Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjlln1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjlln1 39192
Description: The projective map of the join of a lattice element and a lattice line (expressed as the join 𝑄 𝑅 of two atoms). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j = (join‘𝐾)
pmapjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapjlln1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))))

Proof of Theorem pmapjlln1
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 pmapjat.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 pmapjat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pmapjat.m . . . . 5 𝑀 = (pmap‘𝐾)
52, 3, 4pmapssat 39096 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
653ad2antr1 1187 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
7 simpr2 1194 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐴)
82, 3atbase 38625 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑄𝐵)
102, 3, 4pmapssat 39096 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
119, 10syldan 590 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
12 simpr3 1195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐴)
132, 3atbase 38625 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅𝐵)
1412, 13syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑅𝐵)
152, 3, 4pmapssat 39096 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐵) → (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)
1614, 15syldan 590 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)
17 pmapjat.p . . . 4 + = (+𝑃𝐾)
183, 17paddass 39175 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑅) ⊆ 𝐴)) → (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
191, 6, 11, 16, 18syl13anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
20 hllat 38699 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2120adantr 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
22 simpr1 1193 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → 𝑋𝐵)
23 pmapjat.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
242, 23latjcl 18402 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐵) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
2521, 22, 9, 24syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵)
262, 23, 3, 4, 17pmapjat1 39190 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑄) ∈ 𝐵𝑅𝐴) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)))
271, 25, 12, 26syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)))
282, 23latjass 18446 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐵𝑅𝐵)) → ((𝑋 𝑄) 𝑅) = (𝑋 (𝑄 𝑅)))
2921, 22, 9, 14, 28syl13anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑋 𝑄) 𝑅) = (𝑋 (𝑄 𝑅)))
3029fveq2d 6895 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 𝑄) 𝑅)) = (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))))
312, 23, 3, 4, 17pmapjat1 39190 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
32313adant3r3 1183 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
3332oveq1d 7427 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑀‘(𝑋 𝑄)) + (𝑀𝑅)) = (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)))
3427, 30, 333eqtr3d 2779 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = (((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)) + (𝑀𝑅)))
352, 23, 3, 4, 17pmapjat1 39190 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵𝑅𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑅)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅)))
361, 9, 12, 35syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑄 𝑅)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅)))
3736oveq2d 7428 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑅))))
3819, 34, 373eqtr4d 2781 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑄𝐴𝑅𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 (𝑄 𝑅))) = ((𝑀𝑋) + (𝑀‘(𝑄 𝑅))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3948  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  joincjn 18274  Latclat 18394  Atomscatm 38599  HLchlt 38686  pmapcpmap 38834  +𝑃cpadd 39132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38512  df-ol 38514  df-oml 38515  df-covers 38602  df-ats 38603  df-atl 38634  df-cvlat 38658  df-hlat 38687  df-pmap 38841  df-padd 39133
This theorem is referenced by:  llnmod1i2  39197
  Copyright terms: Public domain W3C validator