Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjlln1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjlln1 35814
Description: The projective map of the join of a lattice element and a lattice line (expressed as the join 𝑄 𝑅 of two atoms). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j = (join‘𝐾)
pmapjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapjlln1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))))

Proof of Theorem pmapjlln1
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 pmapjat.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 pmapjat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pmapjat.m . . . . 5 𝑀 = (pmap‘𝐾)
52, 3, 4pmapssat 35718 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
653ad2antr1 1239 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
7 simpr2 1250 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
82, 3atbase 35248 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐵)
102, 3, 4pmapssat 35718 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
119, 10syldan 585 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
12 simpr3 1252 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
132, 3atbase 35248 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅𝐵)
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐵)
152, 3, 4pmapssat 35718 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐵) → (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)
1614, 15syldan 585 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)
17 pmapjat.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
183, 17paddass 35797 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)) → (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
191, 6, 11, 16, 18syl13anc 1491 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
20 hllat 35322 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2120adantr 472 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
22 simpr1 1248 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑋𝐵)
23 pmapjat.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
242, 23latjcl 17320 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
2521, 22, 9, 24syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
262, 23, 3, 4, 17pmapjat1 35812 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵𝑅𝐴) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)))
271, 25, 12, 26syl3anc 1490 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)))
282, 23latjass 17364 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐵𝑅𝐵)) → ((𝑋 𝑄) 𝑅) = (𝑋 (𝑄 𝑅)))
2921, 22, 9, 14, 28syl13anc 1491 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑋 𝑄) 𝑅) = (𝑋 (𝑄 𝑅)))
3029fveq2d 6381 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))))
312, 23, 3, 4, 17pmapjat1 35812 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
32313adant3r3 1235 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
3332oveq1d 6859 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)) = (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)))
3427, 30, 333eqtr3d 2807 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)))
352, 23, 3, 4, 17pmapjat1 35812 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵𝑅𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑅)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅)))
361, 9, 12, 35syl3anc 1490 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑄 𝑅)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅)))
3736oveq2d 6860 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
3819, 34, 373eqtr4d 2809 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wss 3734  cfv 6070  (class class class)co 6844  Basecbs 16133  joincjn 17213  Latclat 17314  Atomscatm 35222  HLchlt 35309  pmapcpmap 35456  +𝑃cpadd 35754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6805  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-1st 7368  df-2nd 7369  df-proset 17197  df-poset 17215  df-plt 17227  df-lub 17243  df-glb 17244  df-join 17245  df-meet 17246  df-p0 17308  df-lat 17315  df-clat 17377  df-oposet 35135  df-ol 35137  df-oml 35138  df-covers 35225  df-ats 35226  df-atl 35257  df-cvlat 35281  df-hlat 35310  df-pmap 35463  df-padd 35755
This theorem is referenced by:  llnmod1i2  35819
  Copyright terms: Public domain W3C validator