Theorem map2xp 9149

Description: A cardinal power with exponent 2 is equivalent to a Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
map2xp	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m 2o) ≈ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem map2xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df2o3 8467	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
2		df-pr 4590	. . . . 5 ⊢ {∅, 1o} = ({∅} ∪ {1o})
3	1, 2	eqtri 2785	. . . 4 ⊢ 2o = ({∅} ∪ {1o})
4	3	oveq2i 7428	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m 2o) = (𝐴 ↑m ({∅} ∪ {1o}))
5		snex 5408	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ∈ V)
7		snex 5408	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {1o} ∈ V)
9		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		1n0 8478	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ ∅
11	10	neii 2959	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1o = ∅
12		elsni 4604	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
13	11, 12	mto 200	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ∈ {∅}
14		disjsn 4675	. . . . . 6 ⊢ (({∅} ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ {∅})
15	13, 14	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∩ {1o}) = ∅
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
17		mapunen 9148	. . . 4 ⊢ ((({∅} ∈ V ∧ {1o} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ ({∅} ∩ {1o}) = ∅) → (𝐴 ↑m ({∅} ∪ {1o})) ≈ ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})))
18	6, 8, 9, 16, 17	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ({∅} ∪ {1o})) ≈ ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})))
19	4, 18	eqbrtrid 5144	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m 2o) ≈ ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})))
20		0ex 5268	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ V)
22	9, 21	mapsnend 9047	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m {∅}) ≈ 𝐴)
23		1oex 8469	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1o ∈ V)
25	9, 24	mapsnend 9047	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m {1o}) ≈ 𝐴)
26		xpen 9142	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m {1o}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
27	22, 25, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
28		entr 9016	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m 2o) ≈ ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})) ∧ ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ↑m 2o) ≈ (𝐴 × 𝐴))
29	19, 27, 28	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m 2o) ≈ (𝐴 × 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4282  {csn 4587  {cpr 4589   class class class wbr 5107   × cxp 5657  (class class class)co 7417  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453   ↑_m cmap 8830   ≈ cen 8953

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958

This theorem is used by:  pwxpndom2  10678