Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjat2 38320
Description: The projective map of the join of an atom with a lattice element. (Contributed by NM, 12-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapjat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pmapjat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pmapjat.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
pmapjat.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapjat2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝑄 ∨ 𝑋)) = ((π‘€β€˜π‘„) + (π‘€β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem pmapjat2
StepHypRef Expression
1 pmapjat.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 pmapjat.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 pmapjat.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 pmapjat.m . . 3 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
5 pmapjat.p . . 3 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5pmapjat1 38319 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)))
7 hllat 37828 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
873ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
91, 3atbase 37754 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
1093ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
11 simp2 1138 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
121, 2latjcom 18337 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑄 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 𝑄))
138, 10, 11, 12syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 𝑄))
1413fveq2d 6847 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝑄 ∨ 𝑋)) = (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)))
15 simp1 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
161, 3, 4pmapssat 38225 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴)
1715, 10, 16syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴)
181, 3, 4pmapssat 38225 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
19183adant3 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
203, 5paddcom 38279 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜π‘„) + (π‘€β€˜π‘‹)) = ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)))
218, 17, 19, 20syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜π‘„) + (π‘€β€˜π‘‹)) = ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)))
226, 14, 213eqtr4d 2787 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝑄 ∨ 𝑋)) = ((π‘€β€˜π‘„) + (π‘€β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  joincjn 18201  Latclat 18321  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  pmapcpmap 37963  +𝑃cpadd 38261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-pmap 37970  df-padd 38262
This theorem is referenced by:  atmod1i1  38323
  Copyright terms: Public domain W3C validator