Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapglb2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapglb2N 39773
Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements 𝑆. Variant of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. Allows 𝑆 = ∅. (Contributed by NM, 21-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapglb2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapglb2.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
pmapglb2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapglb2.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapglb2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem pmapglb2N
StepHypRef Expression
1 hlop 39363 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2 pmapglb2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (glb‘𝐾)
3 eqid 2737 . . . . . . . 8 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
42, 3glb0N 39194 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → (𝐺‘∅) = (1.‘𝐾))
54fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = (𝑀‘(1.‘𝐾)))
6 pmapglb2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 pmapglb2.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmap‘𝐾)
83, 6, 7pmap1N 39769 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(1.‘𝐾)) = 𝐴)
95, 8eqtrd 2777 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
11 2fveq3 6911 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝑀‘(𝐺‘∅)))
12 riin0 5082 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝐴)
1311, 12eqeq12d 2753 . . . 4 (𝑆 = ∅ → ((𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴))
1410, 13syl5ibrcom 247 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
1514adantr 480 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
16 pmapglb2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1716, 2, 7pmapglb 39772 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
18 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
19 simpll 767 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
20 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝐵𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
2120adantll 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
2216, 6, 7pmapssat 39761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
2418, 23jca 511 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
2524ex 412 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)))
2625eximdv 1917 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)))
27 n0 4353 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
28 df-rex 3071 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
2926, 27, 283imtr4g 296 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
30293impia 1118 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
31 iinss 5056 . . . . . 6 (∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
3230, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
33 sseqin2 4223 . . . . 5 ( 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
3432, 33sylib 218 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
3517, 34eqtr4d 2780 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
36353expia 1122 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
3715, 36pm2.61dne 3028 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  c0 4333   ciin 4992  cfv 6561  Basecbs 17247  glbcglb 18356  1.cp1 18469  OPcops 39173  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  pmapcpmap 39499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-ats 39268  df-hlat 39352  df-pmap 39506
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator