Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapglb2xN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapglb2xN 38946
Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements. Index-set version of pmapglb2N 38945, where we read 𝑆 as 𝑆(𝑖). Extension of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62 that allows 𝐼 = βˆ…. (Contributed by NM, 21-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapglb2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapglb2.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
pmapglb2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pmapglb2.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapglb2xN ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑦,𝑖,𝐡   𝑖,𝐼,𝑦   𝑖,𝐾,𝑦   𝑦,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑆(𝑖)   𝐺(𝑦,𝑖)   𝑀(𝑦,𝑖)

Proof of Theorem pmapglb2xN
StepHypRef Expression
1 hlop 38535 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
2 pmapglb2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
3 eqid 2730 . . . . . . . 8 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
42, 3glb0N 38366 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = (1.β€˜πΎ))
54fveq2d 6894 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜βˆ…)) = (π‘€β€˜(1.β€˜πΎ)))
6 pmapglb2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 pmapglb2.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
83, 6, 7pmap1N 38941 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ (π‘€β€˜(1.β€˜πΎ)) = 𝐴)
95, 8eqtrd 2770 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜βˆ…)) = 𝐴)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜βˆ…)) = 𝐴)
11 rexeq 3319 . . . . . . . . 9 (𝐼 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆 ↔ βˆƒπ‘– ∈ βˆ… 𝑦 = 𝑆))
1211abbidv 2799 . . . . . . . 8 (𝐼 = βˆ… β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆} = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ βˆ… 𝑦 = 𝑆})
13 rex0 4356 . . . . . . . . 9 Β¬ βˆƒπ‘– ∈ βˆ… 𝑦 = 𝑆
1413abf 4401 . . . . . . . 8 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ βˆ… 𝑦 = 𝑆} = βˆ…
1512, 14eqtrdi 2786 . . . . . . 7 (𝐼 = βˆ… β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆} = βˆ…)
1615fveq2d 6894 . . . . . 6 (𝐼 = βˆ… β†’ (πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆}) = (πΊβ€˜βˆ…))
1716fveq2d 6894 . . . . 5 (𝐼 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (π‘€β€˜(πΊβ€˜βˆ…)))
18 riin0 5084 . . . . 5 (𝐼 = βˆ… β†’ (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)) = 𝐴)
1917, 18eqeq12d 2746 . . . 4 (𝐼 = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)) ↔ (π‘€β€˜(πΊβ€˜βˆ…)) = 𝐴))
2010, 19syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝐼 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))))
2120adantr 479 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))))
22 pmapglb2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2322, 2, 7pmapglbx 38943 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))
24 nfv 1915 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖 𝐾 ∈ HL
25 nfra1 3279 . . . . . . . . . 10 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡
2624, 25nfan 1900 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡)
27 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
28 simpll 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐾 ∈ HL)
29 rspa 3243 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
3029adantll 710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
3122, 6, 7pmapssat 38933 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
3228, 30, 31syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
3327, 32jca 510 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴))
3433ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)))
3526, 34eximd 2207 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘– 𝑖 ∈ 𝐼 β†’ βˆƒπ‘–(𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)))
36 n0 4345 . . . . . . . 8 (𝐼 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘– 𝑖 ∈ 𝐼)
37 df-rex 3069 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴 ↔ βˆƒπ‘–(𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴))
3835, 36, 373imtr4g 295 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴))
39383impia 1115 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
40 iinss 5058 . . . . . 6 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴 β†’ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
4139, 40syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
42 sseqin2 4214 . . . . 5 (∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))
4341, 42sylib 217 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))
4423, 43eqtr4d 2773 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)))
45443expia 1119 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 β‰  βˆ… β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))))
4621, 45pm2.61dne 3026 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  {cab 2707   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆ© ciin 4997  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  glbcglb 18267  1.cp1 18381  OPcops 38345  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  pmapcpmap 38671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-ats 38440  df-hlat 38524  df-pmap 38678
This theorem is referenced by:  polval2N  39080
  Copyright terms: Public domain W3C validator