Theorem subgrcl 19094

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19089	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1142	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183   ↾_s cress 17212  Grpcgrp 18898  SubGrpcsubg 19083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fv 6557  df-ov 7422  df-subg 19086

This theorem is referenced by:  subg0  19095  subginv  19096  subgmulgcl  19102  subgsubm  19111  subsubg  19112  subgint  19113  isnsg  19118  nsgconj  19122  isnsg3  19123  ssnmz  19129  nmznsg  19131  eqger  19141  eqgid  19143  eqgen  19144  eqgcpbl  19145  qusgrp  19149  quseccl  19150  qusadd  19151  qus0  19152  qusinv  19153  qussub  19154  ecqusaddcl  19156  resghm2  19196  resghm2b  19197  conjsubg  19213  conjsubgen  19214  conjnmz  19215  conjnmzb  19216  qusghm  19218  ghmqusnsg  19245  ghmquskerlem3  19249  subgga  19263  gastacos  19273  orbstafun  19274  cntrsubgnsg  19306  oppgsubg  19329  isslw  19575  sylow2blem1  19587  sylow2blem2  19588  sylow2blem3  19589  slwhash  19591  lsmval  19615  lsmelval  19616  lsmelvali  19617  lsmelvalm  19618  lsmsubg  19621  lsmless1  19627  lsmless2  19628  lsmless12  19629  lsmass  19636  lsm01  19638  lsm02  19639  subglsm  19640  lsmmod  19642  lsmcntz  19646  lsmcntzr  19647  lsmdisj2  19649  subgdisj1  19658  pj1f  19664  pj1id  19666  pj1lid  19668  pj1rid  19669  pj1ghm  19670  subgdmdprd  20003  subgdprd  20004  dprdsn  20005  pgpfaclem2  20051  cldsubg  24059  gsumsubg  32850  qusker  33160  grplsmid  33216  quslsm  33217  qus0g  33219  qusrn  33221  nsgqus0  33222  nsgmgclem  33223  nsgqusf1olem1  33225  nsgqusf1olem2  33226  nsgqusf1olem3  33227