Theorem subgrcl 19156

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19151	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1157	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228   ↾_s cress 17249  Grpcgrp 18958  SubGrpcsubg 19145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-ov 7395  df-subg 19148

This theorem is referenced by:  subg0  19157  subginv  19158  subgmulgcl  19164  subgsubm  19173  subsubg  19174  subgint  19175  isnsg  19179  nsgconj  19183  isnsg3  19184  ssnmz  19190  nmznsg  19192  eqger  19202  eqgid  19204  eqgen  19205  eqgcpbl  19206  qusgrp  19210  quseccl  19211  qusadd  19212  qus0  19213  qusinv  19214  qussub  19215  ecqusaddcl  19217  resghm2  19256  resghm2b  19257  conjsubg  19273  conjsubgen  19274  conjnmz  19275  conjnmzb  19276  qusghm  19278  ghmqusnsg  19305  ghmquskerlem3  19309  subgga  19323  gastacos  19333  orbstafun  19334  cntrsubgnsg  19366  oppgsubg  19386  isslw  19631  sylow2blem1  19643  sylow2blem2  19644  sylow2blem3  19645  slwhash  19647  lsmval  19671  lsmelval  19672  lsmelvali  19673  lsmelvalm  19674  lsmsubg  19677  lsmless1  19683  lsmless2  19684  lsmless12  19685  lsmass  19692  lsm01  19694  lsm02  19695  subglsm  19696  lsmmod  19698  lsmcntz  19702  lsmcntzr  19703  lsmdisj2  19705  subgdisj1  19714  pj1f  19720  pj1id  19722  pj1lid  19724  pj1rid  19725  pj1ghm  19726  subgdmdprd  20059  subgdprd  20060  dprdsn  20061  pgpfaclem2  20107  cldsubg  24151  gsumsubg  33187  qusker  33496  grplsmid  33551  quslsm  33552  qus0g  33554  qusrn  33556  nsgqus0  33557  nsgmgclem  33558  nsgqusf1olem1  33560  nsgqusf1olem2  33561  nsgqusf1olem3  33562