Theorem pmapjlln1 39384

Description: The projective map of the join of a lattice element and a lattice line (expressed as the join 𝑄 ∨ 𝑅 of two atoms). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjlln1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem pmapjlln1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 481	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		pmapjat.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		pmapjat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmapjat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	2, 3, 4	pmapssat 39288	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
6	5	3ad2antr1 1185	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
7		simpr2 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
8	2, 3	atbase 38817	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
10	2, 3, 4	pmapssat 39288	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	syldan 589	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
12		simpr3 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
13	2, 3	atbase 38817	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 4	pmapssat 39288	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑅) ⊆ 𝐴)
16	14, 15	syldan 589	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘𝑅) ⊆ 𝐴)
17		pmapjat.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
18	3, 17	paddass 39367	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑅) ⊆ 𝐴)) → (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)) = ((𝑀‘𝑋) + ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅))))
19	1, 6, 11, 16, 18	syl13anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)) = ((𝑀‘𝑋) + ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅))))
20		hllat 38891	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21	20	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
22		simpr1 1191	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		pmapjat.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
24	2, 23	latjcl 18430	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
25	21, 22, 9, 24	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
26	2, 23, 3, 4, 17	pmapjat1 39382	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑀‘((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
27	1, 25, 12, 26	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
28	2, 23	latjass 18474	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
29	21, 22, 9, 14, 28	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
30	29	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))))
31	2, 23, 3, 4, 17	pmapjat1 39382	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
32	31	3adant3r3 1181	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
33	32	oveq1d 7431	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) + (𝑀‘𝑅)) = (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
34	27, 30, 33	3eqtr3d 2773	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))) = (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
35	2, 23, 3, 4, 17	pmapjat1 39382	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅)))
36	1, 9, 12, 35	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅)))
37	36	oveq2d 7432	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅))) = ((𝑀‘𝑋) + ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅))))
38	19, 34, 37	3eqtr4d 2775	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  joincjn 18302  Latclat 18422  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  pmapcpmap 39026  +_𝑃cpadd 39324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-pmap 39033  df-padd 39325

This theorem is referenced by:  llnmod1i2  39389