| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | oveq2 7440 | . . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2o ·o
𝑥) = (2o
·o 𝑦)) | 
| 2 | 1 | eqeq2d 2747 | . . . 4
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 = (2o ·o 𝑥) ↔ 𝐴 = (2o ·o 𝑦))) | 
| 3 | 2 | cbvrexvw 3237 | . . 3
⊢
(∃𝑥 ∈
ω 𝐴 = (2o
·o 𝑥)
↔ ∃𝑦 ∈
ω 𝐴 = (2o
·o 𝑦)) | 
| 4 |  | nnneo 8694 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = (2o
·o 𝑦))
→ ¬ suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) | 
| 5 | 4 | 3com23 1126 | . . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝐴 = (2o
·o 𝑦)
∧ 𝑥 ∈ ω)
→ ¬ suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) | 
| 6 | 5 | 3expa 1118 | . . . . 5
⊢ (((𝑦 ∈ ω ∧ 𝐴 = (2o
·o 𝑦))
∧ 𝑥 ∈ ω)
→ ¬ suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) | 
| 7 | 6 | nrexdv 3148 | . . . 4
⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝐴 = (2o
·o 𝑦))
→ ¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) | 
| 8 | 7 | rexlimiva 3146 | . . 3
⊢
(∃𝑦 ∈
ω 𝐴 = (2o
·o 𝑦)
→ ¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) | 
| 9 | 3, 8 | sylbi 217 | . 2
⊢
(∃𝑥 ∈
ω 𝐴 = (2o
·o 𝑥)
→ ¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) | 
| 10 |  | suceq 6449 | . . . . . . 7
⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = suc ∅) | 
| 11 | 10 | eqeq1d 2738 | . . . . . 6
⊢ (𝑦 = ∅ → (suc 𝑦 = (2o
·o 𝑥)
↔ suc ∅ = (2o ·o 𝑥))) | 
| 12 | 11 | rexbidv 3178 | . . . . 5
⊢ (𝑦 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o
·o 𝑥)
↔ ∃𝑥 ∈
ω suc ∅ = (2o ·o 𝑥))) | 
| 13 | 12 | notbid 318 | . . . 4
⊢ (𝑦 = ∅ → (¬
∃𝑥 ∈ ω suc
𝑦 = (2o
·o 𝑥)
↔ ¬ ∃𝑥
∈ ω suc ∅ = (2o ·o 𝑥))) | 
| 14 |  | eqeq1 2740 | . . . . 5
⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 = (2o
·o 𝑥)
↔ ∅ = (2o ·o 𝑥))) | 
| 15 | 14 | rexbidv 3178 | . . . 4
⊢ (𝑦 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o
·o 𝑥)
↔ ∃𝑥 ∈
ω ∅ = (2o ·o 𝑥))) | 
| 16 | 13, 15 | imbi12d 344 | . . 3
⊢ (𝑦 = ∅ → ((¬
∃𝑥 ∈ ω suc
𝑦 = (2o
·o 𝑥)
→ ∃𝑥 ∈
ω 𝑦 = (2o
·o 𝑥))
↔ (¬ ∃𝑥
∈ ω suc ∅ = (2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ =
(2o ·o 𝑥)))) | 
| 17 |  | suceq 6449 | . . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝑧 → suc 𝑦 = suc 𝑧) | 
| 18 | 17 | eqeq1d 2738 | . . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ suc 𝑧 = (2o ·o 𝑥))) | 
| 19 | 18 | rexbidv 3178 | . . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) | 
| 20 | 19 | notbid 318 | . . . 4
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) | 
| 21 |  | eqeq1 2740 | . . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ 𝑧 = (2o ·o 𝑥))) | 
| 22 | 21 | rexbidv 3178 | . . . 4
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) | 
| 23 | 20, 22 | imbi12d 344 | . . 3
⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o
·o 𝑥))
↔ (¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑧 = (2o ·o 𝑥)))) | 
| 24 |  | suceq 6449 | . . . . . . 7
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → suc 𝑦 = suc suc 𝑧) | 
| 25 | 24 | eqeq1d 2738 | . . . . . 6
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ suc suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) | 
| 26 | 25 | rexbidv 3178 | . . . . 5
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω suc suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) | 
| 27 | 26 | notbid 318 | . . . 4
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω suc suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) | 
