MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nsgsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nsgsubg 18301
Description: A normal subgroup is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
nsgsubg (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Proof of Theorem nsgsubg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . 3 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 eqid 2822 . . 3 (+g𝐺) = (+g𝐺)
31, 2isnsg 18298 . 2 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐺)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐺)((𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦(+g𝐺)𝑥) ∈ 𝑆)))
43simplbi 501 1 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wcel 2114  wral 3130  cfv 6334  (class class class)co 7140  Basecbs 16474  +gcplusg 16556  SubGrpcsubg 18264  NrmSGrpcnsg 18265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fv 6342  df-ov 7143  df-subg 18267  df-nsg 18268
This theorem is referenced by:  nsgconj  18302  isnsg3  18303  trivnsgd  18315  eqgcpbl  18325  qusgrp  18326  quseccl  18327  qusadd  18328  qus0  18329  qusinv  18330  qussub  18331  ghmnsgima  18373  ghmnsgpreima  18374  conjnsg  18385  qusghm  18386  sylow3lem4  18746  prmgrpsimpgd  19227  clsnsg  22713  qustgpopn  22723  qustgphaus  22726  cyc3genpm  30825  qusker  30950
  Copyright terms: Public domain W3C validator