Theorem subgrcl 19063

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19058	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Grpcgrp 18865  SubGrpcsubg 19052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-subg 19055

This theorem is referenced by:  subg0  19064  subginv  19065  subgmulgcl  19071  subgsubm  19080  subsubg  19081  subgint  19082  isnsg  19087  nsgconj  19091  isnsg3  19092  ssnmz  19098  nmznsg  19100  eqger  19110  eqgid  19112  eqgen  19113  eqgcpbl  19114  qusgrp  19118  quseccl  19119  qusadd  19120  qus0  19121  qusinv  19122  qussub  19123  ecqusaddcl  19125  resghm2  19165  resghm2b  19166  conjsubg  19182  conjsubgen  19183  conjnmz  19184  conjnmzb  19185  qusghm  19187  ghmqusnsg  19214  ghmquskerlem3  19218  subgga  19232  gastacos  19242  orbstafun  19243  cntrsubgnsg  19275  oppgsubg  19295  isslw  19538  sylow2blem1  19550  sylow2blem2  19551  sylow2blem3  19552  slwhash  19554  lsmval  19578  lsmelval  19579  lsmelvali  19580  lsmelvalm  19581  lsmsubg  19584  lsmless1  19590  lsmless2  19591  lsmless12  19592  lsmass  19599  lsm01  19601  lsm02  19602  subglsm  19603  lsmmod  19605  lsmcntz  19609  lsmcntzr  19610  lsmdisj2  19612  subgdisj1  19621  pj1f  19627  pj1id  19629  pj1lid  19631  pj1rid  19632  pj1ghm  19633  subgdmdprd  19966  subgdprd  19967  dprdsn  19968  pgpfaclem2  20014  cldsubg  23998  gsumsubg  32986  qusker  33320  grplsmid  33375  quslsm  33376  qus0g  33378  qusrn  33380  nsgqus0  33381  nsgmgclem  33382  nsgqusf1olem1  33384  nsgqusf1olem2  33385  nsgqusf1olem3  33386