| 28 |  | eqeq1 2740 | . . . . 5
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ suc 𝑧 = (2o ·o 𝑥))) | 
| 29 | 28 | rexbidv 3178 | . . . 4
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) | 
| 30 | 27, 29 | imbi12d 344 | . . 3
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o
·o 𝑥))
↔ (¬ ∃𝑥
∈ ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o ·o 𝑥)))) | 
| 31 |  | suceq 6449 | . . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝐴 → suc 𝑦 = suc 𝐴) | 
| 32 | 31 | eqeq1d 2738 | . . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ suc 𝐴 = (2o ·o 𝑥))) | 
| 33 | 32 | rexbidv 3178 | . . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝐴 = (2o
·o 𝑥))) | 
| 34 | 33 | notbid 318 | . . . 4
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝐴 = (2o
·o 𝑥))) | 
| 35 |  | eqeq1 2740 | . . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ 𝐴 = (2o ·o 𝑥))) | 
| 36 | 35 | rexbidv 3178 | . . . 4
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = (2o
·o 𝑥))) | 
| 37 | 34, 36 | imbi12d 344 | . . 3
⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o
·o 𝑥))
↔ (¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = (2o ·o 𝑥)))) | 
| 38 |  | peano1 7911 | . . . . 5
⊢ ∅
∈ ω | 
| 39 |  | eqid 2736 | . . . . 5
⊢ ∅ =
∅ | 
| 40 |  | oveq2 7440 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = ∅ → (2o
·o 𝑥) =
(2o ·o ∅)) | 
| 41 |  | 2on 8521 | . . . . . . . 8
⊢
2o ∈ On | 
| 42 |  | om0 8556 | . . . . . . . 8
⊢
(2o ∈ On → (2o ·o
∅) = ∅) | 
| 43 | 41, 42 | ax-mp 5 | . . . . . . 7
⊢
(2o ·o ∅) = ∅ | 
| 44 | 40, 43 | eqtrdi 2792 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 = ∅ → (2o
·o 𝑥) =
∅) | 
| 45 | 44 | rspceeqv 3644 | . . . . 5
⊢ ((∅
∈ ω ∧ ∅ = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ = (2o
·o 𝑥)) | 
| 46 | 38, 39, 45 | mp2an 692 | . . . 4
⊢
∃𝑥 ∈
ω ∅ = (2o ·o 𝑥) | 
| 47 | 46 | a1i 11 | . . 3
⊢ (¬
∃𝑥 ∈ ω suc
∅ = (2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ = (2o
·o 𝑥)) | 
| 48 | 1 | eqeq2d 2747 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 = (2o ·o 𝑥) ↔ 𝑧 = (2o ·o 𝑦))) | 
| 49 | 48 | cbvrexvw 3237 | . . . . . 6
⊢
(∃𝑥 ∈
ω 𝑧 = (2o
·o 𝑥)
↔ ∃𝑦 ∈
ω 𝑧 = (2o
·o 𝑦)) | 
| 50 |  | peano2 7913 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈
ω) | 
| 51 |  | 2onn 8681 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
2o ∈ ω | 
| 52 |  | nnmsuc 8646 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((2o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (2o
·o suc 𝑦)
= ((2o ·o 𝑦) +o
2o)) | 
| 53 | 51, 52 | mpan 690 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ ω →
(2o ·o suc 𝑦) = ((2o ·o
𝑦) +o
2o)) | 
| 54 |  | df-2o 8508 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
2o = suc 1o | 
| 55 | 54 | oveq2i 7443 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((2o ·o 𝑦) +o 2o) =
((2o ·o 𝑦) +o suc
1o) | 
| 56 |  | nnmcl 8651 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((2o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (2o
·o 𝑦)
∈ ω) | 
| 57 | 51, 56 | mpan 690 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ ω →
(2o ·o 𝑦) ∈ ω) | 
| 58 |  | 1onn 8679 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
1o ∈ ω | 
| 59 |  | nnasuc 8645 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((2o ·o 𝑦) ∈ ω ∧ 1o ∈
ω) → ((2o ·o 𝑦) +o suc 1o) = suc
((2o ·o 𝑦) +o
1o)) | 
