Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapjat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapjat2 39367
Description: The projective map of the join of an atom with a lattice element. (Contributed by NM, 12-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapjat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
pmapjat.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
pmapjat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pmapjat.m 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
pmapjat.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pmapjat2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝑄 ∨ 𝑋)) = ((π‘€β€˜π‘„) + (π‘€β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem pmapjat2
StepHypRef Expression
1 pmapjat.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 pmapjat.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
3 pmapjat.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
4 pmapjat.m . . 3 𝑀 = (pmapβ€˜πΎ)
5 pmapjat.p . . 3 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
61, 2, 3, 4, 5pmapjat1 39366 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)))
7 hllat 38875 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
873ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
91, 3atbase 38801 . . . . 5 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
1093ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
11 simp2 1134 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
121, 2latjcom 18448 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑄 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 𝑄))
138, 10, 11, 12syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 𝑄))
1413fveq2d 6906 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝑄 ∨ 𝑋)) = (π‘€β€˜(𝑋 ∨ 𝑄)))
15 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
161, 3, 4pmapssat 39272 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴)
1715, 10, 16syl2anc 582 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴)
181, 3, 4pmapssat 39272 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
19183adant3 1129 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴)
203, 5paddcom 39326 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘€β€˜π‘„) βŠ† 𝐴 ∧ (π‘€β€˜π‘‹) βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜π‘„) + (π‘€β€˜π‘‹)) = ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)))
218, 17, 19, 20syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘€β€˜π‘„) + (π‘€β€˜π‘‹)) = ((π‘€β€˜π‘‹) + (π‘€β€˜π‘„)))
226, 14, 213eqtr4d 2778 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜(𝑄 ∨ 𝑋)) = ((π‘€β€˜π‘„) + (π‘€β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  joincjn 18312  Latclat 18432  Atomscatm 38775  HLchlt 38862  pmapcpmap 39010  +𝑃cpadd 39308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-lat 18433  df-clat 18500  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-pmap 39017  df-padd 39309
This theorem is referenced by:  atmod1i1  39370
  Copyright terms: Public domain W3C validator