Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjlln1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjlln1 39857
Description: The projective map of the join of a lattice element and a lattice line (expressed as the join 𝑄 𝑅 of two atoms). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j = (join‘𝐾)
pmapjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapjlln1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))))

Proof of Theorem pmapjlln1
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 pmapjat.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 pmapjat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pmapjat.m . . . . 5 𝑀 = (pmap‘𝐾)
52, 3, 4pmapssat 39761 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
653ad2antr1 1189 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
7 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
82, 3atbase 39290 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐵)
102, 3, 4pmapssat 39761 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
119, 10syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
12 simpr3 1197 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
132, 3atbase 39290 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅𝐵)
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐵)
152, 3, 4pmapssat 39761 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐵) → (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)
1614, 15syldan 591 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)
17 pmapjat.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
183, 17paddass 39840 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)) → (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
191, 6, 11, 16, 18syl13anc 1374 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
20 hllat 39364 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
22 simpr1 1195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑋𝐵)
23 pmapjat.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
242, 23latjcl 18484 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
2521, 22, 9, 24syl3anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
262, 23, 3, 4, 17pmapjat1 39855 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵𝑅𝐴) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)))
271, 25, 12, 26syl3anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)))
282, 23latjass 18528 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐵𝑅𝐵)) → ((𝑋 𝑄) 𝑅) = (𝑋 (𝑄 𝑅)))
2921, 22, 9, 14, 28syl13anc 1374 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑋 𝑄) 𝑅) = (𝑋 (𝑄 𝑅)))
3029fveq2d 6910 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))))
312, 23, 3, 4, 17pmapjat1 39855 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
32313adant3r3 1185 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
3332oveq1d 7446 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)) = (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)))
3427, 30, 333eqtr3d 2785 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)))
352, 23, 3, 4, 17pmapjat1 39855 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵𝑅𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑅)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅)))
361, 9, 12, 35syl3anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑄 𝑅)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅)))
3736oveq2d 7447 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
3819, 34, 373eqtr4d 2787 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wss 3951  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  joincjn 18357  Latclat 18476  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  pmapcpmap 39499  +𝑃cpadd 39797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-pmap 39506  df-padd 39798
This theorem is referenced by:  llnmod1i2  39862
  Copyright terms: Public domain W3C validator