Theorem gg-cnfld1 35500

Description: One is the unity element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) Use mpocnfldmul 35490. (Revised by GG, 31-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
gg-cnfld1	⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Proof of Theorem gg-cnfld1

Dummy variables 𝑣 𝑢 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11174	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		mullid 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
3		1cnd 11216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
4	3	ancri 549	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ))
5		ovmpot 7572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = (1 · 𝑥))
6	5	eqcomd 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥))
7	4, 6	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥))
8	7	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ↔ (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥))
9	8	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1 · 𝑥) = 𝑥 → (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥))
10	2, 9	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥)
11		mulrid 11219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
12	3	ancli 548	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
13		ovmpot 7572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = (𝑥 · 1))
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = (𝑥 · 1))
15	14	eqcomd 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1))
16	15	eqeq1d 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 1) = 𝑥 ↔ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
17	16	biimpd 228	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥 · 1) = 𝑥 → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
18	11, 17	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)
19	10, 18	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
20	19	rgen 3062	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)
21	1, 20	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥))
22		cnring 21171	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
23		cnfldbas 21152	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
24		mpocnfldmul 35490	. . . . 5 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) = (.r‘ℂfld)
25		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (1r‘ℂfld) = (1r‘ℂfld)
26	23, 24, 25	isringid 20163	. . . 4 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1))
27	22, 26	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ((1(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))1) = 𝑥)) ↔ (1r‘ℂfld) = 1)
28	21, 27	mpbi 229	. 2 ⊢ (1r‘ℂfld) = 1
29	28	eqcomi 2740	1 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ℂcc 11114  1c1 11117   · cmul 11121  1_rcur 20079  Ringcrg 20131  ℂ_fldccnfld 21148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-cmn 19695  df-mgp 20033  df-ur 20080  df-ring 20133  df-cring 20134  df-cnfld 21149

This theorem is referenced by: (None)