noinfbnd1 - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > noinfbnd1		Structured version Visualization version GIF version

Theorem noinfbnd1 27710

Description: Bounding law from above for the surreal infimum. Analagous to proposition 4.2 of [Lipparini] p. 6. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
noinfbnd1.1	⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))

**Assertion**
Ref	Expression
noinfbnd1	⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑈 ↾ dom 𝑇))

Distinct variable groups: 𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦 𝑣,𝑈 𝑔,𝑉 𝑥,𝑈,𝑦 𝑥,𝑉 Allowed substitution hints: 𝑇(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔) 𝑈(𝑢,𝑔) 𝑉(𝑦,𝑣,𝑢)

**Proof of Theorem noinfbnd1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1196	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ No )
2		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
3		nominmo 27680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
4	1, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
5		reu5 3345	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
6	2, 4, 5	sylanbrc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
7		riotacl 7335	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ 𝐵)
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ 𝐵)
9	1, 8	sseldd 3923	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No )
10		noextendlt 27650	. . . . 5 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
12		simpr3 1198	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
13		nfv 1916	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)
14		nfcv 2899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
15		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
16		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 <s
17		nfriota1 7325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
18	15, 16, 17	nfbr 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
19	18	nfn 1859	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
20	14, 19	nfralw 3285	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
21	13, 20	nfim 1898	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
22		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
23		rspe 3228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
25		simpr1 1196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ No )
26	25, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
27	24, 26, 5	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
28		riota1 7339	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥))
30	22, 29	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥)
31		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
32		nfra1 3262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥
33		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
34	32, 33	nfriota 7330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
35	34	nfeq1 2915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥
36		breq2 5090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥 → (𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ 𝑦 <s 𝑥))
37	36	notbid 318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥 → (¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ ¬ 𝑦 <s 𝑥))
38	35, 37	ralbid 3251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
39	38	biimprd 248	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
40	30, 31, 39	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
41	40	exp31 419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))))
42	21, 41	rexlimi 3238	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
43	42	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
44		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝑈
45		nfcv 2899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 <s
46	44, 45, 34	nfbr 5133	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
47	46	nfn 1859	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
48		breq1 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑈 → (𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
49	48	notbid 318	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑈 → (¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ ¬ 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
50	47, 49	rspc 3553	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) → ¬ 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
51	12, 43, 50	sylc 65	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
52		nofun 27630	. . . . . . . . 9 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No → Fun (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
53		funrel 6510	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) → Rel (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
54	9, 52, 53	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → Rel (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
55		sssucid 6400	. . . . . . . 8 ⊢ dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ⊆ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
56		relssres 5982	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ⊆ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
57	54, 55, 56	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
58	57	breq2d 5098	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) ↔ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
59	1, 12	sseldd 3923	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ No )
60		nodmon 27631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No → dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On)
61	9, 60	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On)
62		onsucb 7762	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On ↔ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On)
63	61, 62	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On)
64		ltsres 27643	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ No ∧ (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No ∧ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On) → ((𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
65	59, 9, 63, 64	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
66	58, 65	sylbird 260	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) → 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
67	51, 66	mtod 198	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
68		1oex 8409	. . . . . . . 8 ⊢ 1_o ∈ V
69	68	prid1 4707	. . . . . . 7 ⊢ 1_o ∈ {1_o, 2_o}
70	69	noextend 27647	. . . . . 6 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) ∈ No )
71	9, 70	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) ∈ No )
72		noreson 27641	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ No ∧ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On) → (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) ∈ No )
73	59, 63, 72	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) ∈ No )
74		ltsso 27657	. . . . . 6 ⊢ <s Or No
75		sotr3 5574	. . . . . 6 ⊢ (( <s Or No ∧ (((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) ∈ No ∧ (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No ∧ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) ∈ No )) → ((((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ ¬ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))))
76	74, 75	mpan 691	. . . . 5 ⊢ ((((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) ∈ No ∧ (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No ∧ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) ∈ No ) → ((((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ ¬ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))))
77	71, 9, 73, 76	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ ¬ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))))
78	11, 67, 77	mp2and 700	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
79		noinfbnd1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
80		iftrue 4473	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥)))) = ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}))
81	79, 80	eqtrid 2784	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → 𝑇 = ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}))
82	81	adantr 480	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑇 = ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}))
83	81	dmeqd 5855	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → dom 𝑇 = dom ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}))
84	68	dmsnop 6175	. . . . . . . 8 ⊢ dom {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩} = {dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)}
85	84	uneq2i 4106	. . . . . . 7 ⊢ (dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ dom {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) = (dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)})
86		dmun 5860	. . . . . . 7 ⊢ dom ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) = (dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ dom {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩})
87		df-suc 6324	. . . . . . 7 ⊢ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = (dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)})
88	85, 86, 87	3eqtr4i 2770	. . . . . 6 ⊢ dom ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) = suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
89	83, 88	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → dom 𝑇 = suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
90	89	reseq2d 5939	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → (𝑈 ↾ dom 𝑇) = (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
91	90	adantr 480	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (𝑈 ↾ dom 𝑇) = (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
92	78, 82, 91	3brtr4d 5118	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑇 <s (𝑈 ↾ dom 𝑇))
93		simpl 482	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
94		simpr1 1196	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ No )
95		simpr2 1197	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
96		simpr3 1198	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
97	79	noinfbnd1lem6 27709	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑈 ↾ dom 𝑇))
98	93, 94, 95, 96, 97	syl121anc 1378	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑇 <s (𝑈 ↾ dom 𝑇))
99	92, 98	pm2.61ian 812	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑈 ↾ dom 𝑇))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 {cab 2715 ∀wral 3052 ∃wrex 3062 ∃!wreu 3341 ∃*wrmo 3342 ∪ cun 3888 ⊆ wss 3890 ifcif 4467 {csn 4568 ⟨cop 4574 class class class wbr 5086 ↦ cmpt 5167 Or wor 5532 dom cdm 5625 ↾ cres 5627 Rel wrel 5630 Oncon0 6318 suc csuc 6320 ℩cio 6447 Fun wfun 6487 ‘cfv 6493 ℩crio 7317 1_oc1o 8392 2_oc2o 8393 No csur 27620 <s clts 27621

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5213 ax-sep 5232 ax-nul 5242 ax-pow 5303 ax-pr 5371 ax-un 7683

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3343 df-reu 3344 df-rab 3391 df-v 3432 df-sbc 3730 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4275 df-if 4468 df-pw 4544 df-sn 4569 df-pr 4571 df-tp 4573 df-op 4575 df-uni 4852 df-int 4891 df-br 5087 df-opab 5149 df-mpt 5168 df-tr 5194 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-ord 6321 df-on 6322 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-fo 6499 df-fv 6501 df-riota 7318 df-1o 8399 df-2o 8400 df-no 27623 df-lts 27624 df-bday 27625

This theorem is referenced by: noinfbnd2 27712 noetainflem3 27720

W3C validator