Theorem smndlsmidm 19176

Description: The direct product is idempotent for submonoids. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmub1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
smndlsmidm	⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem smndlsmidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6788	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom SubMnd)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	submss 18363	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		lsmub1.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
6	2, 4, 5	lsmvalx 19159	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ dom SubMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
7	1, 3, 3, 6	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
8	4	submcl 18366	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
9	8	3expb 1118	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
10	9	ralrimivva 3114	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
11		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
12	11	fmpo 7881	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
13	10, 12	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
14	13	frnd 6592	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
15	7, 14	eqsstrd 3955	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) ⊆ 𝑈)
16	2, 5	lsmub1x 19166	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
17	3, 16	mpancom 684	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
18	15, 17	eqssd 3934	1 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ⊆ wss 3883   × cxp 5578  dom cdm 5580  ran crn 5581  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ∈ cmpo 7257  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  SubMndcsubmnd 18344  LSSumclsm 19154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-lsm 19156

This theorem is referenced by:  lsmidm  19183  mndlsmidm  19191