Theorem nsgsubg 19124

Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nsgsubg	⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3	1, 2	isnsg 19121	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g‘𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
4	3	simplbi 496	1 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  SubGrpcsubg 19087  NrmSGrpcnsg 19088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fv 6500  df-ov 7363  df-subg 19090  df-nsg 19091

This theorem is referenced by:  nsgconj  19125  isnsg3  19126  trivnsgd  19138  eqgcpbl  19148  qusgrp  19152  quseccl  19153  qusadd  19154  qus0  19155  qusinv  19156  qussub  19157  ecqusaddcl  19159  ghmnsgima  19206  ghmnsgpreima  19207  conjnsg  19220  qusghm  19221  ghmqusnsglem1  19246  ghmqusnsglem2  19247  ghmqusnsg  19248  ghmquskerlem1  19249  ghmquskerlem2  19251  ghmquskerlem3  19252  ghmqusker  19253  sylow3lem4  19596  prmgrpsimpgd  20082  rhmqusnsg  21275  rngqiprngimf1lem  21284  rngqiprngimf1  21290  rngqiprngimfo  21291  rngqiprngfulem4  21304  rngqipring1  21306  clsnsg  24085  qustgpopn  24095  qustgphaus  24098  cyc3genpm  33228  qusker  33424  qus0g  33482  qusima  33483  qusrn  33484  nsgqus0  33485  nsgmgclem  33486  nsgmgc  33487  nsgqusf1olem1  33488  nsgqusf1olem2  33489  nsgqusf1olem3  33490  lmhmqusker  33492  rhmquskerlem  33500  qsnzr  33530  opprqusplusg  33564  opprqus0g  33565  qsdrngilem  33569  qsdrngi  33570