Theorem phpeqd 9121

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle using equality. Strengthening of php 9116 expressed without negation. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) Avoid ax-pow 5301. (Revised by BTernaryTau, 28-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
phpeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
phpeqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
phpeqd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
phpeqd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem phpeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phpeqd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		phpeqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		phpeqd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	neqcomd 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
7		dfpss2 4035	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
8	4, 6, 7	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
9		php3 9118	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
10	2, 8, 9	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≺ 𝐴)
11		sdomnen 8903	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
12		ensymfib 9093	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
13	12	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
14	13	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
15	2, 11, 14	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
16	10, 15	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
17	16	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
18	1, 17	mt4d 117	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897   ⊊ wpss 3898   class class class wbr 5089   ≈ cen 8866   ≺ csdm 8868  Fincfn 8869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873

This theorem is referenced by:  phphashd  14373  simpgnsgd  20014