Theorem subgrcl 19061

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19056	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-subg 19053

This theorem is referenced by:  subg0  19062  subginv  19063  subgmulgcl  19069  subgsubm  19078  subsubg  19079  subgint  19080  isnsg  19084  nsgconj  19088  isnsg3  19089  ssnmz  19095  nmznsg  19097  eqger  19107  eqgid  19109  eqgen  19110  eqgcpbl  19111  qusgrp  19115  quseccl  19116  qusadd  19117  qus0  19118  qusinv  19119  qussub  19120  ecqusaddcl  19122  resghm2  19162  resghm2b  19163  conjsubg  19179  conjsubgen  19180  conjnmz  19181  conjnmzb  19182  qusghm  19184  ghmqusnsg  19211  ghmquskerlem3  19215  subgga  19229  gastacos  19239  orbstafun  19240  cntrsubgnsg  19272  oppgsubg  19292  isslw  19537  sylow2blem1  19549  sylow2blem2  19550  sylow2blem3  19551  slwhash  19553  lsmval  19577  lsmelval  19578  lsmelvali  19579  lsmelvalm  19580  lsmsubg  19583  lsmless1  19589  lsmless2  19590  lsmless12  19591  lsmass  19598  lsm01  19600  lsm02  19601  subglsm  19602  lsmmod  19604  lsmcntz  19608  lsmcntzr  19609  lsmdisj2  19611  subgdisj1  19620  pj1f  19626  pj1id  19628  pj1lid  19630  pj1rid  19631  pj1ghm  19632  subgdmdprd  19965  subgdprd  19966  dprdsn  19967  pgpfaclem2  20013  cldsubg  24055  gsumsubg  33129  qusker  33430  grplsmid  33485  quslsm  33486  qus0g  33488  qusrn  33490  nsgqus0  33491  nsgmgclem  33492  nsgqusf1olem1  33494  nsgqusf1olem2  33495  nsgqusf1olem3  33496