Theorem subgrcl 17957

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2825	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 17952	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1179	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229   ↾_s cress 16230  Grpcgrp 17783  SubGrpcsubg 17946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fv 6135  df-ov 6913  df-subg 17949

This theorem is referenced by:  subg0  17958  subginv  17959  subgmulgcl  17965  subgsubm  17974  subsubg  17975  subgint  17976  isnsg  17981  nsgconj  17985  isnsg3  17986  ssnmz  17994  nmznsg  17996  eqger  18002  eqgid  18004  eqgen  18005  eqgcpbl  18006  qusgrp  18007  quseccl  18008  qusadd  18009  qus0  18010  qusinv  18011  qussub  18012  resghm2  18035  resghm2b  18036  conjsubg  18050  conjsubgen  18051  conjnmz  18052  conjnmzb  18053  qusghm  18055  subgga  18090  gastacos  18100  orbstafun  18101  cntrsubgnsg  18130  oppgsubg  18150  isslw  18381  sylow2blem1  18393  sylow2blem2  18394  sylow2blem3  18395  slwhash  18397  lsmval  18421  lsmelval  18422  lsmelvali  18423  lsmelvalm  18424  lsmsubg  18427  lsmless1  18432  lsmless2  18433  lsmless12  18434  lsmass  18441  lsm01  18442  lsm02  18443  subglsm  18444  lsmmod  18446  lsmcntz  18450  lsmcntzr  18451  lsmdisj2  18453  subgdisj1  18462  pj1f  18468  pj1id  18470  pj1lid  18472  pj1rid  18473  pj1ghm  18474  subgdmdprd  18794  subgdprd  18795  dprdsn  18796  pgpfaclem2  18842  cldsubg  22291