Theorem pmapjlln1 39838

Description: The projective map of the join of a lattice element and a lattice line (expressed as the join 𝑄 ∨ 𝑅 of two atoms). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjlln1	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅))))

Proof of Theorem pmapjlln1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		pmapjat.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		pmapjat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmapjat.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5	2, 3, 4	pmapssat 39742	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
6	5	3ad2antr1 1187	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
7		simpr2 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
8	2, 3	atbase 39271	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
9	7, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
10	2, 3, 4	pmapssat 39742	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
12		simpr3 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
13	2, 3	atbase 39271	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵)
14	12, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑅 ∈ 𝐵)
15	2, 3, 4	pmapssat 39742	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑅) ⊆ 𝐴)
16	14, 15	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘𝑅) ⊆ 𝐴)
17		pmapjat.p	. . . 4 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
18	3, 17	paddass 39821	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑅) ⊆ 𝐴)) → (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)) = ((𝑀‘𝑋) + ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅))))
19	1, 6, 11, 16, 18	syl13anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)) = ((𝑀‘𝑋) + ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅))))
20		hllat 39345	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
21	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
22		simpr1 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
23		pmapjat.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
24	2, 23	latjcl 18497	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
25	21, 22, 9, 24	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
26	2, 23, 3, 4, 17	pmapjat1 39836	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑀‘((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
27	1, 25, 12, 26	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
28	2, 23	latjass 18541	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
29	21, 22, 9, 14, 28	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅)))
30	29	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘((𝑋 ∨ 𝑄) ∨ 𝑅)) = (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))))
31	2, 23, 3, 4, 17	pmapjat1 39836	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
32	31	3adant3r3 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
33	32	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) + (𝑀‘𝑅)) = (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
34	27, 30, 33	3eqtr3d 2783	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))) = (((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)) + (𝑀‘𝑅)))
35	2, 23, 3, 4, 17	pmapjat1 39836	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅)))
36	1, 9, 12, 35	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅)) = ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅)))
37	36	oveq2d 7447	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅))) = ((𝑀‘𝑋) + ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑅))))
38	19, 34, 37	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → (𝑀‘(𝑋 ∨ (𝑄 ∨ 𝑅))) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑅))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  joincjn 18369  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480  +_𝑃cpadd 39778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-pmap 39487  df-padd 39779

This theorem is referenced by:  llnmod1i2  39843