Theorem nsgconj 19378

Description: The conjugation of an element of a normal subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg3.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
isnsg3.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
isnsg3.3	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nsgconj	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem nsgconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 19377	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 19350	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		isnsg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	subgss 19346	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
8	2, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3910	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑋)
11		isnsg3.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		isnsg3.3	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13	6, 11, 12	grpaddsubass 19249	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
14	4, 5, 10, 5, 13	syl13anc 1399	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
15	6, 11, 12	grpnpcan 19251	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
16	4, 10, 5, 15	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
17	16, 9	eqeltrd 2860	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆)
18		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	6, 12	grpsubcl 19239	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋)
20	4, 10, 5, 19	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋)
21	6, 11	nsgbi 19376	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆))
22	18, 20, 5, 21	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆))
23	17, 22	mpbid 235	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆)
24	14, 23	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Basecbs 17396  +_gcplusg 17437  Grpcgrp 19153  -_gcsg 19155  SubGrpcsubg 19339  NrmSGrpcnsg 19340

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-0g 17621  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-nsg 19343

This theorem is used by:  isnsg3  19379  ghmnsgima  19463  ghmnsgpreima  19464  clsnsg  24438