Theorem nsgsubg 19171

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2752	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2752	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19168	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 499	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2132  ∀wral 3066  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  +_gcplusg 17258  SubGrpcsubg 19134  NrmSGrpcnsg 19135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-id 5531  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fv 6514  df-ov 7384  df-subg 19137  df-nsg 19138

This theorem is referenced by:  nsgconj  19172  isnsg3  19173  trivnsgd  19185  eqgcpbl  19195  qusgrp  19199  quseccl  19200  qusadd  19201  qus0  19202  qusinv  19203  qussub  19204  ecqusaddcl  19206  ghmnsgima  19252  ghmnsgpreima  19253  conjnsg  19266  qusghm  19267  ghmqusnsglem1  19292  ghmqusnsglem2  19293  ghmqusnsg  19294  ghmquskerlem1  19295  ghmquskerlem2  19297  ghmquskerlem3  19298  ghmqusker  19299  sylow3lem4  19642  prmgrpsimpgd  20128  rhmqusnsg  21324  rngqiprngimf1lem  21333  rngqiprngimf1  21339  rngqiprngimfo  21340  rngqiprngfulem4  21353  rngqipring1  21355  clsnsg  24139  qustgpopn  24149  qustgphaus  24152  cyc3genpm  33282  qusker  33481  qus0g  33539  qusima  33540  qusrn  33541  nsgqus0  33542  nsgmgclem  33543  nsgmgc  33544  nsgqusf1olem1  33545  nsgqusf1olem2  33546  nsgqusf1olem3  33547  lmhmqusker  33549  rhmquskerlem  33557  qsnzr  33587  opprqusplusg  33621  opprqus0g  33622  qsdrngilem  33626  qsdrngi  33627