Theorem nsgsubg 19225

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19222	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 501	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  +_gcplusg 17311  SubGrpcsubg 19187  NrmSGrpcnsg 19188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7415  df-subg 19190  df-nsg 19191

This theorem is referenced by:  nsgconj  19226  isnsg3  19227  trivnsgd  19239  eqgcpbl  19251  qusgrp  19258  quseccl  19259  qusadd  19260  qus0  19261  qusinv  19262  qussub  19263  ecqusaddcl  19265  ghmnsgima  19311  ghmnsgpreima  19312  conjnsg  19325  qusghm  19326  ghmqusnsglem1  19351  ghmqusnsglem2  19352  ghmqusnsg  19353  ghmquskerlem1  19354  ghmquskerlem2  19356  ghmquskerlem3  19357  ghmqusker  19358  sylow3lem4  19701  prmgrpsimpgd  20187  rhmqusnsg  21406  rngqiprngimf1lem  21415  rngqiprngimf1  21421  rngqiprngimfo  21422  rngqiprngfulem4  21435  rngqipring1  21437  qsnzr  21464  clsnsg  24248  qustgpopn  24258  qustgphaus  24261  cyc3genpm  33450  qusker  33647  qus0g  33694  qusima  33695  qusrn  33696  nsgqus0  33697  nsgmgclem  33698  nsgmgc  33699  nsgqusf1olem1  33700  nsgqusf1olem2  33701  nsgqusf1olem3  33702  lmhmqusker  33704  rhmquskerlem  33711  opprqusplusg  33749  opprqus0g  33750  qsdrngilem  33754  qsdrngi  33755