Theorem php5 9277

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle php 9273: a natural number is not equinumerous to its successor. Corollary 10.21(1) of [TakeutiZaring] p. 90. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
php5	⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Proof of Theorem php5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php4 9276	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≺ suc 𝐴)
2		sdomnen 9041	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ suc 𝐴 → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ≈ suc 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  suc csuc 6397  ωcom 7903   ≈ cen 9000   ≺ csdm 9002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-om 7904  df-1o 8522  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007

This theorem is referenced by:  snnen2oOLD  9290  onomeneqOLD  9292