Theorem pmapsubclN 39945

Description: A projective map value is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapsubcl.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapsubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapsubclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem pmapsubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		pmapsubcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4	1, 2, 3	pmapssat 39758	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 3, 5	2polpmapN 39912	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))
7		pmapsubcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
8	2, 5, 7	ispsubclN 39936	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))))
10	4, 6, 9	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6486  Basecbs 17139  Atomscatm 39261  HLchlt 39348  pmapcpmap 39496  ⊥_𝑃cpolN 39901  PSubClcpscN 39933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-clat 18424  df-oposet 39174  df-ol 39176  df-oml 39177  df-covers 39264  df-ats 39265  df-atl 39296  df-cvlat 39320  df-hlat 39349  df-pmap 39503  df-polarityN 39902  df-psubclN 39934

This theorem is referenced by:  psubclinN  39947  paddatclN  39948  linepsubclN  39950  polsubclN  39951  pmapojoinN  39967