MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmdisj3r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmdisj3r 19602
Description: Association of the disjointness constraint in a subgroup sum. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcntz.p = (LSSum‘𝐺)
lsmcntz.s (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.t (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmcntz.u (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
lsmdisj.o 0 = (0g𝐺)
lsmdisjr.i (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
lsmdisj2r.i (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
lsmdisj3r.z 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
lsmdisj3r.s (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
Assertion
Ref Expression
lsmdisj3r (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })

Proof of Theorem lsmdisj3r
StepHypRef Expression
1 lsmcntz.p . 2 = (LSSum‘𝐺)
2 lsmcntz.s . 2 (𝜑𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3 lsmcntz.u . 2 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 lsmcntz.t . 2 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 lsmdisj.o . 2 0 = (0g𝐺)
6 lsmdisj3r.s . . . . 5 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑍𝑈))
7 lsmdisj3r.z . . . . . 6 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
81, 7lsmcom2 19571 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍𝑈)) → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
94, 3, 6, 8syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝑇 𝑈) = (𝑈 𝑇))
109ineq2d 4212 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = (𝑆 ∩ (𝑈 𝑇)))
11 lsmdisjr.i . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑇 𝑈)) = { 0 })
1210, 11eqtr3d 2773 . 2 (𝜑 → (𝑆 ∩ (𝑈 𝑇)) = { 0 })
13 incom 4201 . . 3 (𝑈𝑇) = (𝑇𝑈)
14 lsmdisj2r.i . . 3 (𝜑 → (𝑇𝑈) = { 0 })
1513, 14eqtrid 2783 . 2 (𝜑 → (𝑈𝑇) = { 0 })
161, 2, 3, 4, 5, 12, 15lsmdisj2r 19601 1 (𝜑 → ((𝑆 𝑇) ∩ 𝑈) = { 0 })
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  cin 3947  wss 3948  {csn 4628  cfv 6543  (class class class)co 7412  0gc0g 17392  SubGrpcsubg 19043  Cntzccntz 19227  LSSumclsm 19550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19552
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator