Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapglb2xN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapglb2xN 38643
Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements. Index-set version of pmapglb2N 38642, where we read 𝑆 as 𝑆(𝑖). Extension of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62 that allows 𝐼 = βˆ…. (Contributed by NM, 21-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapglb2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapglb2.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
pmapglb2.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pmapglb2.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapglb2xN ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝑦,𝑖,𝐡   𝑖,𝐼,𝑦   𝑖,𝐾,𝑦   𝑦,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝑆(𝑖)   𝐺(𝑦,𝑖)   𝑀(𝑦,𝑖)

Proof of Theorem pmapglb2xN
StepHypRef Expression
1 hlop 38232 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
2 pmapglb2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
3 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
42, 3glb0N 38063 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP β†’ (πΊβ€˜βˆ…) = (1.β€˜πΎ))
54fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜βˆ…)) = (π‘€β€˜(1.β€˜πΎ)))
6 pmapglb2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
7 pmapglb2.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
83, 6, 7pmap1N 38638 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ (π‘€β€˜(1.β€˜πΎ)) = 𝐴)
95, 8eqtrd 2773 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜βˆ…)) = 𝐴)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜βˆ…)) = 𝐴)
11 rexeq 3322 . . . . . . . . 9 (𝐼 = βˆ… β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆 ↔ βˆƒπ‘– ∈ βˆ… 𝑦 = 𝑆))
1211abbidv 2802 . . . . . . . 8 (𝐼 = βˆ… β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆} = {𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ βˆ… 𝑦 = 𝑆})
13 rex0 4358 . . . . . . . . 9 Β¬ βˆƒπ‘– ∈ βˆ… 𝑦 = 𝑆
1413abf 4403 . . . . . . . 8 {𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ βˆ… 𝑦 = 𝑆} = βˆ…
1512, 14eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝐼 = βˆ… β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆} = βˆ…)
1615fveq2d 6896 . . . . . 6 (𝐼 = βˆ… β†’ (πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆}) = (πΊβ€˜βˆ…))
1716fveq2d 6896 . . . . 5 (𝐼 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (π‘€β€˜(πΊβ€˜βˆ…)))
18 riin0 5086 . . . . 5 (𝐼 = βˆ… β†’ (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)) = 𝐴)
1917, 18eqeq12d 2749 . . . 4 (𝐼 = βˆ… β†’ ((π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)) ↔ (π‘€β€˜(πΊβ€˜βˆ…)) = 𝐴))
2010, 19syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐾 ∈ HL β†’ (𝐼 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))))
2120adantr 482 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 = βˆ… β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))))
22 pmapglb2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2322, 2, 7pmapglbx 38640 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))
24 nfv 1918 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑖 𝐾 ∈ HL
25 nfra1 3282 . . . . . . . . . 10 β„²π‘–βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡
2624, 25nfan 1903 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑖(𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡)
27 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
28 simpll 766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝐾 ∈ HL)
29 rspa 3246 . . . . . . . . . . . . 13 ((βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
3029adantll 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ 𝑆 ∈ 𝐡)
3122, 6, 7pmapssat 38630 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
3228, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
3327, 32jca 513 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴))
3433ex 414 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 β†’ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)))
3526, 34eximd 2210 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘– 𝑖 ∈ 𝐼 β†’ βˆƒπ‘–(𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)))
36 n0 4347 . . . . . . . 8 (𝐼 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘– 𝑖 ∈ 𝐼)
37 df-rex 3072 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴 ↔ βˆƒπ‘–(𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴))
3835, 36, 373imtr4g 296 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 β‰  βˆ… β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴))
39383impia 1118 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
40 iinss 5060 . . . . . 6 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴 β†’ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
4139, 40syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴)
42 sseqin2 4216 . . . . 5 (∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†) βŠ† 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))
4341, 42sylib 217 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)) = ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))
4423, 43eqtr4d 2776 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡 ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)))
45443expia 1122 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 β‰  βˆ… β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†))))
4621, 45pm2.61dne 3029 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 𝑆 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜(πΊβ€˜{𝑦 ∣ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 𝑦 = 𝑆})) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑖 ∈ 𝐼 (π‘€β€˜π‘†)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆ© ciin 4999  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  glbcglb 18263  1.cp1 18377  OPcops 38042  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  pmapcpmap 38368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-ats 38137  df-hlat 38221  df-pmap 38375
This theorem is referenced by:  polval2N  38777
  Copyright terms: Public domain W3C validator