Theorem subgrcl 19011

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19006	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1146	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144   ↾_s cress 17173  Grpcgrp 18819  SubGrpcsubg 19000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fv 6552  df-ov 7412  df-subg 19003

This theorem is referenced by:  subg0  19012  subginv  19013  subgmulgcl  19019  subgsubm  19028  subsubg  19029  subgint  19030  isnsg  19035  nsgconj  19039  isnsg3  19040  ssnmz  19046  nmznsg  19048  eqger  19058  eqgid  19060  eqgen  19061  eqgcpbl  19062  qusgrp  19065  quseccl  19066  qusadd  19067  qus0  19068  qusinv  19069  qussub  19070  resghm2  19109  resghm2b  19110  conjsubg  19124  conjsubgen  19125  conjnmz  19126  conjnmzb  19127  qusghm  19129  subgga  19164  gastacos  19174  orbstafun  19175  cntrsubgnsg  19207  oppgsubg  19230  isslw  19476  sylow2blem1  19488  sylow2blem2  19489  sylow2blem3  19490  slwhash  19492  lsmval  19516  lsmelval  19517  lsmelvali  19518  lsmelvalm  19519  lsmsubg  19522  lsmless1  19528  lsmless2  19529  lsmless12  19530  lsmass  19537  lsm01  19539  lsm02  19540  subglsm  19541  lsmmod  19543  lsmcntz  19547  lsmcntzr  19548  lsmdisj2  19550  subgdisj1  19559  pj1f  19565  pj1id  19567  pj1lid  19569  pj1rid  19570  pj1ghm  19571  subgdmdprd  19904  subgdprd  19905  dprdsn  19906  pgpfaclem2  19952  cldsubg  23615  gsumsubg  32198  qusker  32464  grplsmid  32514  quslsm  32516  qus0g  32518  qusrn  32520  nsgqus0  32521  nsgmgclem  32522  nsgqusf1olem1  32524  nsgqusf1olem2  32525  nsgqusf1olem3  32526  ghmquskerlem3  32531  ecqusaddcl  46769