Theorem pmapsubclN 41003

Description: A projective map value is a closed projective subspace. (Contributed by NM, 24-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapsubcl.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapsubcl.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapsubclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶)

Proof of Theorem pmapsubclN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
3		pmapsubcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
4	1, 2, 3	pmapssat 40816	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾))
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
6	1, 3, 5	2polpmapN 40970	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))
7		pmapsubcl.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
8	2, 5, 7	ispsubclN 40994	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))))
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶 ↔ ((𝑀‘𝑋) ⊆ (Atoms‘𝐾) ∧ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘(𝑀‘𝑋))) = (𝑀‘𝑋))))
10	4, 6, 9	mpbir2and 726	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6538  Basecbs 17387  Atomscatm 40320  HLchlt 40407  pmapcpmap 40554  ⊥_𝑃cpolN 40959  PSubClcpscN 40991

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-pmap 40561  df-polarityN 40960  df-psubclN 40992

This theorem is used by:  psubclinN  41005  paddatclN  41006  linepsubclN  41008  polsubclN  41009  pmapojoinN  41025