Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | oveq2 7279 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2o ·o
𝑥) = (2o
·o 𝑦)) |
2 | 1 | eqeq2d 2751 |
. . . 4
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐴 = (2o ·o 𝑥) ↔ 𝐴 = (2o ·o 𝑦))) |
3 | 2 | cbvrexvw 3382 |
. . 3
⊢
(∃𝑥 ∈
ω 𝐴 = (2o
·o 𝑥)
↔ ∃𝑦 ∈
ω 𝐴 = (2o
·o 𝑦)) |
4 | | nnneo 8468 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴 = (2o
·o 𝑦))
→ ¬ suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) |
5 | 4 | 3com23 1125 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝐴 = (2o
·o 𝑦)
∧ 𝑥 ∈ ω)
→ ¬ suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) |
6 | 5 | 3expa 1117 |
. . . . 5
⊢ (((𝑦 ∈ ω ∧ 𝐴 = (2o
·o 𝑦))
∧ 𝑥 ∈ ω)
→ ¬ suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) |
7 | 6 | nrexdv 3200 |
. . . 4
⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝐴 = (2o
·o 𝑦))
→ ¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) |
8 | 7 | rexlimiva 3212 |
. . 3
⊢
(∃𝑦 ∈
ω 𝐴 = (2o
·o 𝑦)
→ ¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) |
9 | 3, 8 | sylbi 216 |
. 2
⊢
(∃𝑥 ∈
ω 𝐴 = (2o
·o 𝑥)
→ ¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥)) |
10 | | suceq 6330 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = ∅ → suc 𝑦 = suc ∅) |
11 | 10 | eqeq1d 2742 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = ∅ → (suc 𝑦 = (2o
·o 𝑥)
↔ suc ∅ = (2o ·o 𝑥))) |
12 | 11 | rexbidv 3228 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o
·o 𝑥)
↔ ∃𝑥 ∈
ω suc ∅ = (2o ·o 𝑥))) |
13 | 12 | notbid 318 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = ∅ → (¬
∃𝑥 ∈ ω suc
𝑦 = (2o
·o 𝑥)
↔ ¬ ∃𝑥
∈ ω suc ∅ = (2o ·o 𝑥))) |
14 | | eqeq1 2744 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦 = (2o
·o 𝑥)
↔ ∅ = (2o ·o 𝑥))) |
15 | 14 | rexbidv 3228 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = ∅ → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o
·o 𝑥)
↔ ∃𝑥 ∈
ω ∅ = (2o ·o 𝑥))) |
16 | 13, 15 | imbi12d 345 |
. . 3
⊢ (𝑦 = ∅ → ((¬
∃𝑥 ∈ ω suc
𝑦 = (2o
·o 𝑥)
→ ∃𝑥 ∈
ω 𝑦 = (2o
·o 𝑥))
↔ (¬ ∃𝑥
∈ ω suc ∅ = (2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ =
(2o ·o 𝑥)))) |
17 | | suceq 6330 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝑧 → suc 𝑦 = suc 𝑧) |
18 | 17 | eqeq1d 2742 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ suc 𝑧 = (2o ·o 𝑥))) |
19 | 18 | rexbidv 3228 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) |
20 | 19 | notbid 318 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) |
21 | | eqeq1 2744 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ 𝑧 = (2o ·o 𝑥))) |
22 | 21 | rexbidv 3228 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) |
23 | 20, 22 | imbi12d 345 |
. . 3
⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o
·o 𝑥))
↔ (¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑧 = (2o ·o 𝑥)))) |
24 | | suceq 6330 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → suc 𝑦 = suc suc 𝑧) |
25 | 24 | eqeq1d 2742 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ suc suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) |
26 | 25 | rexbidv 3228 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω suc suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) |
27 | 26 | notbid 318 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω suc suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) |
