Theorem subgrcl 18276

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 18271	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1142	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3881  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475   ↾_s cress 16476  Grpcgrp 18095  SubGrpcsubg 18265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fv 6332  df-ov 7138  df-subg 18268

This theorem is referenced by:  subg0  18277  subginv  18278  subgmulgcl  18284  subgsubm  18293  subsubg  18294  subgint  18295  isnsg  18299  nsgconj  18303  isnsg3  18304  ssnmz  18310  nmznsg  18312  eqger  18322  eqgid  18324  eqgen  18325  eqgcpbl  18326  qusgrp  18327  quseccl  18328  qusadd  18329  qus0  18330  qusinv  18331  qussub  18332  resghm2  18367  resghm2b  18368  conjsubg  18382  conjsubgen  18383  conjnmz  18384  conjnmzb  18385  qusghm  18387  subgga  18422  gastacos  18432  orbstafun  18433  cntrsubgnsg  18463  oppgsubg  18483  isslw  18725  sylow2blem1  18737  sylow2blem2  18738  sylow2blem3  18739  slwhash  18741  lsmval  18765  lsmelval  18766  lsmelvali  18767  lsmelvalm  18768  lsmsubg  18771  lsmless1  18777  lsmless2  18778  lsmless12  18779  lsmass  18787  lsm01  18789  lsm02  18790  subglsm  18791  lsmmod  18793  lsmcntz  18797  lsmcntzr  18798  lsmdisj2  18800  subgdisj1  18809  pj1f  18815  pj1id  18817  pj1lid  18819  pj1rid  18820  pj1ghm  18821  subgdmdprd  19149  subgdprd  19150  dprdsn  19151  pgpfaclem2  19197  cldsubg  22716  gsumsubg  30731  qusker  30969