Theorem nominmo 27916

Description: A class of surreals has at most one minimum. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nominmo	⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nominmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsso 27893	. . 3 ⊢ <s Or No
2		soss 5591	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
3	1, 2	mpi 21	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ No → <s Or 𝑆)
4		somo 5610	. 2 ⊢ ( <s Or 𝑆 → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wral 3081  ∃*wrmo 3370   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   Or wor 5570   No csur 27857   <s clts 27858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-1o 8459  df-2o 8460  df-no 27860  df-lts 27861

This theorem is used by:  noinfno  27935  noinfbday  27937  noinfbnd1  27946  noinfbnd2  27948