Theorem nsgsubg 18767

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 18764	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  +_gcplusg 16943  SubGrpcsubg 18730  NrmSGrpcnsg 18731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fv 6438  df-ov 7271  df-subg 18733  df-nsg 18734

This theorem is referenced by:  nsgconj  18768  isnsg3  18769  trivnsgd  18781  eqgcpbl  18791  qusgrp  18792  quseccl  18793  qusadd  18794  qus0  18795  qusinv  18796  qussub  18797  ghmnsgima  18839  ghmnsgpreima  18840  conjnsg  18851  qusghm  18852  sylow3lem4  19216  prmgrpsimpgd  19698  clsnsg  23242  qustgpopn  23252  qustgphaus  23255  cyc3genpm  31398  qusker  31528  qusima  31573  nsgqus0  31574  nsgmgclem  31575  nsgmgc  31576  nsgqusf1olem1  31577  nsgqusf1olem2  31578  nsgqusf1olem3  31579