Theorem nsgsubg 19087

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19084	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  SubGrpcsubg 19050  NrmSGrpcnsg 19051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7361  df-subg 19053  df-nsg 19054

This theorem is referenced by:  nsgconj  19088  isnsg3  19089  trivnsgd  19101  eqgcpbl  19111  qusgrp  19115  quseccl  19116  qusadd  19117  qus0  19118  qusinv  19119  qussub  19120  ecqusaddcl  19122  ghmnsgima  19169  ghmnsgpreima  19170  conjnsg  19183  qusghm  19184  ghmqusnsglem1  19209  ghmqusnsglem2  19210  ghmqusnsg  19211  ghmquskerlem1  19212  ghmquskerlem2  19214  ghmquskerlem3  19215  ghmqusker  19216  sylow3lem4  19559  prmgrpsimpgd  20045  rhmqusnsg  21240  rngqiprngimf1lem  21249  rngqiprngimf1  21255  rngqiprngimfo  21256  rngqiprngfulem4  21269  rngqipring1  21271  clsnsg  24054  qustgpopn  24064  qustgphaus  24067  cyc3genpm  33234  qusker  33430  qus0g  33488  qusima  33489  qusrn  33490  nsgqus0  33491  nsgmgclem  33492  nsgmgc  33493  nsgqusf1olem1  33494  nsgqusf1olem2  33495  nsgqusf1olem3  33496  lmhmqusker  33498  rhmquskerlem  33506  qsnzr  33536  opprqusplusg  33570  opprqus0g  33571  qsdrngilem  33575  qsdrngi  33576