Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1138 |
. . . 4
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
2 | | subgsubm 18565 |
. . . 4
⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺)) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺)) |
4 | | simp2 1139 |
. . . 4
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
5 | | subgsubm 18565 |
. . . 4
⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) |
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) |
7 | | simp3 1140 |
. . 3
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) |
8 | | lsmsubg.p |
. . . 4
⊢ ⊕ =
(LSSum‘𝐺) |
9 | | lsmsubg.z |
. . . 4
⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺) |
10 | 8, 9 | lsmsubm 19042 |
. . 3
⊢ ((𝑇 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubMnd‘𝐺)) |
11 | 3, 6, 7, 10 | syl3anc 1373 |
. 2
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubMnd‘𝐺)) |
12 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
⊢
(+g‘𝐺) = (+g‘𝐺) |
13 | 12, 8 | lsmelval 19038 |
. . . . 5
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑇 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))) |
14 | 13 | 3adant3 1134 |
. . . 4
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑇 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏))) |
15 | 1 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
16 | | subgrcl 18548 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp) |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp) |
18 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(Base‘𝐺) =
(Base‘𝐺) |
19 | 18 | subgss 18544 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) |
20 | 15, 19 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)) |
21 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑇) |
22 | 20, 21 | sseldd 3902 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘𝐺)) |
23 | 4 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) |
24 | 18 | subgss 18544 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) |
26 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈) |
27 | 25, 26 | sseldd 3902 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) |
28 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(invg‘𝐺) = (invg‘𝐺) |
29 | 18, 12, 28 | grpinvadd 18441 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐺)) → ((invg‘𝐺)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = (((invg‘𝐺)‘𝑏)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑎))) |
30 | 17, 22, 27, 29 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = (((invg‘𝐺)‘𝑏)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑎))) |
31 | 7 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) |
32 | 28 | subginvcl 18552 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑎 ∈ 𝑇) → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑇) |
33 | 15, 21, 32 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑇) |
34 | 31, 33 | sseldd 3902 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ (𝑍‘𝑈)) |
35 | 28 | subginvcl 18552 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑏) ∈ 𝑈) |
36 | 23, 26, 35 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘𝑏) ∈ 𝑈) |
37 | 12, 9 | cntzi 18723 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ (𝑍‘𝑈) ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑏) ∈ 𝑈) → (((invg‘𝐺)‘𝑎)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑏)) = (((invg‘𝐺)‘𝑏)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑎))) |
38 | 34, 36, 37 | syl2anc 587 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑎)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑏)) = (((invg‘𝐺)‘𝑏)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑎))) |
39 | 30, 38 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) = (((invg‘𝐺)‘𝑎)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑏))) |
40 | 12, 8 | lsmelvali 19039 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺)) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑎) ∈ 𝑇 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑏) ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑎)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑏)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) |
41 | 15, 23, 33, 36, 40 | syl22anc 839 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (((invg‘𝐺)‘𝑎)(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘𝑏)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) |
42 | 39, 41 | eqeltrd 2838 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((invg‘𝐺)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) |
43 | | fveq2 6717 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) = ((invg‘𝐺)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏))) |
44 | 43 | eleq1d 2822 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) → (((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) ↔ ((invg‘𝐺)‘(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))) |
45 | 42, 44 | syl5ibrcom 250 |
. . . . 5
⊢ (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) ∧ (𝑎 ∈ 𝑇 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))) |
46 | 45 | rexlimdvva 3213 |
. . . 4
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → (∃𝑎 ∈ 𝑇 ∃𝑏 ∈ 𝑈 𝑥 = (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))) |
47 | 14, 46 | sylbid 243 |
. . 3
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → (𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈) → ((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈))) |
48 | 47 | ralrimiv 3104 |
. 2
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → ∀𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)) |
49 | 1, 16 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → 𝐺 ∈ Grp) |
50 | 28 | issubg3 18561 |
. . 3
⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))) |
51 | 49, 50 | syl 17 |
. 2
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ ((𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)((invg‘𝐺)‘𝑥) ∈ (𝑇 ⊕ 𝑈)))) |
52 | 11, 48, 51 | mpbir2and 713 |
1
⊢ ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑍‘𝑈)) → (𝑇 ⊕ 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝐺)) |