Theorem nsgsubg 19131

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19128	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  SubGrpcsubg 19094  NrmSGrpcnsg 19095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7366  df-subg 19097  df-nsg 19098

This theorem is referenced by:  nsgconj  19132  isnsg3  19133  trivnsgd  19145  eqgcpbl  19155  qusgrp  19159  quseccl  19160  qusadd  19161  qus0  19162  qusinv  19163  qussub  19164  ecqusaddcl  19166  ghmnsgima  19213  ghmnsgpreima  19214  conjnsg  19227  qusghm  19228  ghmqusnsglem1  19253  ghmqusnsglem2  19254  ghmqusnsg  19255  ghmquskerlem1  19256  ghmquskerlem2  19258  ghmquskerlem3  19259  ghmqusker  19260  sylow3lem4  19603  prmgrpsimpgd  20089  rhmqusnsg  21285  rngqiprngimf1lem  21294  rngqiprngimf1  21300  rngqiprngimfo  21301  rngqiprngfulem4  21314  rngqipring1  21316  clsnsg  24100  qustgpopn  24110  qustgphaus  24113  cyc3genpm  33240  qusker  33439  qus0g  33497  qusima  33498  qusrn  33499  nsgqus0  33500  nsgmgclem  33501  nsgmgc  33502  nsgqusf1olem1  33503  nsgqusf1olem2  33504  nsgqusf1olem3  33505  lmhmqusker  33507  rhmquskerlem  33515  qsnzr  33545  opprqusplusg  33579  opprqus0g  33580  qsdrngilem  33584  qsdrngi  33585