ โฉ ๐) = { 0 } โ (๐ โฉ ๐) = { 0 })) |
13 | 9, 12 | anbi12d 632 | . 2 โข (๐ โ ((((๐ โ ๐) โฉ ๐) = { 0 } โง (๐ โฉ ๐) = { 0 }) โ (((๐ โ ๐) โฉ ๐) = { 0 } โง (๐ โฉ ๐) = { 0 }))) |
14 | lsmcntz.u | . . 3 โข (๐ โ ๐ โ (SubGrpโ๐บ)) | |
15 | lsmdisj.o | . . 3 โข 0 = (0gโ๐บ) | |
16 | 4, 2, 1, 14, 15 | lsmdisj2a 19474 | . 2 โข (๐ โ ((((๐ โ ๐) โฉ ๐) = { 0 } โง (๐ โฉ ๐) = { 0 }) โ ((๐ โฉ (๐ โ ๐)) = { 0 } โง (๐ โฉ ๐) = { 0 }))) |
17 | 13, 16 | bitrd 279 | 1 โข (๐ โ ((((๐ โ ๐) โฉ ๐) = { 0 } โง (๐ โฉ ๐) = { 0 }) โ ((๐ โฉ (๐ โ ๐)) = { 0 } โง (๐ โฉ ๐) = { 0 }))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โฉ cin 3910 โ wss 3911 {csn 4587 โcfv 6497 (class class class)co 7358 0gc0g 17326 SubGrpcsubg 18927 Cntzccntz 19100 LSSumclsm 19421 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5243 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11112 ax-resscn 11113 ax-1cn 11114 ax-icn 11115 ax-addcl 11116 ax-addrcl 11117 ax-mulcl 11118 ax-mulrcl 11119 ax-mulcom 11120 ax-addass 11121 ax-mulass 11122 ax-distr 11123 ax-i2m1 11124 ax-1ne0 11125 ax-1rid 11126 ax-rnegex 11127 ax-rrecex 11128 ax-cnre 11129 ax-pre-lttri 11130 ax-pre-lttrn 11131 ax-pre-ltadd 11132 ax-pre-mulgt0 11133 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3446 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8651 df-en 8887 df-dom 8888 df-sdom 8889 df-pnf 11196 df-mnf 11197 df-xr 11198 df-ltxr 11199 df-le 11200 df-sub 11392 df-neg 11393 df-nn 12159 df-2 12221 df-sets 17041 df-slot 17059 df-ndx 17071 df-base 17089 df-ress 17118 df-plusg 17151 df-0g 17328 df-mgm 18502 df-sgrp 18551 df-mnd 18562 df-submnd 18607 df-grp 18756 df-minusg 18757 df-subg 18930 df-cntz 19102 df-lsm 19423 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |