Theorem pmapjlln1 39192

Description: The projective map of the join of a lattice element and a lattice line (expressed as the join 𝑄 ∨ 𝑅 of two atoms). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjlln1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem pmapjlln1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		pmapjat.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		pmapjat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmapjat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	2, 3, 4	pmapssat 39096	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
6	5	3ad2antr1 1187	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
7		simpr2 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
8	2, 3	atbase 38625	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
10	2, 3, 4	pmapssat 39096	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
12		simpr3 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
13	2, 3	atbase 38625	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 4	pmapssat 39096	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑅) ⊆ 𝐴)
16	14, 15	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘𝑅) ⊆ 𝐴)
17		pmapjat.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
18	3, 17	paddass 39175	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑅) ⊆ 𝐴)) → (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)) = ((𝑀‘𝑋) + ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅))))
19	1, 6, 11, 16, 18	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)) = ((𝑀‘𝑋) + ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅))))
20		hllat 38699	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
22		simpr1 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		pmapjat.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
24	2, 23	latjcl 18402	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
25	21, 22, 9, 24	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
26	2, 23, 3, 4, 17	pmapjat1 39190	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑀‘((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
27	1, 25, 12, 26	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
28	2, 23	latjass 18446	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
29	21, 22, 9, 14, 28	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
30	29	fveq2d 6895	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))))
31	2, 23, 3, 4, 17	pmapjat1 39190	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
32	31	3adant3r3 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
33	32	oveq1d 7427	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) + (𝑀‘𝑅)) = (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
34	27, 30, 33	3eqtr3d 2779	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))) = (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
35	2, 23, 3, 4, 17	pmapjat1 39190	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅)))
36	1, 9, 12, 35	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅)))
37	36	oveq2d 7428	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅))) = ((𝑀‘𝑋) + ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅))))
38	19, 34, 37	3eqtr4d 2781	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  joincjn 18274  Latclat 18394  Atomscatm 38599  HLchlt 38686  pmapcpmap 38834  +_𝑃cpadd 39132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38512  df-ol 38514  df-oml 38515  df-covers 38602  df-ats 38603  df-atl 38634  df-cvlat 38658  df-hlat 38687  df-pmap 38841  df-padd 39133

This theorem is referenced by:  llnmod1i2  39197