| 60 | 57, 58, 59 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ ω →
((2o ·o 𝑦) +o suc 1o) = suc
((2o ·o 𝑦) +o
1o)) | 
| 61 | 55, 60 | eqtr2id 2789 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ ω → suc
((2o ·o 𝑦) +o 1o) =
((2o ·o 𝑦) +o
2o)) | 
| 62 |  | nnon 7894 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((2o ·o 𝑦) ∈ ω → (2o
·o 𝑦)
∈ On) | 
| 63 |  | oa1suc 8570 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((2o ·o 𝑦) ∈ On → ((2o
·o 𝑦)
+o 1o) = suc (2o ·o 𝑦)) | 
| 64 |  | suceq 6449 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((2o ·o 𝑦) +o 1o) = suc
(2o ·o 𝑦) → suc ((2o
·o 𝑦)
+o 1o) = suc suc (2o ·o
𝑦)) | 
| 65 | 57, 62, 63, 64 | 4syl 19 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ ω → suc
((2o ·o 𝑦) +o 1o) = suc suc
(2o ·o 𝑦)) | 
| 66 | 53, 61, 65 | 3eqtr2rd 2783 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ ω → suc suc
(2o ·o 𝑦) = (2o ·o suc
𝑦)) | 
| 67 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (2o ·o
𝑥) = (2o
·o suc 𝑦)) | 
| 68 | 67 | rspceeqv 3644 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((suc
𝑦 ∈ ω ∧ suc
suc (2o ·o 𝑦) = (2o ·o suc
𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ω suc suc
(2o ·o 𝑦) = (2o ·o 𝑥)) | 
| 69 | 50, 66, 68 | syl2anc 584 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ ω →
∃𝑥 ∈ ω suc
suc (2o ·o 𝑦) = (2o ·o 𝑥)) | 
| 70 |  | suceq 6449 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ suc 𝑧 = suc
(2o ·o 𝑦)) | 
| 71 |  | suceq 6449 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (suc
𝑧 = suc (2o
·o 𝑦)
→ suc suc 𝑧 = suc suc
(2o ·o 𝑦)) | 
| 72 | 70, 71 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ suc suc 𝑧 = suc suc
(2o ·o 𝑦)) | 
| 73 | 72 | eqeq1d 2738 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ (suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) ↔ suc suc (2o
·o 𝑦) =
(2o ·o 𝑥))) | 
| 74 | 73 | rexbidv 3178 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ (∃𝑥 ∈
ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω suc suc (2o
·o 𝑦) =
(2o ·o 𝑥))) | 
| 75 | 69, 74 | syl5ibrcom 247 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ ∃𝑥 ∈
ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥))) | 
| 76 | 75 | rexlimiv 3147 | . . . . . . 7
⊢
(∃𝑦 ∈
ω 𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ ∃𝑥 ∈
ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥)) | 
| 77 | 76 | a1i 11 | . . . . . 6
⊢ (𝑧 ∈ ω →
(∃𝑦 ∈ ω
𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ ∃𝑥 ∈
ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥))) | 
| 78 | 49, 77 | biimtrid 242 | . . . . 5
⊢ (𝑧 ∈ ω →
(∃𝑥 ∈ ω
𝑧 = (2o
·o 𝑥)
→ ∃𝑥 ∈
ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥))) | 
| 79 | 78 | con3d 152 | . . . 4
⊢ (𝑧 ∈ ω → (¬
∃𝑥 ∈ ω suc
suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥)
→ ¬ ∃𝑥
∈ ω 𝑧 =
(2o ·o 𝑥))) | 
| 80 |  | con1 146 | . . . 4
⊢ ((¬
∃𝑥 ∈ ω suc
𝑧 = (2o
·o 𝑥)
→ ∃𝑥 ∈
ω 𝑧 = (2o
·o 𝑥))
→ (¬ ∃𝑥
∈ ω 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o ·o 𝑥))) | 
| 81 | 79, 80 | syl9 77 | . . 3
⊢ (𝑧 ∈ ω → ((¬
∃𝑥 ∈ ω suc
𝑧 = (2o
·o 𝑥)
→ ∃𝑥 ∈
ω 𝑧 = (2o
·o 𝑥))
→ (¬ ∃𝑥
∈ ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o ·o 𝑥)))) | 
| 82 | 16, 23, 30, 37, 47, 81 | finds 7919 | . 2
⊢ (𝐴 ∈ ω → (¬
∃𝑥 ∈ ω suc
𝐴 = (2o
·o 𝑥)
→ ∃𝑥 ∈
ω 𝐴 = (2o
·o 𝑥))) | 
| 83 | 9, 82 | impbid2 226 | 1
⊢ (𝐴 ∈ ω →
(∃𝑥 ∈ ω
𝐴 = (2o
·o 𝑥)
↔ ¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥))) |