Theorem subgrcl 19188

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19183	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1161	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259   ↾_s cress 17280  Grpcgrp 18990  SubGrpcsubg 19177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-ov 7403  df-subg 19180

This theorem is referenced by:  subg0  19189  subginv  19190  subgmulgcl  19197  subgsubm  19206  subsubg  19207  subgint  19208  isnsg  19212  nsgconj  19216  isnsg3  19217  ssnmz  19223  nmznsg  19225  eqger  19237  eqgid  19239  eqgen  19240  eqgcpbl  19241  qusgrp  19248  quseccl  19249  qusadd  19250  qus0  19251  qusinv  19252  qussub  19253  ecqusaddcl  19255  resghm2  19294  resghm2b  19295  conjsubg  19311  conjsubgen  19312  conjnmz  19313  conjnmzb  19314  qusghm  19316  ghmqusnsg  19343  ghmquskerlem3  19347  subgga  19361  gastacos  19371  orbstafun  19372  cntrsubgnsg  19404  oppgsubg  19424  isslw  19669  sylow2blem1  19681  sylow2blem2  19682  sylow2blem3  19683  slwhash  19685  lsmval  19709  lsmelval  19710  lsmelvali  19711  lsmelvalm  19712  lsmsubg  19715  lsmless1  19721  lsmless2  19722  lsmless12  19723  lsmass  19730  lsm01  19732  lsm02  19733  subglsm  19734  lsmmod  19736  lsmcntz  19740  lsmcntzr  19741  lsmdisj2  19743  subgdisj1  19752  pj1f  19758  pj1id  19760  pj1lid  19762  pj1rid  19763  pj1ghm  19764  subgdmdprd  20097  subgdprd  20098  dprdsn  20099  pgpfaclem2  20145  cldsubg  24229  gsumsubg  33279  qusker  33584  grplsmid  33629  quslsm  33630  qus0g  33632  qusrn  33634  nsgqus0  33635  nsgmgclem  33636  nsgqusf1olem1  33638  nsgqusf1olem2  33639  nsgqusf1olem3  33640