Theorem subgrcl 19073

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19068	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  Grpcgrp 18875  SubGrpcsubg 19062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-subg 19065

This theorem is referenced by:  subg0  19074  subginv  19075  subgmulgcl  19081  subgsubm  19090  subsubg  19091  subgint  19092  isnsg  19096  nsgconj  19100  isnsg3  19101  ssnmz  19107  nmznsg  19109  eqger  19119  eqgid  19121  eqgen  19122  eqgcpbl  19123  qusgrp  19127  quseccl  19128  qusadd  19129  qus0  19130  qusinv  19131  qussub  19132  ecqusaddcl  19134  resghm2  19174  resghm2b  19175  conjsubg  19191  conjsubgen  19192  conjnmz  19193  conjnmzb  19194  qusghm  19196  ghmqusnsg  19223  ghmquskerlem3  19227  subgga  19241  gastacos  19251  orbstafun  19252  cntrsubgnsg  19284  oppgsubg  19304  isslw  19549  sylow2blem1  19561  sylow2blem2  19562  sylow2blem3  19563  slwhash  19565  lsmval  19589  lsmelval  19590  lsmelvali  19591  lsmelvalm  19592  lsmsubg  19595  lsmless1  19601  lsmless2  19602  lsmless12  19603  lsmass  19610  lsm01  19612  lsm02  19613  subglsm  19614  lsmmod  19616  lsmcntz  19620  lsmcntzr  19621  lsmdisj2  19623  subgdisj1  19632  pj1f  19638  pj1id  19640  pj1lid  19642  pj1rid  19643  pj1ghm  19644  subgdmdprd  19977  subgdprd  19978  dprdsn  19979  pgpfaclem2  20025  cldsubg  24067  gsumsubg  33139  qusker  33441  grplsmid  33496  quslsm  33497  qus0g  33499  qusrn  33501  nsgqus0  33502  nsgmgclem  33503  nsgqusf1olem1  33505  nsgqusf1olem2  33506  nsgqusf1olem3  33507