Theorem pmapglb2N 40469

Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements 𝑆. Variant of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. Allows 𝑆 = ∅. (Contributed by NM, 21-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapglb2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapglb2.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
pmapglb2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapglb2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapglb2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem pmapglb2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 40060	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2		pmapglb2.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
3		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
4	2, 3	glb0N 39891	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐺‘∅) = (1.‘𝐾))
5	4	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = (𝑀‘(1.‘𝐾)))
6		pmapglb2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		pmapglb2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
8	3, 6, 7	pmap1N 40465	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(1.‘𝐾)) = 𝐴)
9	5, 8	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
10	1, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
11		2fveq3 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝑀‘(𝐺‘∅)))
12		riin0 5052	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = 𝐴)
13	11, 12	eqeq12d 2785	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → ((𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴))
14	10, 13	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
15	14	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
16		pmapglb2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
17	16, 2, 7	pmapglb 40468	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
18		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
19		simpll 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
20		ssel2 3940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	20	adantll 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	16, 6, 7	pmapssat 40457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
23	19, 21, 22	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
24	18, 23	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
25	24	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)))
26	25	eximdv 1944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)))
27		n0 4315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
28		df-rex 3096	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
29	26, 27, 28	3imtr4g 299	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
30	29	3impia 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
31		iinss 5025	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
32	30, 31	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
33		sseqin2 4184	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
34	32, 33	sylib 221	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
35	17, 34	eqtr4d 2807	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))
36	35	3expia 1137	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
37	15, 36	pm2.61dne 3050	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ∃wex 1806   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  ∩ ciin 4961  ‘cfv 6537  Basecbs 17269  glbcglb 18366  1.cp1 18478  OPcops 39870  Atomscatm 39961  HLchlt 40048  pmapcpmap 40195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18350  df-poset 18369  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p1 18480  df-lat 18488  df-clat 18555  df-oposet 39874  df-ol 39876  df-oml 39877  df-ats 39965  df-hlat 40049  df-pmap 40202

This theorem is referenced by: (None)