MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map2xp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem map2xp 8675
Description: A cardinal power with exponent 2 is equivalent to a Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.)
Assertion
Ref Expression
map2xp (𝐴𝑉 → (𝐴m 2o) ≈ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem map2xp
StepHypRef Expression
1 df2o3 8106 . . . . 5 2o = {∅, 1o}
2 df-pr 4560 . . . . 5 {∅, 1o} = ({∅} ∪ {1o})
31, 2eqtri 2841 . . . 4 2o = ({∅} ∪ {1o})
43oveq2i 7156 . . 3 (𝐴m 2o) = (𝐴m ({∅} ∪ {1o}))
5 snex 5322 . . . . 5 {∅} ∈ V
65a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → {∅} ∈ V)
7 snex 5322 . . . . 5 {1o} ∈ V
87a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → {1o} ∈ V)
9 id 22 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴𝑉)
10 1n0 8108 . . . . . . . 8 1o ≠ ∅
1110neii 3015 . . . . . . 7 ¬ 1o = ∅
12 elsni 4574 . . . . . . 7 (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
1311, 12mto 198 . . . . . 6 ¬ 1o ∈ {∅}
14 disjsn 4639 . . . . . 6 (({∅} ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ {∅})
1513, 14mpbir 232 . . . . 5 ({∅} ∩ {1o}) = ∅
1615a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
17 mapunen 8674 . . . 4 ((({∅} ∈ V ∧ {1o} ∈ V ∧ 𝐴𝑉) ∧ ({∅} ∩ {1o}) = ∅) → (𝐴m ({∅} ∪ {1o})) ≈ ((𝐴m {∅}) × (𝐴m {1o})))
186, 8, 9, 16, 17syl31anc 1365 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴m ({∅} ∪ {1o})) ≈ ((𝐴m {∅}) × (𝐴m {1o})))
194, 18eqbrtrid 5092 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴m 2o) ≈ ((𝐴m {∅}) × (𝐴m {1o})))
20 0ex 5202 . . . . 5 ∅ ∈ V
2120a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ∈ V)
229, 21mapsnend 8576 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴m {∅}) ≈ 𝐴)
23 1oex 8099 . . . . 5 1o ∈ V
2423a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → 1o ∈ V)
259, 24mapsnend 8576 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝐴m {1o}) ≈ 𝐴)
26 xpen 8668 . . 3 (((𝐴m {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴m {1o}) ≈ 𝐴) → ((𝐴m {∅}) × (𝐴m {1o})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
2722, 25, 26syl2anc 584 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝐴m {∅}) × (𝐴m {1o})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
28 entr 8549 . 2 (((𝐴m 2o) ≈ ((𝐴m {∅}) × (𝐴m {1o})) ∧ ((𝐴m {∅}) × (𝐴m {1o})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴m 2o) ≈ (𝐴 × 𝐴))
2919, 27, 28syl2anc 584 1 (𝐴𝑉 → (𝐴m 2o) ≈ (𝐴 × 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  cun 3931  cin 3932  c0 4288  {csn 4557  {cpr 4559   class class class wbr 5057   × cxp 5546  (class class class)co 7145  1oc1o 8084  2oc2o 8085  m cmap 8395  cen 8494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-ord 6187  df-on 6188  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-1o 8091  df-2o 8092  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499
This theorem is referenced by:  pwxpndom2  10075
  Copyright terms: Public domain W3C validator