Theorem nominmo 27663

Description: A class of surreals has at most one minimum. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
nominmo	⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)

Distinct variable group:   𝑥,𝑆,𝑦

Proof of Theorem nominmo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sltso 27640	. . 3 ⊢ <s Or No
2		soss 5581	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ( <s Or No → <s Or 𝑆))
3	1, 2	mpi 20	. 2 ⊢ (𝑆 ⊆ No → <s Or 𝑆)
4		somo 5600	. 2 ⊢ ( <s Or 𝑆 → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑆 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 ¬ 𝑦 <s 𝑥)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wral 3051  ∃*wrmo 3358   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119   Or wor 5560   No csur 27603   <s cslt 27604

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-1o 8480  df-2o 8481  df-no 27606  df-slt 27607

This theorem is referenced by:  noinfno  27682  noinfbday  27684  noinfbnd1  27693  noinfbnd2  27695