Theorem smndlsmidm 19674

Description: The direct product is idempotent for submonoids. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmub1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
smndlsmidm	⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem smndlsmidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6943	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom SubMnd)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	submss 18822	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		lsmub1.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
6	2, 4, 5	lsmvalx 19657	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ dom SubMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
7	1, 3, 3, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
8	4	submcl 18825	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
9	8	3expb 1121	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
10	9	ralrimivva 3202	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
11		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
12	11	fmpo 8093	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
13	10, 12	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
14	13	frnd 6744	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
15	7, 14	eqsstrd 4018	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) ⊆ 𝑈)
16	2, 5	lsmub1x 19664	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
17	3, 16	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
18	15, 17	eqssd 4001	1 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061   ⊆ wss 3951   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  SubMndcsubmnd 18795  LSSumclsm 19652

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-lsm 19654

This theorem is referenced by:  lsmidm  19681  mndlsmidm  19688