Theorem nsgsubg 19348

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19345	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  SubGrpcsubg 19310  NrmSGrpcnsg 19311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fv 6539  df-ov 7415  df-subg 19313  df-nsg 19314

This theorem is used by:  nsgconj  19349  isnsg3  19350  trivnsgd  19362  eqgcpbl  19374  qusgrp  19381  quseccl  19382  qusadd  19383  qus0  19384  qusinv  19385  qussub  19386  ecqusaddcl  19388  ghmnsgima  19434  ghmnsgpreima  19435  conjnsg  19448  qusghm  19449  ghmqusnsglem1  19474  ghmqusnsglem2  19475  ghmqusnsg  19476  ghmquskerlem1  19477  ghmquskerlem2  19479  ghmquskerlem3  19480  ghmqusker  19481  sylow3lem4  19824  prmgrpsimpgd  20310  rhmqusnsg  21561  rngqiprngimf1lem  21570  rngqiprngimf1  21576  rngqiprngimfo  21577  rngqiprngfulem4  21590  rngqipring1  21592  qsnzr  21619  clsnsg  24409  qustgpopn  24419  qustgphaus  24422  cyc3genpm  33695  qusker  33892  qus0g  33940  qusima  33941  qusrn  33942  nsgqus0  33943  nsgmgclem  33944  nsgmgc  33945  nsgqusf1olem1  33946  nsgqusf1olem2  33947  nsgqusf1olem3  33948  lmhmqusker  33950  rhmquskerlem  33957  opprqusplusg  33995  opprqus0g  33996  qsdrngilem  34000  qsdrngi  34001