Theorem lsmdisj3 19652

Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsmcntz.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
lsmdisj.i	⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
lsmdisj2.i	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
lsmdisj3.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
lsmdisj3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
lsmdisj3	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsmcntz.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
2		lsmcntz.t	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		lsmcntz.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4		lsmcntz.u	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		lsmdisj.o	. 2 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6		lsmdisj3.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
7		lsmdisj3.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
8	1, 7	lsmcom2 19624	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
9	3, 2, 6, 8	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ⊕ 𝑇) = (𝑇 ⊕ 𝑆))
10	9	ineq1d 4213	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈))
11		lsmdisj.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 ⊕ 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
12	10, 11	eqtr3d 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑇 ⊕ 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 })
13		incom 4203	. . 3 ⊢ (𝑇 ∩ 𝑆) = (𝑆 ∩ 𝑇)
14		lsmdisj2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ 𝑇) = { 0 })
15	13, 14	eqtrid 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∩ 𝑆) = { 0 })
16	1, 2, 3, 4, 5, 12, 15	lsmdisj2 19651	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 ⊕ 𝑈)) = { 0 })

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  {csn 4632  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  0_gc0g 17430  SubGrpcsubg 19089  Cntzccntz 19280  LSSumclsm 19603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-lsm 19605

This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2lem  20016