Theorem smndlsmidm 19568

Description: The direct product is idempotent for submonoids. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmub1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
smndlsmidm	⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem smndlsmidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6856	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom SubMnd)
2		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	submss 18717	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
4		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		lsmub1.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
6	2, 4, 5	lsmvalx 19551	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ dom SubMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
7	1, 3, 3, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
8	4	submcl 18720	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
9	8	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
10	9	ralrimivva 3175	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
11		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
12	11	fmpo 8000	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
13	10, 12	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
14	13	frnd 6659	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
15	7, 14	eqsstrd 3964	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) ⊆ 𝑈)
16	2, 5	lsmub1x 19558	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
17	3, 16	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
18	15, 17	eqssd 3947	1 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897   × cxp 5612  dom cdm 5614  ran crn 5615  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∈ cmpo 7348  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  SubMndcsubmnd 18690  LSSumclsm 19546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-lsm 19548

This theorem is referenced by:  lsmidm  19575  mndlsmidm  19582