Theorem nsgsubg 19182

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19179	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 500	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  SubGrpcsubg 19145  NrmSGrpcnsg 19146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fv 6525  df-ov 7395  df-subg 19148  df-nsg 19149

This theorem is referenced by:  nsgconj  19183  isnsg3  19184  trivnsgd  19196  eqgcpbl  19206  qusgrp  19210  quseccl  19211  qusadd  19212  qus0  19213  qusinv  19214  qussub  19215  ecqusaddcl  19217  ghmnsgima  19263  ghmnsgpreima  19264  conjnsg  19277  qusghm  19278  ghmqusnsglem1  19303  ghmqusnsglem2  19304  ghmqusnsg  19305  ghmquskerlem1  19306  ghmquskerlem2  19308  ghmquskerlem3  19309  ghmqusker  19310  sylow3lem4  19653  prmgrpsimpgd  20139  rhmqusnsg  21335  rngqiprngimf1lem  21344  rngqiprngimf1  21350  rngqiprngimfo  21351  rngqiprngfulem4  21364  rngqipring1  21366  clsnsg  24150  qustgpopn  24160  qustgphaus  24163  cyc3genpm  33293  qusker  33496  qus0g  33554  qusima  33555  qusrn  33556  nsgqus0  33557  nsgmgclem  33558  nsgmgc  33559  nsgqusf1olem1  33560  nsgqusf1olem2  33561  nsgqusf1olem3  33562  lmhmqusker  33564  rhmquskerlem  33572  qsnzr  33603  opprqusplusg  33638  opprqus0g  33639  qsdrngilem  33643  qsdrngi  33644