Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapsubclN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapsubclN 36949
Description: A projective map value is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapsubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapsubcl.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapsubcl.c 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapsubclN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem pmapsubclN
StepHypRef Expression
1 pmapsubcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2825 . . 3 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3 pmapsubcl.m . . 3 𝑀 = (pmap‘𝐾)
41, 2, 3pmapssat 36762 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
5 eqid 2825 . . 3 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
61, 3, 52polpmapN 36916 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑋))) = (𝑀𝑋))
7 pmapsubcl.c . . . 4 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
82, 5, 7ispsubclN 36940 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ((𝑀𝑋) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑋))) = (𝑀𝑋))))
98adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑀𝑋) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑀𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘(𝑀𝑋))) = (𝑀𝑋))))
104, 6, 9mpbir2and 709 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ∈ 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wss 3939  cfv 6351  Basecbs 16475  Atomscatm 36266  HLchlt 36353  pmapcpmap 36500  𝑃cpolN 36905  PSubClcpscN 36937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-riotaBAD 35956
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-undef 7933  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36179  df-ol 36181  df-oml 36182  df-covers 36269  df-ats 36270  df-atl 36301  df-cvlat 36325  df-hlat 36354  df-pmap 36507  df-polarityN 36906  df-psubclN 36938
This theorem is referenced by:  psubclinN  36951  paddatclN  36952  linepsubclN  36954  polsubclN  36955  pmapojoinN  36971
  Copyright terms: Public domain W3C validator