Theorem nsgsubg 19287

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19284	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 502	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  SubGrpcsubg 19249  NrmSGrpcnsg 19250

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7420  df-subg 19252  df-nsg 19253

This theorem is used by:  nsgconj  19288  isnsg3  19289  trivnsgd  19301  eqgcpbl  19313  qusgrp  19320  quseccl  19321  qusadd  19322  qus0  19323  qusinv  19324  qussub  19325  ecqusaddcl  19327  ghmnsgima  19373  ghmnsgpreima  19374  conjnsg  19387  qusghm  19388  ghmqusnsglem1  19413  ghmqusnsglem2  19414  ghmqusnsg  19415  ghmquskerlem1  19416  ghmquskerlem2  19418  ghmquskerlem3  19419  ghmqusker  19420  sylow3lem4  19763  prmgrpsimpgd  20249  rhmqusnsg  21494  rngqiprngimf1lem  21503  rngqiprngimf1  21509  rngqiprngimfo  21510  rngqiprngfulem4  21523  rngqipring1  21525  qsnzr  21552  clsnsg  24342  qustgpopn  24352  qustgphaus  24355  cyc3genpm  33600  qusker  33797  qus0g  33844  qusima  33845  qusrn  33846  nsgqus0  33847  nsgmgclem  33848  nsgmgc  33849  nsgqusf1olem1  33850  nsgqusf1olem2  33851  nsgqusf1olem3  33852  lmhmqusker  33854  rhmquskerlem  33861  opprqusplusg  33899  opprqus0g  33900  qsdrngilem  33904  qsdrngi  33905