Theorem subgrcl 19162

Description: Reverse closure for the subgroup predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
subgrcl	⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Proof of Theorem subgrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	issubg 19157	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺) ∧ (𝐺 ↾s 𝑆) ∈ Grp))
3	2	simp1bi 1144	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-subg 19154

This theorem is referenced by:  subg0  19163  subginv  19164  subgmulgcl  19170  subgsubm  19179  subsubg  19180  subgint  19181  isnsg  19186  nsgconj  19190  isnsg3  19191  ssnmz  19197  nmznsg  19199  eqger  19209  eqgid  19211  eqgen  19212  eqgcpbl  19213  qusgrp  19217  quseccl  19218  qusadd  19219  qus0  19220  qusinv  19221  qussub  19222  ecqusaddcl  19224  resghm2  19264  resghm2b  19265  conjsubg  19281  conjsubgen  19282  conjnmz  19283  conjnmzb  19284  qusghm  19286  ghmqusnsg  19313  ghmquskerlem3  19317  subgga  19331  gastacos  19341  orbstafun  19342  cntrsubgnsg  19374  oppgsubg  19397  isslw  19641  sylow2blem1  19653  sylow2blem2  19654  sylow2blem3  19655  slwhash  19657  lsmval  19681  lsmelval  19682  lsmelvali  19683  lsmelvalm  19684  lsmsubg  19687  lsmless1  19693  lsmless2  19694  lsmless12  19695  lsmass  19702  lsm01  19704  lsm02  19705  subglsm  19706  lsmmod  19708  lsmcntz  19712  lsmcntzr  19713  lsmdisj2  19715  subgdisj1  19724  pj1f  19730  pj1id  19732  pj1lid  19734  pj1rid  19735  pj1ghm  19736  subgdmdprd  20069  subgdprd  20070  dprdsn  20071  pgpfaclem2  20117  cldsubg  24135  gsumsubg  33032  qusker  33357  grplsmid  33412  quslsm  33413  qus0g  33415  qusrn  33417  nsgqus0  33418  nsgmgclem  33419  nsgqusf1olem1  33421  nsgqusf1olem2  33422  nsgqusf1olem3  33423