Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrclsk2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrclsk2 43121
Description: An interior function is contracting if and only if the closure function is expansive. (Contributed by RP, 9-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrcls.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 βˆ– (π‘˜β€˜(𝑖 βˆ– 𝑗))))))
ntrcls.d 𝐷 = (π‘‚β€˜π΅)
ntrcls.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐷𝐾)
Assertion
Ref Expression
ntrclsk2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑠   𝑗,𝐼,π‘˜,𝑠   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑠)   𝐼(𝑖)   𝐾(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑠)   𝑂(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑠)

Proof of Theorem ntrclsk2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . . 4 (𝑠 = 𝑑 β†’ (πΌβ€˜π‘ ) = (πΌβ€˜π‘‘))
2 id 22 . . . 4 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝑠 = 𝑑)
31, 2sseq12d 4014 . . 3 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ (πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑))
43cbvralvw 3232 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑)
5 ntrcls.d . . . . 5 𝐷 = (π‘‚β€˜π΅)
6 ntrcls.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐷𝐾)
75, 6ntrclsrcomplex 43088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝑠) ∈ 𝒫 𝐡)
87adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑠) ∈ 𝒫 𝐡)
95, 6ntrclsrcomplex 43088 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝑑) ∈ 𝒫 𝐡)
109adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑑) ∈ 𝒫 𝐡)
11 difeq2 4115 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐡 βˆ– 𝑑) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑠) = (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑)))
1211eqeq2d 2741 . . . . 5 (𝑠 = (𝐡 βˆ– 𝑑) β†’ (𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ 𝑑 = (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑))))
1312adantl 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 = (𝐡 βˆ– 𝑑)) β†’ (𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ 𝑑 = (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑))))
14 elpwi 4608 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑑 βŠ† 𝐡)
15 dfss4 4257 . . . . . . 7 (𝑑 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑)) = 𝑑)
1614, 15sylib 217 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑)) = 𝑑)
1716adantl 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑)) = 𝑑)
1817eqcomd 2736 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑑 = (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑)))
1910, 13, 18rspcedvd 3613 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐡𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠))
20 fveq2 6890 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) = (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))
21 id 22 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠) β†’ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠))
2220, 21sseq12d 4014 . . . . 5 (𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑 ↔ (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠)))
23223ad2ant3 1133 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑 ↔ (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠)))
24 ntrcls.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 βˆ– (π‘˜β€˜(𝑖 βˆ– 𝑗))))))
2524, 5, 6ntrclsiex 43106 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
26 elmapi 8845 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
28273ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2973ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑠) ∈ 𝒫 𝐡)
3028, 29ffvelcdmd 7086 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) ∈ 𝒫 𝐡)
3130elpwid 4610 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† 𝐡)
32 difssd 4131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑠) βŠ† 𝐡)
33 sscon34b 4293 . . . . . . 7 (((πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– 𝑠) βŠ† 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
3431, 32, 33syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
35 simp2 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
36 elpwi 4608 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
37 dfss4 4257 . . . . . . . . 9 (𝑠 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) = 𝑠)
3836, 37sylib 217 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) = 𝑠)
3938sseq1d 4012 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ ((𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠))) ↔ 𝑠 βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
4035, 39syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠))) ↔ 𝑠 βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
4134, 40bitrd 278 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ 𝑠 βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
425, 6ntrclsbex 43087 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
43423ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ 𝐡 ∈ V)
44253ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
45 eqid 2730 . . . . . . 7 (π·β€˜πΌ) = (π·β€˜πΌ)
46 eqid 2730 . . . . . . 7 ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) = ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ )
4724, 5, 43, 44, 45, 35, 46dssmapfv3d 43072 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) = (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠))))
4847sseq2d 4013 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (𝑠 βŠ† ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) ↔ 𝑠 βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
4924, 5, 6ntrclsfv1 43108 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΌ) = 𝐾)
5049fveq1d 6892 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π‘ ))
5150sseq2d 4013 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 βŠ† ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) ↔ 𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
52513ad2ant1 1131 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (𝑠 βŠ† ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) ↔ 𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
5341, 48, 523bitr2d 306 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ 𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
5423, 53bitrd 278 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑 ↔ 𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
558, 19, 54ralxfrd2 5409 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
564, 55bitrid 282 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator