Theorem nominmo 28068

Description: A class of surreals has at most one minimum. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nominmo	⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nominmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsso 28045	. . 3 ⊢ <s Or No
2		soss 5582	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
3	1, 2	mpi 21	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ No → <s Or 𝑆)
4		somo 5601	. 2 ⊢ ( <s Or 𝑆 → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
5	3, 4	syl 18	1 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wral 3079  ∃*wrmo 3367   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5105   Or wor 5561  Nocsur 28009   <s clts 28010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6371  df-on 6372  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554  df-1o 8487  df-2o 8488  df-no 28012  df-lts 28013

This theorem is used by:  noinfno  28087  noinfbday  28089  noinfbnd1  28098  noinfbnd2  28100