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Theorem noinfbnd1 27946

Description: Bounding law from above for the surreal infimum. Analagous to proposition 4.2 of [Lipparini] p. 6. (Contributed by Scott Fenton, 9-Aug-2024.)

**Hypothesis**
Ref	Expression
noinfbnd1.1	⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))

**Assertion**
Ref	Expression
noinfbnd1	⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑈 ↾ dom 𝑇))

Distinct variable groups: 𝐵,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦 𝑣,𝑈 𝑔,𝑉 𝑥,𝑈,𝑦 𝑥,𝑉 Allowed substitution hints: 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑣, 𝑢, 𝑔) 𝑈(𝑢, 𝑔) 𝑉(𝑦, 𝑣, 𝑢)

**Proof of Theorem noinfbnd1**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1213	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ No )
2		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
3		nominmo 27916	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ⊆ No → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
4	1, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
5		reu5 3373	. . . . . . . 8 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
6	2, 4, 5	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
7		riotacl 7393	. . . . . . 7 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ 𝐵)
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ 𝐵)
9	1, 8	sseldd 3939	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No )
10		noextendlt 27886	. . . . 5 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
12		simpr3 1215	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
13		nfv 1947	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)
14		nfcv 2927	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
15		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
16		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥 <s
17		nfriota1 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑥(℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
18	15, 16, 17	nfbr 5160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
19	18	nfn 1890	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
20	14, 19	nfralw 3314	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
21	13, 20	nfim 1929	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
22		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
23		rspe 3257	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
25		simpr1 1213	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ No )
26	25, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃*𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
27	24, 26, 5	sylanbrc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
28		riota1 7397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥))
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥))
30	22, 29	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥)
31		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
32		nfra1 3291	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥
33		nfcv 2927	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
34	32, 33	nfriota 7388	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
35	34	nfeq1 2942	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑦(℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥
36		breq2 5115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥 → (𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ 𝑦 <s 𝑥))
37	36	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥 → (¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ ¬ 𝑦 <s 𝑥))
38	35, 37	ralbid 3280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
39	38	biimprd 251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = 𝑥 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
40	30, 31, 39	sylc 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
41	40	exp31 425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))))
42	21, 41	rexlimi 3267	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
43	42	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
44		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝑈
45		nfcv 2927	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦 <s
46	44, 45, 34	nfbr 5160	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑦 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
47	46	nfn 1890	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦 ¬ 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
48		breq1 5114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑈 → (𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
49	48	notbid 321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑈 → (¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↔ ¬ 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
50	47, 49	rspc 3571	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) → ¬ 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
51	12, 43, 50	sylc 66	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
52		nofun 27866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No → Fun (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
53		funrel 6557	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) → Rel (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
54	9, 52, 53	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → Rel (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
55		sssucid 6447	. . . . . . . 8 ⊢ dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ⊆ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
56		relssres 6023	. . . . . . . 8 ⊢ ((Rel (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ⊆ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
57	54, 55, 56	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
58	57	breq2d 5123	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) ↔ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
59	1, 12	sseldd 3939	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ No )
60		nodmon 27867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No → dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On)
61	9, 60	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On)
62		onsucb 7819	. . . . . . . 8 ⊢ (dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On ↔ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On)
63	61, 62	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On)
64		ltsres 27879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ No ∧ (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No ∧ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On) → ((𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
65	59, 9, 63, 64	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
66	58, 65	sylbird 263	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) → 𝑈 <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
67	51, 66	mtod 201	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ¬ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
68		1oex 8469	. . . . . . . 8 ⊢ 1_o ∈ V
69	68	prid1 4730	. . . . . . 7 ⊢ 1_o ∈ {1_o, 2_o}
70	69	noextend 27883	. . . . . 6 ⊢ ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) ∈ No )
71	9, 70	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) ∈ No )
72		noreson 27877	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ No ∧ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ On) → (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) ∈ No )
73	59, 63, 72	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) ∈ No )
74		ltsso 27893	. . . . . 6 ⊢ <s Or No
75		sotr3 5612	. . . . . 6 ⊢ (( <s Or No ∧ (((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) ∈ No ∧ (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No ∧ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) ∈ No )) → ((((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ ¬ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))))
76	74, 75	mpan 703	. . . . 5 ⊢ ((((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) ∈ No ∧ (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∈ No ∧ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) ∈ No ) → ((((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ ¬ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))))
77	71, 9, 73, 76	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∧ ¬ (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) <s (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))))
78	11, 67, 77	mp2and 712	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) <s (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
79		noinfbnd1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥))))
80		iftrue 4495	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → if(∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥, ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐵 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐵 (¬ 𝑢 <s 𝑣 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥)))) = ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}))
81	79, 80	eqtrid 2812	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → 𝑇 = ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}))
82	81	adantr 486	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑇 = ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}))
83	81	dmeqd 5897	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → dom 𝑇 = dom ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}))
84	68	dmsnop 6219	. . . . . . . 8 ⊢ dom {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩} = {dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)}
85	84	uneq2i 4119	. . . . . . 7 ⊢ (dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ dom {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) = (dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)})
86		dmun 5902	. . . . . . 7 ⊢ dom ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) = (dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ dom {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩})
87		df-suc 6370	. . . . . . 7 ⊢ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) = (dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)})
88	85, 86, 87	3eqtr4i 2798	. . . . . 6 ⊢ dom ((℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥) ∪ {⟨dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥), 1_o⟩}) = suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
89	83, 88	eqtrdi 2816	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → dom 𝑇 = suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥))
90	89	reseq2d 5980	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 → (𝑈 ↾ dom 𝑇) = (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
91	90	adantr 486	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → (𝑈 ↾ dom 𝑇) = (𝑈 ↾ suc dom (℩𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)))
92	78, 82, 91	3brtr4d 5145	. 2 ⊢ ((∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑇 <s (𝑈 ↾ dom 𝑇))
93		simpl 488	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → ¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥)
94		simpr1 1213	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ⊆ No )
95		simpr2 1214	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝐵 ∈ 𝑉)
96		simpr3 1215	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
97	79	noinfbnd1lem6 27945	. . 3 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑈 ↾ dom 𝑇))
98	93, 94, 95, 96, 97	syl121anc 1402	. 2 ⊢ ((¬ ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 <s 𝑥 ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵)) → 𝑇 <s (𝑈 ↾ dom 𝑇))
99	92, 98	pm2.61ian 824	1 ⊢ ((𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ 𝐵) → 𝑇 <s (𝑈 ↾ dom 𝑇))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2146 {cab 2743 ∀wral 3081 ∃wrex 3091 ∃!wreu 3369 ∃*wrmo 3370 ∪ cun 3904 ⊆ wss 3906 ifcif 4489 {csn 4591 ⟨cop 4597 class class class wbr 5111 ↦ cmpt 5194 Or wor 5570 dom cdm 5663 ↾ cres 5665 Rel wrel 5668 Oncon0 6364 suc csuc 6366 ℩cio 6494 Fun wfun 6534 ‘cfv 6540 ℩crio 7375 1_oc1o 8452 2_oc2o 8453 No csur 27857 <s clts 27858

