Theorem pmapjat2 40648

Description: The projective map of the join of an atom with a lattice element. (Contributed by NM, 12-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapjat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapjat.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
pmapjat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapjat.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
pmapjat.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapjat2	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑋)) = ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑋)))

Proof of Theorem pmapjat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmapjat.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		pmapjat.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		pmapjat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		pmapjat.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
5		pmapjat.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
6	1, 2, 3, 4, 5	pmapjat1 40647	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
7		hllat 40157	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
8	7	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
9	1, 3	atbase 40083	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
10	9	3ad2ant3 1153	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄 ∈ 𝐵)
11		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝐵)
12	1, 2	latjcom 18498	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑄 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑄 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 𝑄))
13	8, 10, 11, 12	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑋) = (𝑋 ∨ 𝑄))
14	13	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑋)) = (𝑀‘(𝑋 ∨ 𝑄)))
15		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
16	1, 3, 4	pmapssat 40553	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
17	15, 10, 16	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴)
18	1, 3, 4	pmapssat 40553	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
19	18	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴)
20	3, 5	paddcom 40607	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑀‘𝑄) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑀‘𝑋) ⊆ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑋)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
21	8, 17, 19, 20	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑋)) = ((𝑀‘𝑋) + (𝑀‘𝑄)))
22	6, 14, 21	3eqtr4d 2808	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑀‘(𝑄 ∨ 𝑋)) = ((𝑀‘𝑄) + (𝑀‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  joincjn 18362  Latclat 18482  Atomscatm 40057  HLchlt 40144  pmapcpmap 40291  +_𝑃cpadd 40589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-proset 18345  df-poset 18364  df-plt 18379  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-lat 18483  df-clat 18550  df-oposet 39970  df-ol 39972  df-oml 39973  df-covers 40060  df-ats 40061  df-atl 40092  df-cvlat 40116  df-hlat 40145  df-pmap 40298  df-padd 40590

This theorem is referenced by:  atmod1i1  40651