Theorem subgrcl 19046

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19041	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  Grpcgrp 18848  SubGrpcsubg 19035

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7355  df-subg 19038

This theorem is referenced by:  subg0  19047  subginv  19048  subgmulgcl  19054  subgsubm  19063  subsubg  19064  subgint  19065  isnsg  19069  nsgconj  19073  isnsg3  19074  ssnmz  19080  nmznsg  19082  eqger  19092  eqgid  19094  eqgen  19095  eqgcpbl  19096  qusgrp  19100  quseccl  19101  qusadd  19102  qus0  19103  qusinv  19104  qussub  19105  ecqusaddcl  19107  resghm2  19147  resghm2b  19148  conjsubg  19164  conjsubgen  19165  conjnmz  19166  conjnmzb  19167  qusghm  19169  ghmqusnsg  19196  ghmquskerlem3  19200  subgga  19214  gastacos  19224  orbstafun  19225  cntrsubgnsg  19257  oppgsubg  19277  isslw  19522  sylow2blem1  19534  sylow2blem2  19535  sylow2blem3  19536  slwhash  19538  lsmval  19562  lsmelval  19563  lsmelvali  19564  lsmelvalm  19565  lsmsubg  19568  lsmless1  19574  lsmless2  19575  lsmless12  19576  lsmass  19583  lsm01  19585  lsm02  19586  subglsm  19587  lsmmod  19589  lsmcntz  19593  lsmcntzr  19594  lsmdisj2  19596  subgdisj1  19605  pj1f  19611  pj1id  19613  pj1lid  19615  pj1rid  19616  pj1ghm  19617  subgdmdprd  19950  subgdprd  19951  dprdsn  19952  pgpfaclem2  19998  cldsubg  24027  gsumsubg  33033  qusker  33321  grplsmid  33376  quslsm  33377  qus0g  33379  qusrn  33381  nsgqus0  33382  nsgmgclem  33383  nsgqusf1olem1  33385  nsgqusf1olem2  33386  nsgqusf1olem3  33387