Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  smndlsmidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smndlsmidm 18777
 Description: The direct product is idempotent for submonoids. (Contributed by AV, 27-Dec-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
lsmub1.p = (LSSum‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
smndlsmidm (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)

Proof of Theorem smndlsmidm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvdm 6678 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝐺 ∈ dom SubMnd)
2 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
32submss 17969 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺))
4 eqid 2798 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
5 lsmub1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐺)
62, 4, 5lsmvalx 18760 . . . 4 ((𝐺 ∈ dom SubMnd ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ⊆ (Base‘𝐺)) → (𝑈 𝑈) = ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
71, 3, 3, 6syl3anc 1368 . . 3 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)))
84submcl 17972 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ 𝑥𝑈𝑦𝑈) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
983expb 1117 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑥𝑈𝑦𝑈)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
109ralrimivva 3156 . . . . 5 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈)
11 eqid 2798 . . . . . 6 (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) = (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦))
1211fmpo 7751 . . . . 5 (∀𝑥𝑈𝑦𝑈 (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑈 ↔ (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
1310, 12sylib 221 . . . 4 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)):(𝑈 × 𝑈)⟶𝑈)
1413frnd 6495 . . 3 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → ran (𝑥𝑈, 𝑦𝑈 ↦ (𝑥(+g𝐺)𝑦)) ⊆ 𝑈)
157, 14eqsstrd 3953 . 2 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 𝑈) ⊆ 𝑈)
162, 5lsmub1x 18767 . . 3 ((𝑈 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ 𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺)) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑈))
173, 16mpancom 687 . 2 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → 𝑈 ⊆ (𝑈 𝑈))
1815, 17eqssd 3932 1 (𝑈 ∈ (SubMnd‘𝐺) → (𝑈 𝑈) = 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881   × cxp 5518  dom cdm 5520  ran crn 5521  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136   ∈ cmpo 7138  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  SubMndcsubmnd 17950  LSSumclsm 18755 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-lsm 18757 This theorem is referenced by:  lsmidm  18784  mndlsmidm  18792
 Copyright terms: Public domain W3C validator