Theorem nsgconj 19200

Description: The conjugation of an element of a normal subgroup is in the subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isnsg3.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
isnsg3.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
isnsg3.3	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nsgconj	⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem nsgconj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgsubg 19199	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2	1	3ad2ant1 1146	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
3		subgrcl 19173	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simp2 1150	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		isnsg3.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	subgss 19169	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
8	2, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9		simp3 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑆)
10	8, 9	sseldd 3937	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑋)
11		isnsg3.2	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝐺)
12		isnsg3.3	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
13	6, 11, 12	grpaddsubass 19072	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
14	4, 5, 10, 5, 13	syl13anc 1391	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) = (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)))
15	6, 11, 12	grpnpcan 19074	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
16	4, 10, 5, 15	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) = 𝐵)
17	16, 9	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆)
18		simp1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
19	6, 12	grpsubcl 19062	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋)
20	4, 10, 5, 19	syl3anc 1390	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋)
21	6, 11	nsgbi 19198	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆))
22	18, 20, 5, 21	syl3anc 1390	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (((𝐵 − 𝐴) + 𝐴) ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆))
23	17, 22	mpbid 234	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → (𝐴 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ 𝑆)
24	14, 23	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐴) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  Grpcgrp 18975  -_gcsg 18977  SubGrpcsubg 19162  NrmSGrpcnsg 19163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-nsg 19166

This theorem is referenced by:  isnsg3  19201  ghmnsgima  19280  ghmnsgpreima  19281  clsnsg  24167