Theorem smndlsmidm 19642

Description: The direct product is idempotent for submonoids. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmub1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
smndlsmidm	⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem smndlsmidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6918	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom SubMnd)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	submss 18792	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
4		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		lsmub1.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
6	2, 4, 5	lsmvalx 19625	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ dom SubMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
7	1, 3, 3, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
8	4	submcl 18795	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
9	8	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
10	9	ralrimivva 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
11		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
12	11	fmpo 8072	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
13	10, 12	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
14	13	frnd 6719	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
15	7, 14	eqsstrd 3998	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) ⊆ 𝑈)
16	2, 5	lsmub1x 19632	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
17	3, 16	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
18	15, 17	eqssd 3981	1 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052   ⊆ wss 3931   × cxp 5657  dom cdm 5659  ran crn 5660  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∈ cmpo 7412  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  SubMndcsubmnd 18765  LSSumclsm 19620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-lsm 19622

This theorem is referenced by:  lsmidm  19649  mndlsmidm  19656