28 | | eqeq1 2744 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ suc 𝑧 = (2o ·o 𝑥))) |
29 | 28 | rexbidv 3228 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥))) |
30 | 27, 29 | imbi12d 345 |
. . 3
⊢ (𝑦 = suc 𝑧 → ((¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o
·o 𝑥))
↔ (¬ ∃𝑥
∈ ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o ·o 𝑥)))) |
31 | | suceq 6330 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝐴 → suc 𝑦 = suc 𝐴) |
32 | 31 | eqeq1d 2742 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ suc 𝐴 = (2o ·o 𝑥))) |
33 | 32 | rexbidv 3228 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝐴 = (2o
·o 𝑥))) |
34 | 33 | notbid 318 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝐴 = (2o
·o 𝑥))) |
35 | | eqeq1 2744 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ 𝐴 = (2o ·o 𝑥))) |
36 | 35 | rexbidv 3228 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = (2o
·o 𝑥))) |
37 | 34, 36 | imbi12d 345 |
. . 3
⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((¬ ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑦 = (2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω 𝑦 = (2o
·o 𝑥))
↔ (¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 = (2o ·o 𝑥)))) |
38 | | peano1 7729 |
. . . . 5
⊢ ∅
∈ ω |
39 | | eqid 2740 |
. . . . 5
⊢ ∅ =
∅ |
40 | | oveq2 7279 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = ∅ → (2o
·o 𝑥) =
(2o ·o ∅)) |
41 | | 2on 8302 |
. . . . . . . 8
⊢
2o ∈ On |
42 | | om0 8332 |
. . . . . . . 8
⊢
(2o ∈ On → (2o ·o
∅) = ∅) |
43 | 41, 42 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢
(2o ·o ∅) = ∅ |
44 | 40, 43 | eqtrdi 2796 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = ∅ → (2o
·o 𝑥) =
∅) |
45 | 44 | rspceeqv 3576 |
. . . . 5
⊢ ((∅
∈ ω ∧ ∅ = ∅) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ = (2o
·o 𝑥)) |
46 | 38, 39, 45 | mp2an 689 |
. . . 4
⊢
∃𝑥 ∈
ω ∅ = (2o ·o 𝑥) |
47 | 46 | a1i 11 |
. . 3
⊢ (¬
∃𝑥 ∈ ω suc
∅ = (2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω ∅ = (2o
·o 𝑥)) |
48 | 1 | eqeq2d 2751 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 = (2o ·o 𝑥) ↔ 𝑧 = (2o ·o 𝑦))) |
49 | 48 | cbvrexvw 3382 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑥 ∈
ω 𝑧 = (2o
·o 𝑥)
↔ ∃𝑦 ∈
ω 𝑧 = (2o
·o 𝑦)) |
50 | | peano2 7731 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ ω → suc 𝑦 ∈
ω) |
51 | | 2onn 8456 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
2o ∈ ω |
52 | | nnmsuc 8423 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((2o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (2o
·o suc 𝑦)
= ((2o ·o 𝑦) +o
2o)) |
53 | 51, 52 | mpan 687 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ ω →
(2o ·o suc 𝑦) = ((2o ·o
𝑦) +o
2o)) |
54 | | df-2o 8289 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
2o = suc 1o |
55 | 54 | oveq2i 7282 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((2o ·o 𝑦) +o 2o) =
((2o ·o 𝑦) +o suc
1o) |
56 | | nnmcl 8428 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((2o ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (2o
·o 𝑦)
∈ ω) |
57 | 51, 56 | mpan 687 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 ∈ ω →
(2o ·o 𝑦) ∈ ω) |
58 | | 1onn 8455 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
1o ∈ ω |
59 | | nnasuc 8422 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((2o ·o 𝑦) ∈ ω ∧ 1o ∈
ω) → ((2o ·o 𝑦) +o suc 1o) = suc
