Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cnex 11140 |
. . . 4
β’ β
β V |
2 | | reex 11150 |
. . . 4
β’ β
β V |
3 | | elpm2r 8789 |
. . . 4
β’
(((β β V β§ β β V) β§ (πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β)) β πΉ β (β βpm
β)) |
4 | 1, 2, 3 | mpanl12 701 |
. . 3
β’ ((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β πΉ β (β βpm
β)) |
5 | | elo1 15417 |
. . . 4
β’ (πΉ β π(1) β
(πΉ β (β
βpm β) β§ βπ₯ β β βπ β β βπ¦ β (dom πΉ β© (π₯[,)+β))(absβ(πΉβπ¦)) β€ π)) |
6 | 5 | baib 537 |
. . 3
β’ (πΉ β (β
βpm β) β (πΉ β π(1) β βπ₯ β β βπ β β βπ¦ β (dom πΉ β© (π₯[,)+β))(absβ(πΉβπ¦)) β€ π)) |
7 | 4, 6 | syl 17 |
. 2
β’ ((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β (πΉ β π(1) β βπ₯ β β βπ β β βπ¦ β (dom πΉ β© (π₯[,)+β))(absβ(πΉβπ¦)) β€ π)) |
8 | | elin 3930 |
. . . . . . . 8
β’ (π¦ β (dom πΉ β© (π₯[,)+β)) β (π¦ β dom πΉ β§ π¦ β (π₯[,)+β))) |
9 | | fdm 6681 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (πΉ:π΄βΆβ β dom πΉ = π΄) |
10 | 9 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β dom πΉ = π΄) |
11 | 10 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β (π¦ β dom πΉ β π¦ β π΄)) |
12 | 11 | anbi1d 631 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β ((π¦ β dom πΉ β§ π¦ β (π₯[,)+β)) β (π¦ β π΄ β§ π¦ β (π₯[,)+β)))) |
13 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β π΄ β β) |
14 | 13 | sselda 3948 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β§ π¦ β π΄) β π¦ β β) |
15 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β§ π¦ β π΄) β π₯ β β) |
16 | | elicopnf 13371 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π₯ β β β (π¦ β (π₯[,)+β) β (π¦ β β β§ π₯ β€ π¦))) |
17 | 15, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β§ π¦ β π΄) β (π¦ β (π₯[,)+β) β (π¦ β β β§ π₯ β€ π¦))) |
18 | 14, 17 | mpbirand 706 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β§ π¦ β π΄) β (π¦ β (π₯[,)+β) β π₯ β€ π¦)) |
19 | 18 | pm5.32da 580 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β ((π¦ β π΄ β§ π¦ β (π₯[,)+β)) β (π¦ β π΄ β§ π₯ β€ π¦))) |
20 | 12, 19 | bitrd 279 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β ((π¦ β dom πΉ β§ π¦ β (π₯[,)+β)) β (π¦ β π΄ β§ π₯ β€ π¦))) |
21 | 8, 20 | bitrid 283 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β (π¦ β (dom πΉ β© (π₯[,)+β)) β (π¦ β π΄ β§ π₯ β€ π¦))) |
22 | 21 | imbi1d 342 |
. . . . . 6
β’ ((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β ((π¦ β (dom πΉ β© (π₯[,)+β)) β (absβ(πΉβπ¦)) β€ π) β ((π¦ β π΄ β§ π₯ β€ π¦) β (absβ(πΉβπ¦)) β€ π))) |
23 | | impexp 452 |
. . . . . 6
β’ (((π¦ β π΄ β§ π₯ β€ π¦) β (absβ(πΉβπ¦)) β€ π) β (π¦ β π΄ β (π₯ β€ π¦ β (absβ(πΉβπ¦)) β€ π))) |
24 | 22, 23 | bitrdi 287 |
. . . . 5
β’ ((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β ((π¦ β (dom πΉ β© (π₯[,)+β)) β (absβ(πΉβπ¦)) β€ π) β (π¦ β π΄ β (π₯ β€ π¦ β (absβ(πΉβπ¦)) β€ π)))) |
25 | 24 | ralbidv2 3167 |
. . . 4
β’ ((((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β§ π β β) β (βπ¦ β (dom πΉ β© (π₯[,)+β))(absβ(πΉβπ¦)) β€ π β βπ¦ β π΄ (π₯ β€ π¦ β (absβ(πΉβπ¦)) β€ π))) |
26 | 25 | rexbidva 3170 |
. . 3
β’ (((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β§ π₯ β β) β (βπ β β βπ¦ β (dom πΉ β© (π₯[,)+β))(absβ(πΉβπ¦)) β€ π β βπ β β βπ¦ β π΄ (π₯ β€ π¦ β (absβ(πΉβπ¦)) β€ π))) |
27 | 26 | rexbidva 3170 |
. 2
β’ ((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β (βπ₯ β β βπ β β βπ¦ β (dom πΉ β© (π₯[,)+β))(absβ(πΉβπ¦)) β€ π β βπ₯ β β βπ β β βπ¦ β π΄ (π₯ β€ π¦ β (absβ(πΉβπ¦)) β€ π))) |
28 | 7, 27 | bitrd 279 |
1
β’ ((πΉ:π΄βΆβ β§ π΄ β β) β (πΉ β π(1) β βπ₯ β β βπ β β βπ¦ β π΄ (π₯ β€ π¦ β (absβ(πΉβπ¦)) β€ π))) |