MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  phpeqd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem phpeqd 9166
Description: Corollary of the Pigeonhole Principle using equality. Strengthening of php 9161 expressed without negation. (Contributed by Rohan Ridenour, 3-Aug-2023.) Avoid ax-pow. (Revised by BTernaryTau, 28-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
phpeqd.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
phpeqd.2 (𝜑𝐵𝐴)
phpeqd.3 (𝜑𝐴𝐵)
Assertion
Ref Expression
phpeqd (𝜑𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem phpeqd
StepHypRef Expression
1 phpeqd.3 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 phpeqd.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
3 phpeqd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐴)
43adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐴)
5 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴 = 𝐵)
65neqcomd 2747 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐵 = 𝐴)
7 dfpss2 4050 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵 = 𝐴))
84, 6, 7sylanbrc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐴)
9 php3 9163 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
102, 8, 9syl2an2r 684 . . . 4 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐴)
11 sdomnen 8928 . . . . 5 (𝐵𝐴 → ¬ 𝐵𝐴)
12 ensymfib 9138 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐵𝐴))
1312notbid 318 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Fin → (¬ 𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
1413biimpar 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
152, 11, 14syl2an 597 . . . 4 ((𝜑𝐵𝐴) → ¬ 𝐴𝐵)
1610, 15syldan 592 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 = 𝐵) → ¬ 𝐴𝐵)
1716ex 414 . 2 (𝜑 → (¬ 𝐴 = 𝐵 → ¬ 𝐴𝐵))
181, 17mt4d 117 1 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3915  wpss 3916   class class class wbr 5110  cen 8887  csdm 8889  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-1o 8417  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  phphashd  14372  simpgnsgd  19886
  Copyright terms: Public domain W3C validator