Theorem nominmo 27651

Description: A class of surreals has at most one minimum. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nominmo	⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nominmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsso 27628	. . 3 ⊢ <s Or No
2		soss 5550	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
3	1, 2	mpi 20	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ No → <s Or 𝑆)
4		somo 5569	. 2 ⊢ ( <s Or 𝑆 → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wral 3052  ∃*wrmo 3342   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   Or wor 5529   No csur 27591   <s clts 27592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-1o 8396  df-2o 8397  df-no 27594  df-lts 27595

This theorem is referenced by:  noinfno  27670  noinfbday  27672  noinfbnd1  27681  noinfbnd2  27683