MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nominmo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nominmo 27759
Description: A class of surreals has at most one minimum. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
nominmo (𝑆 No → ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nominmo
StepHypRef Expression
1 sltso 27736 . . 3 <s Or No
2 soss 5617 . . 3 (𝑆 No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
31, 2mpi 20 . 2 (𝑆 No → <s Or 𝑆)
4 somo 5635 . 2 ( <s Or 𝑆 → ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
53, 4syl 17 1 (𝑆 No → ∃*𝑥𝑆𝑦𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wral 3059  ∃*wrmo 3377  wss 3963   class class class wbr 5148   Or wor 5596   No csur 27699   <s cslt 27700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703
This theorem is referenced by:  noinfno  27778  noinfbday  27780  noinfbnd1  27789  noinfbnd2  27791
  Copyright terms: Public domain W3C validator