((2o ·o 𝑦) +o
1o)) |
60 | 57, 58, 59 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑦 ∈ ω →
((2o ·o 𝑦) +o suc 1o) = suc
((2o ·o 𝑦) +o
1o)) |
61 | 55, 60 | eqtr2id 2793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ ω → suc
((2o ·o 𝑦) +o 1o) =
((2o ·o 𝑦) +o
2o)) |
62 | | nnon 7712 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((2o ·o 𝑦) ∈ ω → (2o
·o 𝑦)
∈ On) |
63 | | oa1suc 8346 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((2o ·o 𝑦) ∈ On → ((2o
·o 𝑦)
+o 1o) = suc (2o ·o 𝑦)) |
64 | | suceq 6330 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((2o ·o 𝑦) +o 1o) = suc
(2o ·o 𝑦) → suc ((2o
·o 𝑦)
+o 1o) = suc suc (2o ·o
𝑦)) |
65 | 57, 62, 63, 64 | 4syl 19 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ ω → suc
((2o ·o 𝑦) +o 1o) = suc suc
(2o ·o 𝑦)) |
66 | 53, 61, 65 | 3eqtr2rd 2787 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ ω → suc suc
(2o ·o 𝑦) = (2o ·o suc
𝑦)) |
67 | | oveq2 7279 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (2o ·o
𝑥) = (2o
·o suc 𝑦)) |
68 | 67 | rspceeqv 3576 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((suc
𝑦 ∈ ω ∧ suc
suc (2o ·o 𝑦) = (2o ·o suc
𝑦)) → ∃𝑥 ∈ ω suc suc
(2o ·o 𝑦) = (2o ·o 𝑥)) |
69 | 50, 66, 68 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ ω →
∃𝑥 ∈ ω suc
suc (2o ·o 𝑦) = (2o ·o 𝑥)) |
70 | | suceq 6330 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ suc 𝑧 = suc
(2o ·o 𝑦)) |
71 | | suceq 6330 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (suc
𝑧 = suc (2o
·o 𝑦)
→ suc suc 𝑧 = suc suc
(2o ·o 𝑦)) |
72 | 70, 71 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ suc suc 𝑧 = suc suc
(2o ·o 𝑦)) |
73 | 72 | eqeq1d 2742 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ (suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) ↔ suc suc (2o
·o 𝑦) =
(2o ·o 𝑥))) |
74 | 73 | rexbidv 3228 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ (∃𝑥 ∈
ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ ω suc suc (2o
·o 𝑦) =
(2o ·o 𝑥))) |
75 | 69, 74 | syl5ibrcom 246 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ ω → (𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ ∃𝑥 ∈
ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥))) |
76 | 75 | rexlimiv 3211 |
. . . . . . 7
⊢
(∃𝑦 ∈
ω 𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ ∃𝑥 ∈
ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥)) |
77 | 76 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝑧 ∈ ω →
(∃𝑦 ∈ ω
𝑧 = (2o
·o 𝑦)
→ ∃𝑥 ∈
ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥))) |
78 | 49, 77 | syl5bi 241 |
. . . . 5
⊢ (𝑧 ∈ ω →
(∃𝑥 ∈ ω
𝑧 = (2o
·o 𝑥)
→ ∃𝑥 ∈
ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥))) |
79 | 78 | con3d 152 |
. . . 4
⊢ (𝑧 ∈ ω → (¬
∃𝑥 ∈ ω suc
suc 𝑧 = (2o
·o 𝑥)
→ ¬ ∃𝑥
∈ ω 𝑧 =
(2o ·o 𝑥))) |
80 | | con1 146 |
. . . 4
⊢ ((¬
∃𝑥 ∈ ω suc
𝑧 = (2o
·o 𝑥)
→ ∃𝑥 ∈
ω 𝑧 = (2o
·o 𝑥))
→ (¬ ∃𝑥
∈ ω 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o ·o 𝑥))) |
81 | 79, 80 | syl9 77 |
. . 3
⊢ (𝑧 ∈ ω → ((¬
∃𝑥 ∈ ω suc
𝑧 = (2o
·o 𝑥)
→ ∃𝑥 ∈
ω 𝑧 = (2o
·o 𝑥))
→ (¬ ∃𝑥
∈ ω suc suc 𝑧 =
(2o ·o 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ω suc 𝑧 = (2o ·o 𝑥)))) |
82 | 16, 23, 30, 37, 47, 81 | finds 7739 |
. 2
⊢ (𝐴 ∈ ω → (¬
∃𝑥 ∈ ω suc
𝐴 = (2o
·o 𝑥)
→ ∃𝑥 ∈
ω 𝐴 = (2o
·o 𝑥))) |
83 | 9, 82 | impbid2 225 |
1
⊢ (𝐴 ∈ ω →
(∃𝑥 ∈ ω
𝐴 = (2o
·o 𝑥)
↔ ¬ ∃𝑥
∈ ω suc 𝐴 =
(2o ·o 𝑥))) |