Theorem pmapsubclN 39730

Description: A projective map value is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapsubcl.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapsubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapsubclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem pmapsubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		pmapsubcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4	1, 2, 3	pmapssat 39543	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 3, 5	2polpmapN 39697	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))
7		pmapsubcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
8	2, 5, 7	ispsubclN 39721	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))))
9	8	adantr 479	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))))
10	4, 6, 9	mpbir2and 711	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ⊆ wss 3958  ‘cfv 6556  Basecbs 17226  Atomscatm 39046  HLchlt 39133  pmapcpmap 39281  ⊥_𝑃cpolN 39686  PSubClcpscN 39718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5291  ax-sep 5305  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3788  df-csb 3904  df-dif 3961  df-un 3963  df-in 3965  df-ss 3975  df-nul 4334  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4917  df-iun 5006  df-iin 5007  df-br 5155  df-opab 5217  df-mpt 5238  df-id 5582  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7383  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-proset 18333  df-poset 18351  df-plt 18368  df-lub 18384  df-glb 18385  df-join 18386  df-meet 18387  df-p0 18463  df-p1 18464  df-lat 18470  df-clat 18537  df-oposet 38959  df-ol 38961  df-oml 38962  df-covers 39049  df-ats 39050  df-atl 39081  df-cvlat 39105  df-hlat 39134  df-pmap 39288  df-polarityN 39687  df-psubclN 39719

This theorem is referenced by:  psubclinN  39732  paddatclN  39733  linepsubclN  39735  polsubclN  39736  pmapojoinN  39752