Theorem lsmdisj3 19603

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisj.i	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
lsmdisj2.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
lsmdisj3.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
lsmdisj3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj3	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
2		lsmcntz.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcntz.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmdisj.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		lsmdisj3.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
7		lsmdisj3.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
8	1, 7	lsmcom2 19575	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
9	3, 2, 6, 8	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
10	9	ineq1d 4206	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈))
11		lsmdisj.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
12	10, 11	eqtr3d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 })
13		incom 4196	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝑇)
14		lsmdisj2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
15	13, 14	eqtrid 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 })
16	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15	lsmdisj2 19602	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  {csn 4623  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  0_gc0g 17394  SubGrpcsubg 19047  Cntzccntz 19231  LSSumclsm 19554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-cntz 19233  df-lsm 19556

This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2lem  19967