MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj3 19701
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
lsmdisj.i (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
lsmdisj2.i (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
lsmdisj3.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
lsmdisj3.s (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑇))
Assertion
Ref Expression
lsmdisj3 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj3
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.p . 2 = (LSSum‘𝐺)
2 lsmcntz.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 lsmcntz.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 lsmcntz.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 lsmdisj.o . 2 0 = (0g𝐺)
6 lsmdisj3.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ⊆ (𝑍𝑇))
7 lsmdisj3.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
81, 7lsmcom2 19673 . . . . 5 ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍𝑇)) → (𝑆 𝑇) = (𝑇 𝑆))
93, 2, 6, 8syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 𝑇) = (𝑇 𝑆))
109ineq1d 4219 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = ((𝑇 𝑆) ∩ 𝑈))
11 lsmdisj.i . . 3 (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
1210, 11eqtr3d 2779 . 2 (𝜑 → ((𝑇 𝑆) ∩ 𝑈) = { 0 })
13 incom 4209 . . 3 (𝑇𝑆) = (𝑆𝑇)
14 lsmdisj2.i . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑇) = { 0 })
1513, 14eqtrid 2789 . 2 (𝜑 → (𝑇𝑆) = { 0 })
161, 2, 3, 4, 5, 12, 15lsmdisj2 19700 1 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  wss 3951  {csn 4626  cfv 6561  (class class class)co 7431  0gc0g 17484  SubGrpcsubg 19138  Cntzccntz 19333  LSSumclsm 19652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-lsm 19654
This theorem is referenced by:  dmdprdsplit2lem  20065
  Copyright terms: Public domain W3C validator