Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapglb2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapglb2N 39754
Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements 𝑆. Variant of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. Allows 𝑆 = ∅. (Contributed by NM, 21-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapglb2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapglb2.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
pmapglb2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapglb2.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapglb2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem pmapglb2N
StepHypRef Expression
1 hlop 39344 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2 pmapglb2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (glb‘𝐾)
3 eqid 2735 . . . . . . . 8 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
42, 3glb0N 39175 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → (𝐺‘∅) = (1.‘𝐾))
54fveq2d 6911 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = (𝑀‘(1.‘𝐾)))
6 pmapglb2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 pmapglb2.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmap‘𝐾)
83, 6, 7pmap1N 39750 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(1.‘𝐾)) = 𝐴)
95, 8eqtrd 2775 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
11 2fveq3 6912 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝑀‘(𝐺‘∅)))
12 riin0 5087 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝐴)
1311, 12eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑆 = ∅ → ((𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴))
1410, 13syl5ibrcom 247 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
1514adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
16 pmapglb2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1716, 2, 7pmapglb 39753 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
18 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
19 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
20 ssel2 3990 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝐵𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
2120adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
2216, 6, 7pmapssat 39742 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
2418, 23jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
2524ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)))
2625eximdv 1915 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)))
27 n0 4359 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
28 df-rex 3069 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
2926, 27, 283imtr4g 296 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
30293impia 1116 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
31 iinss 5061 . . . . . 6 (∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
3230, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
33 sseqin2 4231 . . . . 5 ( 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
3432, 33sylib 218 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
3517, 34eqtr4d 2778 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
36353expia 1120 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
3715, 36pm2.61dne 3026 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  cin 3962  wss 3963  c0 4339   ciin 4997  cfv 6563  Basecbs 17245  glbcglb 18368  1.cp1 18482  OPcops 39154  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p1 18484  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-ats 39249  df-hlat 39333  df-pmap 39487
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator