Theorem subgrcl 19119

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19114	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1145	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  Grpcgrp 18921  SubGrpcsubg 19108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fv 6544  df-ov 7413  df-subg 19111

This theorem is referenced by:  subg0  19120  subginv  19121  subgmulgcl  19127  subgsubm  19136  subsubg  19137  subgint  19138  isnsg  19143  nsgconj  19147  isnsg3  19148  ssnmz  19154  nmznsg  19156  eqger  19166  eqgid  19168  eqgen  19169  eqgcpbl  19170  qusgrp  19174  quseccl  19175  qusadd  19176  qus0  19177  qusinv  19178  qussub  19179  ecqusaddcl  19181  resghm2  19221  resghm2b  19222  conjsubg  19238  conjsubgen  19239  conjnmz  19240  conjnmzb  19241  qusghm  19243  ghmqusnsg  19270  ghmquskerlem3  19274  subgga  19288  gastacos  19298  orbstafun  19299  cntrsubgnsg  19331  oppgsubg  19351  isslw  19594  sylow2blem1  19606  sylow2blem2  19607  sylow2blem3  19608  slwhash  19610  lsmval  19634  lsmelval  19635  lsmelvali  19636  lsmelvalm  19637  lsmsubg  19640  lsmless1  19646  lsmless2  19647  lsmless12  19648  lsmass  19655  lsm01  19657  lsm02  19658  subglsm  19659  lsmmod  19661  lsmcntz  19665  lsmcntzr  19666  lsmdisj2  19668  subgdisj1  19677  pj1f  19683  pj1id  19685  pj1lid  19687  pj1rid  19688  pj1ghm  19689  subgdmdprd  20022  subgdprd  20023  dprdsn  20024  pgpfaclem2  20070  cldsubg  24054  gsumsubg  33045  qusker  33369  grplsmid  33424  quslsm  33425  qus0g  33427  qusrn  33429  nsgqus0  33430  nsgmgclem  33431  nsgqusf1olem1  33433  nsgqusf1olem2  33434  nsgqusf1olem3  33435