Theorem subgrcl 19047

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19042	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1143	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3947  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  Grpcgrp 18855  SubGrpcsubg 19036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fv 6550  df-ov 7414  df-subg 19039

This theorem is referenced by:  subg0  19048  subginv  19049  subgmulgcl  19055  subgsubm  19064  subsubg  19065  subgint  19066  isnsg  19071  nsgconj  19075  isnsg3  19076  ssnmz  19082  nmznsg  19084  eqger  19094  eqgid  19096  eqgen  19097  eqgcpbl  19098  qusgrp  19101  quseccl  19102  qusadd  19103  qus0  19104  qusinv  19105  qussub  19106  ecqusaddcl  19108  resghm2  19147  resghm2b  19148  conjsubg  19164  conjsubgen  19165  conjnmz  19166  conjnmzb  19167  qusghm  19169  subgga  19205  gastacos  19215  orbstafun  19216  cntrsubgnsg  19248  oppgsubg  19271  isslw  19517  sylow2blem1  19529  sylow2blem2  19530  sylow2blem3  19531  slwhash  19533  lsmval  19557  lsmelval  19558  lsmelvali  19559  lsmelvalm  19560  lsmsubg  19563  lsmless1  19569  lsmless2  19570  lsmless12  19571  lsmass  19578  lsm01  19580  lsm02  19581  subglsm  19582  lsmmod  19584  lsmcntz  19588  lsmcntzr  19589  lsmdisj2  19591  subgdisj1  19600  pj1f  19606  pj1id  19608  pj1lid  19610  pj1rid  19611  pj1ghm  19612  subgdmdprd  19945  subgdprd  19946  dprdsn  19947  pgpfaclem2  19993  cldsubg  23835  gsumsubg  32468  qusker  32734  grplsmid  32788  quslsm  32790  qus0g  32792  qusrn  32794  nsgqus0  32795  nsgmgclem  32796  nsgqusf1olem1  32798  nsgqusf1olem2  32799  nsgqusf1olem3  32800  ghmquskerlem3  32805