Theorem nsgsubg 19099

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19096	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 496	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  SubGrpcsubg 19062  NrmSGrpcnsg 19063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fv 6508  df-ov 7371  df-subg 19065  df-nsg 19066

This theorem is referenced by:  nsgconj  19100  isnsg3  19101  trivnsgd  19113  eqgcpbl  19123  qusgrp  19127  quseccl  19128  qusadd  19129  qus0  19130  qusinv  19131  qussub  19132  ecqusaddcl  19134  ghmnsgima  19181  ghmnsgpreima  19182  conjnsg  19195  qusghm  19196  ghmqusnsglem1  19221  ghmqusnsglem2  19222  ghmqusnsg  19223  ghmquskerlem1  19224  ghmquskerlem2  19226  ghmquskerlem3  19227  ghmqusker  19228  sylow3lem4  19571  prmgrpsimpgd  20057  rhmqusnsg  21252  rngqiprngimf1lem  21261  rngqiprngimf1  21267  rngqiprngimfo  21268  rngqiprngfulem4  21281  rngqipring1  21283  clsnsg  24066  qustgpopn  24076  qustgphaus  24079  cyc3genpm  33245  qusker  33441  qus0g  33499  qusima  33500  qusrn  33501  nsgqus0  33502  nsgmgclem  33503  nsgmgc  33504  nsgqusf1olem1  33505  nsgqusf1olem2  33506  nsgqusf1olem3  33507  lmhmqusker  33509  rhmquskerlem  33517  qsnzr  33547  opprqusplusg  33581  opprqus0g  33582  qsdrngilem  33586  qsdrngi  33587