Theorem smndlsmidm 19593

Description: The direct product is idempotent for submonoids. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
lsmub1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
smndlsmidm	⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem smndlsmidm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6898	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom SubMnd)
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
3	2	submss 18743	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5		lsmub1.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐺)
6	2, 4, 5	lsmvalx 19576	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ dom SubMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
7	1, 3, 3, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)))
8	4	submcl 18746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
9	8	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝑦 ∈ 𝑈)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
10	9	ralrimivva 3181	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
11		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) = (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
12	11	fmpo 8050	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 ∀𝑦 ∈ 𝑈 (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
13	10, 12	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
14	13	frnd 6699	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ran (𝑥 ∈ 𝑈, 𝑦 ∈ 𝑈 ↦ (𝑥(+g‘𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
15	7, 14	eqsstrd 3984	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) ⊆ 𝑈)
16	2, 5	lsmub1x 19583	. . 3 ⊢ ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
17	3, 16	mpancom 688	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (𝑈 ⊕ 𝑈))
18	15, 17	eqssd 3967	1 ⊢ (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 ⊕ 𝑈) = 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917   × cxp 5639  dom cdm 5641  ran crn 5642  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  SubMndcsubmnd 18716  LSSumclsm 19571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-lsm 19573

This theorem is referenced by:  lsmidm  19600  mndlsmidm  19607