Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjat2 39836
Description: The projective map of the join of an atom with a lattice element. (Contributed by NM, 12-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j = (join‘𝐾)
pmapjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapjat2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑋)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)))

Proof of Theorem pmapjat2
StepHypRef Expression
1 pmapjat.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 pmapjat.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 pmapjat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pmapjat.m . . 3 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5 pmapjat.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmapjat1 39835 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
7 hllat 39344 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
873ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
91, 3atbase 39270 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
1093ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄𝐵)
11 simp2 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑋𝐵)
121, 2latjcom 18504 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐵𝑋𝐵) → (𝑄 𝑋) = (𝑋 𝑄))
138, 10, 11, 12syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑄 𝑋) = (𝑋 𝑄))
1413fveq2d 6910 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑋)) = (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
15 simp1 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
161, 3, 4pmapssat 39741 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
1715, 10, 16syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
181, 3, 4pmapssat 39741 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
19183adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
203, 5paddcom 39795 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴) → ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
218, 17, 19, 20syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
226, 14, 213eqtr4d 2784 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑋)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  joincjn 18368  Latclat 18488  Atomscatm 39244  HLchlt 39331  pmapcpmap 39479  +𝑃cpadd 39777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-pmap 39486  df-padd 39778
This theorem is referenced by:  atmod1i1  39839
  Copyright terms: Public domain W3C validator