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2148 ax-9 2156 ax-10 2179 ax-11 2195 ax-12 2216 ax-ext 2737 ax-rep 5240 ax-sep 5259 ax-nul 5271 ax-pow 5338 ax-pr 5406 ax-un 7742

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2569 df-eu 2599 df-clab 2744 df-cleq 2757 df-clel 2840 df-nfc 2914 df-ne 2961 df-ral 3082 df-rex 3092 df-rmo 3371 df-reu 3372 df-rab 3419 df-v 3459 df-sbc 3747 df-csb 3855 df-dif 3909 df-un 3911 df-in 3913 df-ss 3923 df-pss 3926 df-nul 4287 df-if 4490 df-pw 4566 df-sn 4592 df-pr 4594 df-tp 4596 df-op 4598 df-uni 4875 df-int 4915 df-br 5112 df-opab 5176 df-mpt 5195 df-tr 5221 df-id 5558 df-eprel 5563 df-po 5571 df-so 5572 df-fr 5616 df-we 5618 df-xp 5669 df-rel 5670 df-cnv 5671 df-co 5672 df-dm 5673 df-rn 5674 df-res 5675 df-ima 5676 df-ord 6367 df-on 6368 df-suc 6370 df-iota 6496 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-fo 6546 df-fv 6548 df-riota 7376 df-1o 8459 df-2o 8460 df-no 27860 df-lts 27861 df-bday 27862

This theorem is used by: noinfbnd2 27948 noetainflem3 27956

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