Theorem map2xp 9169

Description: A cardinal power with exponent 2 is equivalent to a Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.) (Proof shortened by AV, 17-Jul-2022.)

Assertion

Ref	Expression
map2xp	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m 2o) ≈ (𝐴 × 𝐴))

Proof of Theorem map2xp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df2o3 8487	. . . . 5 ⊢ 2o = {∅, 1o}
2		df-pr 4587	. . . . 5 ⊢ {∅, 1o} = ({∅} ∪ {1o})
3	1, 2	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ 2o = ({∅} ∪ {1o})
4	3	oveq2i 7431	. . 3 ⊢ (𝐴 ↑m 2o) = (𝐴 ↑m ({∅} ∪ {1o}))
5		snex 5396	. . . . 5 ⊢ {∅} ∈ V
6	5	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {∅} ∈ V)
7		snex 5396	. . . . 5 ⊢ {1o} ∈ V
8	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {1o} ∈ V)
9		id 23	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝑉)
10		1n0 8498	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ ∅
11	10	neii 2957	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1o = ∅
12		elsni 4597	. . . . . . 7 ⊢ (1o ∈ {∅} → 1o = ∅)
13	11, 12	mto 200	. . . . . 6 ⊢ ¬ 1o ∈ {∅}
14		disjsn 4668	. . . . . 6 ⊢ (({∅} ∩ {1o}) = ∅ ↔ ¬ 1o ∈ {∅})
15	13, 14	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∩ {1o}) = ∅
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
17		mapunen 9168	. . . 4 ⊢ ((({∅} ∈ V ∧ {1o} ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ ({∅} ∩ {1o}) = ∅) → (𝐴 ↑m ({∅} ∪ {1o})) ≈ ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})))
18	6, 8, 9, 16, 17	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m ({∅} ∪ {1o})) ≈ ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})))
19	4, 18	eqbrtrid 5139	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m 2o) ≈ ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})))
20		0ex 5260	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
21	20	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ V)
22	9, 21	mapsnend 9067	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m {∅}) ≈ 𝐴)
23		1oex 8489	. . . . 5 ⊢ 1o ∈ V
24	23	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 1o ∈ V)
25	9, 24	mapsnend 9067	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m {1o}) ≈ 𝐴)
26		xpen 9162	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m {∅}) ≈ 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m {1o}) ≈ 𝐴) → ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
27	22, 25, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})) ≈ (𝐴 × 𝐴))
28		entr 9036	. 2 ⊢ (((𝐴 ↑m 2o) ≈ ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})) ∧ ((𝐴 ↑m {∅}) × (𝐴 ↑m {1o})) ≈ (𝐴 × 𝐴)) → (𝐴 ↑m 2o) ≈ (𝐴 × 𝐴))
29	19, 27, 28	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ↑m 2o) ≈ (𝐴 × 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∩ cin 4089   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5102   × cxp 5648  (class class class)co 7420  1_oc1o 8472  2_oc2o 8473   ↑_m cmap 8850   ≈ cen 8973

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978

This theorem is used by:  pwxpndom2  10753