MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndlsmidm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem smndlsmidm 19566
Description: The direct product is idempotent for submonoids. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
smndlsmidm (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (π‘ˆ βŠ• π‘ˆ) = π‘ˆ)
Proof of Theorem smndlsmidm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6929 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ 𝐺 ∈ dom SubMnd)
2 eqid 2731 . . . . 5 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
32submss 18727 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
4 eqid 2731 . . . . 5 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
5 lsmub1.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜πΊ)
62, 4, 5lsmvalx 19549 . . . 4 ((𝐺 ∈ dom SubMnd ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘ˆ βŠ• π‘ˆ) = ran (π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
71, 3, 3, 6syl3anc 1370 . . 3 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (π‘ˆ βŠ• π‘ˆ) = ran (π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)))
84submcl 18730 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ π‘ˆ)
983expb 1119 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ π‘ˆ)
109ralrimivva 3199 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ π‘ˆ)
11 eqid 2731 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = (π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
1211fmpo 8057 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ π‘ˆ βˆ€π‘¦ ∈ π‘ˆ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ π‘ˆ ↔ (π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)):(π‘ˆ Γ— π‘ˆ)βŸΆπ‘ˆ)
1310, 12sylib 217 . . . 4 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)):(π‘ˆ Γ— π‘ˆ)βŸΆπ‘ˆ)
1413frnd 6726 . . 3 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ ran (π‘₯ ∈ π‘ˆ, 𝑦 ∈ π‘ˆ ↦ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) βŠ† π‘ˆ)
157, 14eqsstrd 4021 . 2 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (π‘ˆ βŠ• π‘ˆ) βŠ† π‘ˆ)
162, 5lsmub1x 19556 . . 3 ((π‘ˆ βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ)) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• π‘ˆ))
173, 16mpancom 685 . 2 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ π‘ˆ βŠ† (π‘ˆ βŠ• π‘ˆ))
1815, 17eqssd 4000 1 (π‘ˆ ∈ (SubMndβ€˜πΊ) β†’ (π‘ˆ βŠ• π‘ˆ) = π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060   βŠ† wss 3949   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677  ran crn 5678  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  Basecbs 17149  +gcplusg 17202  SubMndcsubmnd 18705  LSSumclsm 19544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-lsm 19546
This theorem is referenced by:  lsmidm  19573  mndlsmidm  19580
  Copyright terms: Public domain W3C validator