Theorem elo12 14878

Description: Elementhood in the set of eventually bounded functions. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elo12	⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑚,𝑦,𝐴   𝑚,𝐹,𝑥,𝑦

Proof of Theorem elo12

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 10612	. . . 4 ⊢ ℂ ∈ V
2		reex 10622	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
3		elpm2r 8418	. . . 4 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ ℝ ∈ V) ∧ (𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
4	1, 2, 3	mpanl12 700	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ))
5		elo1 14877	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
6	5	baib 538	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
7	4, 6	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))
8		elin 4169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)))
9		fdm 6517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹:𝐴⟶ℂ → dom 𝐹 = 𝐴)
10	9	ad3antrrr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → dom 𝐹 = 𝐴)
11	10	eleq2d 2898	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
12	11	anbi1d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞))))
13		simpllr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
14	13	sselda 3967	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
15		simpllr 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
16		elicopnf 12827	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
18	14, 17	mpbirand 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞) ↔ 𝑥 ≤ 𝑦))
19	18	pm5.32da 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
20	12, 19	bitrd 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ dom 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
21	8, 20	syl5bb 285	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦)))
22	21	imbi1d 344	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚) ↔ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
23		impexp 453	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ≤ 𝑦) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
24	22, 23	syl6bb 289	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → ((𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞)) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚))))
25	24	ralbidv2 3195	. . . 4 ⊢ ((((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
26	25	rexbidva 3296	. . 3 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚 ↔ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
27	26	rexbidva 3296	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ (dom 𝐹 ∩ (𝑥[,)+∞))(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))
28	7, 27	bitrd 281	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 ≤ 𝑦 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑚)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  ∃wrex 3139  Vcvv 3495   ∩ cin 3935   ⊆ wss 3936   class class class wbr 5059  dom cdm 5550  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ↑_pm cpm 8401  ℂcc 10529  ℝcr 10530  +∞cpnf 10666   ≤ cle 10670  [,)cico 12734  abscabs 14587  𝑂(1)co1 14837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-ico 12738  df-o1 14841

This theorem is referenced by:  elo12r  14879  o1bdd  14882  lo1o1  14883  o1co  14937  rlimo1  14967