Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjat2 39322
Description: The projective map of the join of an atom with a lattice element. (Contributed by NM, 12-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j = (join‘𝐾)
pmapjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapjat2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑋)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)))

Proof of Theorem pmapjat2
StepHypRef Expression
1 pmapjat.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 pmapjat.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 pmapjat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pmapjat.m . . 3 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5 pmapjat.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmapjat1 39321 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
7 hllat 38830 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
873ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
91, 3atbase 38756 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
1093ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄𝐵)
11 simp2 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑋𝐵)
121, 2latjcom 18433 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐵𝑋𝐵) → (𝑄 𝑋) = (𝑋 𝑄))
138, 10, 11, 12syl3anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑄 𝑋) = (𝑋 𝑄))
1413fveq2d 6896 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑋)) = (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
15 simp1 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
161, 3, 4pmapssat 39227 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
1715, 10, 16syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
181, 3, 4pmapssat 39227 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
19183adant3 1130 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
203, 5paddcom 39281 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴) → ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
218, 17, 19, 20syl3anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
226, 14, 213eqtr4d 2778 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑋)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3945  cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  joincjn 18297  Latclat 18417  Atomscatm 38730  HLchlt 38817  pmapcpmap 38965  +𝑃cpadd 39263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-proset 18281  df-poset 18299  df-plt 18316  df-lub 18332  df-glb 18333  df-join 18334  df-meet 18335  df-p0 18411  df-lat 18418  df-clat 18485  df-oposet 38643  df-ol 38645  df-oml 38646  df-covers 38733  df-ats 38734  df-atl 38765  df-cvlat 38789  df-hlat 38818  df-pmap 38972  df-padd 39264
This theorem is referenced by:  atmod1i1  39325
  Copyright terms: Public domain W3C validator