Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrclsk2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrclsk2 43122
Description: An interior function is contracting if and only if the closure function is expansive. (Contributed by RP, 9-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrcls.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 βˆ– (π‘˜β€˜(𝑖 βˆ– 𝑗))))))
ntrcls.d 𝐷 = (π‘‚β€˜π΅)
ntrcls.r (πœ‘ β†’ 𝐼𝐷𝐾)
Assertion
Ref Expression
ntrclsk2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑠   𝑗,𝐼,π‘˜,𝑠   πœ‘,𝑖,𝑗,π‘˜,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑠)   𝐼(𝑖)   𝐾(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑠)   𝑂(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑠)

Proof of Theorem ntrclsk2
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . 4 (𝑠 = 𝑑 β†’ (πΌβ€˜π‘ ) = (πΌβ€˜π‘‘))
2 id 22 . . . 4 (𝑠 = 𝑑 β†’ 𝑠 = 𝑑)
31, 2sseq12d 4015 . . 3 (𝑠 = 𝑑 β†’ ((πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ (πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑))
43cbvralvw 3233 . 2 (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑)
5 ntrcls.d . . . . 5 𝐷 = (π‘‚β€˜π΅)
6 ntrcls.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼𝐷𝐾)
75, 6ntrclsrcomplex 43089 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝑠) ∈ 𝒫 𝐡)
87adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑠) ∈ 𝒫 𝐡)
95, 6ntrclsrcomplex 43089 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ– 𝑑) ∈ 𝒫 𝐡)
109adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑑) ∈ 𝒫 𝐡)
11 difeq2 4116 . . . . . 6 (𝑠 = (𝐡 βˆ– 𝑑) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑠) = (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑)))
1211eqeq2d 2742 . . . . 5 (𝑠 = (𝐡 βˆ– 𝑑) β†’ (𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ 𝑑 = (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑))))
1312adantl 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 = (𝐡 βˆ– 𝑑)) β†’ (𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ 𝑑 = (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑))))
14 elpwi 4609 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑑 βŠ† 𝐡)
15 dfss4 4258 . . . . . . 7 (𝑑 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑)) = 𝑑)
1614, 15sylib 217 . . . . . 6 (𝑑 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑)) = 𝑑)
1716adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑)) = 𝑑)
1817eqcomd 2737 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑑 = (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑑)))
1910, 13, 18rspcedvd 3614 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝒫 𝐡𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠))
20 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠) β†’ (πΌβ€˜π‘‘) = (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))
21 id 22 . . . . . 6 (𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠) β†’ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠))
2220, 21sseq12d 4015 . . . . 5 (𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑 ↔ (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠)))
23223ad2ant3 1134 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑 ↔ (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠)))
24 ntrcls.o . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (𝑖 ∈ V ↦ (π‘˜ ∈ (𝒫 𝑖 ↑m 𝒫 𝑖) ↦ (𝑗 ∈ 𝒫 𝑖 ↦ (𝑖 βˆ– (π‘˜β€˜(𝑖 βˆ– 𝑗))))))
2524, 5, 6ntrclsiex 43107 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
26 elmapi 8846 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
28273ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ 𝐼:𝒫 π΅βŸΆπ’« 𝐡)
2973ad2ant1 1132 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑠) ∈ 𝒫 𝐡)
3028, 29ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) ∈ 𝒫 𝐡)
3130elpwid 4611 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† 𝐡)
32 difssd 4132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (𝐡 βˆ– 𝑠) βŠ† 𝐡)
33 sscon34b 4294 . . . . . . 7 (((πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† 𝐡 ∧ (𝐡 βˆ– 𝑠) βŠ† 𝐡) β†’ ((πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
3431, 32, 33syl2anc 583 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
35 simp2 1136 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡)
36 elpwi 4609 . . . . . . . . 9 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑠 βŠ† 𝐡)
37 dfss4 4258 . . . . . . . . 9 (𝑠 βŠ† 𝐡 ↔ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) = 𝑠)
3836, 37sylib 217 . . . . . . . 8 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) = 𝑠)
3938sseq1d 4013 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ ((𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠))) ↔ 𝑠 βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
4035, 39syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((𝐡 βˆ– (𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠))) ↔ 𝑠 βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
4134, 40bitrd 279 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ 𝑠 βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
425, 6ntrclsbex 43088 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
43423ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ 𝐡 ∈ V)
44253ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ 𝐼 ∈ (𝒫 𝐡 ↑m 𝒫 𝐡))
45 eqid 2731 . . . . . . 7 (π·β€˜πΌ) = (π·β€˜πΌ)
46 eqid 2731 . . . . . . 7 ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) = ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ )
4724, 5, 43, 44, 45, 35, 46dssmapfv3d 43073 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) = (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠))))
4847sseq2d 4014 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (𝑠 βŠ† ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) ↔ 𝑠 βŠ† (𝐡 βˆ– (πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)))))
4924, 5, 6ntrclsfv1 43109 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π·β€˜πΌ) = 𝐾)
5049fveq1d 6893 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) = (πΎβ€˜π‘ ))
5150sseq2d 4014 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑠 βŠ† ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) ↔ 𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
52513ad2ant1 1132 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ (𝑠 βŠ† ((π·β€˜πΌ)β€˜π‘ ) ↔ 𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
5341, 48, 523bitr2d 307 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((πΌβ€˜(𝐡 βˆ– 𝑠)) βŠ† (𝐡 βˆ– 𝑠) ↔ 𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
5423, 53bitrd 279 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑑 = (𝐡 βˆ– 𝑠)) β†’ ((πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑 ↔ 𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
558, 19, 54ralxfrd2 5410 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘‘) βŠ† 𝑑 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
564, 55bitrid 283 1 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡(πΌβ€˜π‘ ) βŠ† 𝑠 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝐡𝑠 βŠ† (πΎβ€˜π‘ )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   βŠ† wss 3948  π’« cpw 4602   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-map 8825
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator