Theorem nsgsubg 19255

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19252	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  +_gcplusg 17335  SubGrpcsubg 19217  NrmSGrpcnsg 19218

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fv 6551  df-ov 7426  df-subg 19220  df-nsg 19221

This theorem is used by:  nsgconj  19256  isnsg3  19257  trivnsgd  19269  eqgcpbl  19281  qusgrp  19288  quseccl  19289  qusadd  19290  qus0  19291  qusinv  19292  qussub  19293  ecqusaddcl  19295  ghmnsgima  19341  ghmnsgpreima  19342  conjnsg  19355  qusghm  19356  ghmqusnsglem1  19381  ghmqusnsglem2  19382  ghmqusnsg  19383  ghmquskerlem1  19384  ghmquskerlem2  19386  ghmquskerlem3  19387  ghmqusker  19388  sylow3lem4  19731  prmgrpsimpgd  20217  rhmqusnsg  21462  rngqiprngimf1lem  21471  rngqiprngimf1  21477  rngqiprngimfo  21478  rngqiprngfulem4  21491  rngqipring1  21493  qsnzr  21520  clsnsg  24304  qustgpopn  24314  qustgphaus  24317  cyc3genpm  33503  qusker  33700  qus0g  33747  qusima  33748  qusrn  33749  nsgqus0  33750  nsgmgclem  33751  nsgmgc  33752  nsgqusf1olem1  33753  nsgqusf1olem2  33754  nsgqusf1olem3  33755  lmhmqusker  33757  rhmquskerlem  33764  opprqusplusg  33802  opprqus0g  33803  qsdrngilem  33807  qsdrngi  33808