Theorem nsgsubg 19400

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19397	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  +_gcplusg 17460  SubGrpcsubg 19362  NrmSGrpcnsg 19363

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7449  df-subg 19365  df-nsg 19366

This theorem is used by:  nsgconj  19401  isnsg3  19402  trivnsgd  19414  eqgcpbl  19426  qusgrp  19433  quseccl  19434  qusadd  19435  qus0  19436  qusinv  19437  qussub  19438  ecqusaddcl  19440  ghmnsgima  19486  ghmnsgpreima  19487  conjnsg  19500  qusghm  19501  ghmqusnsglem1  19527  ghmqusnsglem2  19528  ghmqusnsg  19529  ghmquskerlem1  19530  ghmquskerlem2  19532  ghmquskerlem3  19533  ghmqusker  19534  sylow3lem4  19877  prmgrpsimpgd  20363  rhmqusnsg  21614  rngqiprngimf1lem  21623  rngqiprngimf1  21629  rngqiprngimfo  21630  rngqiprngfulem4  21643  rngqipring1  21645  qsnzr  21672  clsnsg  24462  qustgpopn  24472  qustgphaus  24475  cyc3genpm  33789  qusker  33994  qus0g  34042  qusima  34043  qusrn  34044  nsgqus0  34045  nsgmgclem  34046  nsgmgc  34047  nsgqusf1olem1  34048  nsgqusf1olem2  34049  nsgqusf1olem3  34050  lmhmqusker  34052  rhmquskerlem  34059  opprqusplusg  34097  opprqus0g  34098  qsdrngilem  34102  qsdrngi  34103