Theorem php5 9273

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 9269: a natural number is not equinumerous to its successor. Corollary 10.21(1) of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
php5	⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem php5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php4 9272	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
2		sdomnen 9037	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ suc 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2103   class class class wbr 5169  suc csuc 6396  ωcom 7899   ≈ cen 8996   ≺ csdm 8998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pr 5450  ax-un 7766

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-om 7900  df-1o 8518  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003

This theorem is referenced by:  snnen2oOLD  9286  onomeneqOLD  9288