Theorem phpeqd 9240

Description: Corollary of the Pigeonhole Principle using equality. Strengthening of php 9235 expressed without negation. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) Avoid ax-pow. (Revised by BTernaryTau, 28-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
phpeqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
phpeqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
phpeqd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
phpeqd	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem phpeqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		phpeqd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≈ 𝐵)
2		phpeqd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
3		phpeqd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐴)
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
6	5	neqcomd 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
7		dfpss2 4083	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊊ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
8	4, 6, 7	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ⊊ 𝐴)
9		php3 9237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → 𝐵 ≺ 𝐴)
10	2, 8, 9	syl2an2r 684	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ≺ 𝐴)
11		sdomnen 9002	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ≺ 𝐴 → ¬ 𝐵 ≈ 𝐴)
12		ensymfib 9212	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝐵 ≈ 𝐴))
13	12	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (¬ 𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴))
14	13	biimpar 477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ≈ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
15	2, 11, 14	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐵 ≺ 𝐴) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
16	10, 15	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
17	16	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
18	1, 17	mt4d 117	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   ⊊ wpss 3948   class class class wbr 5148   ≈ cen 8961   ≺ csdm 8963  Fincfn 8964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-om 7871  df-1o 8487  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968

This theorem is referenced by:  phphashd  14460  simpgnsgd  20057