Theorem phpeqd 9226

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle using equality. Strengthening of php 9221 expressed without negation. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) Avoid ax-pow 5335. (Revised by BTernaryTau, 28-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
phpeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
phpeqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
phpeqd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
phpeqd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem phpeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phpeqd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		phpeqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		phpeqd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	neqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
7		dfpss2 4063	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
8	4, 6, 7	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
9		php3 9223	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
10	2, 8, 9	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≺ 𝐴)
11		sdomnen 8995	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
12		ensymfib 9198	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
13	12	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
14	13	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
15	2, 11, 14	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
16	10, 15	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
17	16	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
18	1, 17	mt4d 117	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   ⊊ wpss 3927   class class class wbr 5119   ≈ cen 8956   ≺ csdm 8958  Fincfn 8959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-om 7862  df-1o 8480  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963

This theorem is referenced by:  phphashd  14484  simpgnsgd  20083