Theorem nsgsubg 19215

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19212	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 501	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3079  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  +_gcplusg 17300  SubGrpcsubg 19177  NrmSGrpcnsg 19178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fv 6533  df-ov 7403  df-subg 19180  df-nsg 19181

This theorem is referenced by:  nsgconj  19216  isnsg3  19217  trivnsgd  19229  eqgcpbl  19241  qusgrp  19248  quseccl  19249  qusadd  19250  qus0  19251  qusinv  19252  qussub  19253  ecqusaddcl  19255  ghmnsgima  19301  ghmnsgpreima  19302  conjnsg  19315  qusghm  19316  ghmqusnsglem1  19341  ghmqusnsglem2  19342  ghmqusnsg  19343  ghmquskerlem1  19344  ghmquskerlem2  19346  ghmquskerlem3  19347  ghmqusker  19348  sylow3lem4  19691  prmgrpsimpgd  20177  rhmqusnsg  21387  rngqiprngimf1lem  21396  rngqiprngimf1  21402  rngqiprngimfo  21403  rngqiprngfulem4  21416  rngqipring1  21418  qsnzr  21443  clsnsg  24228  qustgpopn  24238  qustgphaus  24241  cyc3genpm  33385  qusker  33584  qus0g  33632  qusima  33633  qusrn  33634  nsgqus0  33635  nsgmgclem  33636  nsgmgc  33637  nsgqusf1olem1  33638  nsgqusf1olem2  33639  nsgqusf1olem3  33640  lmhmqusker  33642  rhmquskerlem  33649  opprqusplusg  33688  opprqus0g  33689  qsdrngilem  33693  qsdrngi  33694