Theorem subgrcl 19105

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19100	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1151	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  Grpcgrp 18907  SubGrpcsubg 19094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7366  df-subg 19097

This theorem is referenced by:  subg0  19106  subginv  19107  subgmulgcl  19113  subgsubm  19122  subsubg  19123  subgint  19124  isnsg  19128  nsgconj  19132  isnsg3  19133  ssnmz  19139  nmznsg  19141  eqger  19151  eqgid  19153  eqgen  19154  eqgcpbl  19155  qusgrp  19159  quseccl  19160  qusadd  19161  qus0  19162  qusinv  19163  qussub  19164  ecqusaddcl  19166  resghm2  19206  resghm2b  19207  conjsubg  19223  conjsubgen  19224  conjnmz  19225  conjnmzb  19226  qusghm  19228  ghmqusnsg  19255  ghmquskerlem3  19259  subgga  19273  gastacos  19283  orbstafun  19284  cntrsubgnsg  19316  oppgsubg  19336  isslw  19581  sylow2blem1  19593  sylow2blem2  19594  sylow2blem3  19595  slwhash  19597  lsmval  19621  lsmelval  19622  lsmelvali  19623  lsmelvalm  19624  lsmsubg  19627  lsmless1  19633  lsmless2  19634  lsmless12  19635  lsmass  19642  lsm01  19644  lsm02  19645  subglsm  19646  lsmmod  19648  lsmcntz  19652  lsmcntzr  19653  lsmdisj2  19655  subgdisj1  19664  pj1f  19670  pj1id  19672  pj1lid  19674  pj1rid  19675  pj1ghm  19676  subgdmdprd  20009  subgdprd  20010  dprdsn  20011  pgpfaclem2  20057  cldsubg  24101  gsumsubg  33134  qusker  33439  grplsmid  33494  quslsm  33495  qus0g  33497  qusrn  33499  nsgqus0  33500  nsgmgclem  33501  nsgqusf1olem1  33503  nsgqusf1olem2  33504  nsgqusf1olem3  33505