Theorem lsmdisj3 19902

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisj.i	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
lsmdisj2.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
lsmdisj3.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
lsmdisj3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj3	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
2		lsmcntz.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcntz.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmdisj.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		lsmdisj3.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
7		lsmdisj3.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
8	1, 7	lsmcom2 19874	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
9	3, 2, 6, 8	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
10	9	ineq1d 4116	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈))
11		lsmdisj.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
12	10, 11	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 })
13		incom 4106	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝑇)
14		lsmdisj2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
15	13, 14	eqtrid 2807	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 })
16	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15	lsmdisj2 19901	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895   ∩ cin 4089  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0_gc0g 17615  SubGrpcsubg 19335  Cntzccntz 19534  LSSumclsm 19853

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-0g 17617  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-subg 19338  df-cntz 19536  df-lsm 19855

This theorem is used by:  dmdprdsplit2lem  20266