Theorem nsgsubg 19189

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19186	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 497	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-ov 7434  df-subg 19154  df-nsg 19155

This theorem is referenced by:  nsgconj  19190  isnsg3  19191  trivnsgd  19203  eqgcpbl  19213  qusgrp  19217  quseccl  19218  qusadd  19219  qus0  19220  qusinv  19221  qussub  19222  ecqusaddcl  19224  ghmnsgima  19271  ghmnsgpreima  19272  conjnsg  19285  qusghm  19286  ghmqusnsglem1  19311  ghmqusnsglem2  19312  ghmqusnsg  19313  ghmquskerlem1  19314  ghmquskerlem2  19316  ghmquskerlem3  19317  ghmqusker  19318  sylow3lem4  19663  prmgrpsimpgd  20149  rhmqusnsg  21313  rngqiprngimf1lem  21322  rngqiprngimf1  21328  rngqiprngimfo  21329  rngqiprngfulem4  21342  rngqipring1  21344  clsnsg  24134  qustgpopn  24144  qustgphaus  24147  cyc3genpm  33155  qusker  33357  qus0g  33415  qusima  33416  qusrn  33417  nsgqus0  33418  nsgmgclem  33419  nsgmgc  33420  nsgqusf1olem1  33421  nsgqusf1olem2  33422  nsgqusf1olem3  33423  lmhmqusker  33425  rhmquskerlem  33433  qsnzr  33463  opprqusplusg  33497  opprqus0g  33498  qsdrngilem  33502  qsdrngi  33503