Theorem subgrcl 19171

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19166	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  Grpcgrp 18973  SubGrpcsubg 19160

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-ov 7451  df-subg 19163

This theorem is referenced by:  subg0  19172  subginv  19173  subgmulgcl  19179  subgsubm  19188  subsubg  19189  subgint  19190  isnsg  19195  nsgconj  19199  isnsg3  19200  ssnmz  19206  nmznsg  19208  eqger  19218  eqgid  19220  eqgen  19221  eqgcpbl  19222  qusgrp  19226  quseccl  19227  qusadd  19228  qus0  19229  qusinv  19230  qussub  19231  ecqusaddcl  19233  resghm2  19273  resghm2b  19274  conjsubg  19290  conjsubgen  19291  conjnmz  19292  conjnmzb  19293  qusghm  19295  ghmqusnsg  19322  ghmquskerlem3  19326  subgga  19340  gastacos  19350  orbstafun  19351  cntrsubgnsg  19383  oppgsubg  19406  isslw  19650  sylow2blem1  19662  sylow2blem2  19663  sylow2blem3  19664  slwhash  19666  lsmval  19690  lsmelval  19691  lsmelvali  19692  lsmelvalm  19693  lsmsubg  19696  lsmless1  19702  lsmless2  19703  lsmless12  19704  lsmass  19711  lsm01  19713  lsm02  19714  subglsm  19715  lsmmod  19717  lsmcntz  19721  lsmcntzr  19722  lsmdisj2  19724  subgdisj1  19733  pj1f  19739  pj1id  19741  pj1lid  19743  pj1rid  19744  pj1ghm  19745  subgdmdprd  20078  subgdprd  20079  dprdsn  20080  pgpfaclem2  20126  cldsubg  24140  gsumsubg  33029  qusker  33342  grplsmid  33397  quslsm  33398  qus0g  33400  qusrn  33402  nsgqus0  33403  nsgmgclem  33404  nsgqusf1olem1  33406  nsgqusf1olem2  33407  nsgqusf1olem3  33408