Theorem subgrcl 19150

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19145	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3950  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248   ↾_s cress 17275  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fv 6568  df-ov 7435  df-subg 19142

This theorem is referenced by:  subg0  19151  subginv  19152  subgmulgcl  19158  subgsubm  19167  subsubg  19168  subgint  19169  isnsg  19174  nsgconj  19178  isnsg3  19179  ssnmz  19185  nmznsg  19187  eqger  19197  eqgid  19199  eqgen  19200  eqgcpbl  19201  qusgrp  19205  quseccl  19206  qusadd  19207  qus0  19208  qusinv  19209  qussub  19210  ecqusaddcl  19212  resghm2  19252  resghm2b  19253  conjsubg  19269  conjsubgen  19270  conjnmz  19271  conjnmzb  19272  qusghm  19274  ghmqusnsg  19301  ghmquskerlem3  19305  subgga  19319  gastacos  19329  orbstafun  19330  cntrsubgnsg  19362  oppgsubg  19383  isslw  19627  sylow2blem1  19639  sylow2blem2  19640  sylow2blem3  19641  slwhash  19643  lsmval  19667  lsmelval  19668  lsmelvali  19669  lsmelvalm  19670  lsmsubg  19673  lsmless1  19679  lsmless2  19680  lsmless12  19681  lsmass  19688  lsm01  19690  lsm02  19691  subglsm  19692  lsmmod  19694  lsmcntz  19698  lsmcntzr  19699  lsmdisj2  19701  subgdisj1  19710  pj1f  19716  pj1id  19718  pj1lid  19720  pj1rid  19721  pj1ghm  19722  subgdmdprd  20055  subgdprd  20056  dprdsn  20057  pgpfaclem2  20103  cldsubg  24120  gsumsubg  33050  qusker  33378  grplsmid  33433  quslsm  33434  qus0g  33436  qusrn  33438  nsgqus0  33439  nsgmgclem  33440  nsgqusf1olem1  33442  nsgqusf1olem2  33443  nsgqusf1olem3  33444