Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjlln1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjlln1 38318
Description: The projective map of the join of a lattice element and a lattice line (expressed as the join 𝑄 𝑅 of two atoms). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j = (join‘𝐾)
pmapjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapjlln1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))))

Proof of Theorem pmapjlln1
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 pmapjat.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 pmapjat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pmapjat.m . . . . 5 𝑀 = (pmap‘𝐾)
52, 3, 4pmapssat 38222 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
653ad2antr1 1188 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
7 simpr2 1195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
82, 3atbase 37751 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐵)
102, 3, 4pmapssat 38222 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
119, 10syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
12 simpr3 1196 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
132, 3atbase 37751 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅𝐵)
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐵)
152, 3, 4pmapssat 38222 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐵) → (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)
1614, 15syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)
17 pmapjat.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
183, 17paddass 38301 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)) → (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
191, 6, 11, 16, 18syl13anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
20 hllat 37825 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2120adantr 481 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
22 simpr1 1194 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑋𝐵)
23 pmapjat.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
242, 23latjcl 18328 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
2521, 22, 9, 24syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
262, 23, 3, 4, 17pmapjat1 38316 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵𝑅𝐴) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)))
271, 25, 12, 26syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)))
282, 23latjass 18372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐵𝑅𝐵)) → ((𝑋 𝑄) 𝑅) = (𝑋 (𝑄 𝑅)))
2921, 22, 9, 14, 28syl13anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑋 𝑄) 𝑅) = (𝑋 (𝑄 𝑅)))
3029fveq2d 6846 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))))
312, 23, 3, 4, 17pmapjat1 38316 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
32313adant3r3 1184 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
3332oveq1d 7372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)) = (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)))
3427, 30, 333eqtr3d 2784 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)))
352, 23, 3, 4, 17pmapjat1 38316 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵𝑅𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑅)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅)))
361, 9, 12, 35syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑄 𝑅)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅)))
3736oveq2d 7373 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
3819, 34, 373eqtr4d 2786 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3910  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  joincjn 18200  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  pmapcpmap 37960  +𝑃cpadd 38258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-pmap 37967  df-padd 38259
This theorem is referenced by:  llnmod1i2  38323
  Copyright terms: Public domain W3C validator