Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjat2 37864
Description: The projective map of the join of an atom with a lattice element. (Contributed by NM, 12-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j = (join‘𝐾)
pmapjat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapjat2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑋)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)))

Proof of Theorem pmapjat2
StepHypRef Expression
1 pmapjat.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 pmapjat.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 pmapjat.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 pmapjat.m . . 3 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5 pmapjat.p . . 3 + = (+𝑃𝐾)
61, 2, 3, 4, 5pmapjat1 37863 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑋 𝑄)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
7 hllat 37373 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
873ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
91, 3atbase 37299 . . . . 5 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
1093ad2ant3 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑄𝐵)
11 simp2 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝑋𝐵)
121, 2latjcom 18163 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄𝐵𝑋𝐵) → (𝑄 𝑋) = (𝑋 𝑄))
138, 10, 11, 12syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑄 𝑋) = (𝑋 𝑄))
1413fveq2d 6775 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑋)) = (𝑀‘(𝑋 𝑄)))
15 simp1 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
161, 3, 4pmapssat 37769 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐵) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
1715, 10, 16syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴)
181, 3, 4pmapssat 37769 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
19183adant3 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴)
203, 5paddcom 37823 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀𝑋) ⊆ 𝐴) → ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
218, 17, 19, 20syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)) = ((𝑀𝑋) + (𝑀𝑄)))
226, 14, 213eqtr4d 2790 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑄𝐴) → (𝑀‘(𝑄 𝑋)) = ((𝑀𝑄) + (𝑀𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110  wss 3892  cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  joincjn 18027  Latclat 18147  Atomscatm 37273  HLchlt 37360  pmapcpmap 37507  +𝑃cpadd 37805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-lat 18148  df-clat 18215  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-covers 37276  df-ats 37277  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-pmap 37514  df-padd 37806
This theorem is referenced by:  atmod1i1  37867
  Copyright terms: Public domain W3C validator