Theorem pmapglb2N 39970

Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements 𝑆. Variant of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. Allows 𝑆 = ∅. (Contributed by NM, 21-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapglb2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapglb2.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
pmapglb2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapglb2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapglb2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem pmapglb2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 39561	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2		pmapglb2.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
3		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
4	2, 3	glb0N 39392	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐺‘∅) = (1.‘𝐾))
5	4	fveq2d 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = (𝑀‘(1.‘𝐾)))
6		pmapglb2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		pmapglb2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
8	3, 6, 7	pmap1N 39966	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(1.‘𝐾)) = 𝐴)
9	5, 8	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
11		2fveq3 6837	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝑀‘(𝐺‘∅)))
12		riin0 5035	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = 𝐴)
13	11, 12	eqeq12d 2750	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → ((𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴))
14	10, 13	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
15	14	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
16		pmapglb2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
17	16, 2, 7	pmapglb 39969	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
19		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
20		ssel2 3926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	20	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	16, 6, 7	pmapssat 39958	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
23	19, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
24	18, 23	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
25	24	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)))
26	25	eximdv 1918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)))
27		n0 4303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
28		df-rex 3059	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
29	26, 27, 28	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
30	29	3impia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
31		iinss 5010	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
33		sseqin2 4173	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
34	32, 33	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
35	17, 34	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))
36	35	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
37	15, 36	pm2.61dne 3016	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∃wrex 3058   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ∩ ciin 4945  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  glbcglb 18231  1.cp1 18343  OPcops 39371  Atomscatm 39462  HLchlt 39549  pmapcpmap 39696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-proset 18215  df-poset 18234  df-lub 18265  df-glb 18266  df-join 18267  df-meet 18268  df-p1 18345  df-lat 18353  df-clat 18420  df-oposet 39375  df-ol 39377  df-oml 39378  df-ats 39466  df-hlat 39550  df-pmap 39703

This theorem is referenced by: (None)