Theorem pmapjat2 35924

Description: The projective map of the join of an atom with a lattice element. (Contributed by NM, 12-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjat2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑋)) = ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑋)))

Proof of Theorem pmapjat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapjat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pmapjat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		pmapjat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmapjat.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5		pmapjat.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmapjat1 35923	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
7		hllat 35433	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8	7	3ad2ant1 1167	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9	1, 3	atbase 35359	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
10	9	3ad2ant3 1169	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐵)
11		simp2 1171	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	1, 2	latjcom 17419	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑄 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 𝑄))
13	8, 10, 11, 12	syl3anc 1494	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 𝑄))
14	13	fveq2d 6441	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑋)) = (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
15		simp1 1170	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
16	1, 3, 4	pmapssat 35829	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
17	15, 10, 16	syl2anc 579	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
18	1, 3, 4	pmapssat 35829	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
19	18	3adant3 1166	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
20	3, 5	paddcom 35883	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑋)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
21	8, 17, 19, 20	syl3anc 1494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑋)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
22	6, 14, 21	3eqtr4d 2871	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑋)) = ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  Basecbs 16229  joincjn 17304  Latclat 17405  Atomscatm 35333  HLchlt 35420  pmapcpmap 35567  +_𝑃cpadd 35865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-lat 17406  df-clat 17468  df-oposet 35246  df-ol 35248  df-oml 35249  df-covers 35336  df-ats 35337  df-atl 35368  df-cvlat 35392  df-hlat 35421  df-pmap 35574  df-padd 35866

This theorem is referenced by:  atmod1i1  35927