Theorem pmapglb2N 39765

Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements 𝑆. Variant of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. Allows 𝑆 = ∅. (Contributed by NM, 21-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapglb2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapglb2.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
pmapglb2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapglb2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapglb2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem pmapglb2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 39355	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2		pmapglb2.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
3		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
4	2, 3	glb0N 39186	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐺‘∅) = (1.‘𝐾))
5	4	fveq2d 6862	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = (𝑀‘(1.‘𝐾)))
6		pmapglb2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		pmapglb2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
8	3, 6, 7	pmap1N 39761	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(1.‘𝐾)) = 𝐴)
9	5, 8	eqtrd 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
11		2fveq3 6863	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝑀‘(𝐺‘∅)))
12		riin0 5046	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = 𝐴)
13	11, 12	eqeq12d 2745	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → ((𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴))
14	10, 13	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
15	14	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
16		pmapglb2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
17	16, 2, 7	pmapglb 39764	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
18		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
19		simpll 766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
20		ssel2 3941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	20	adantll 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	16, 6, 7	pmapssat 39753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
23	19, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
24	18, 23	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
25	24	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)))
26	25	eximdv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)))
27		n0 4316	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
28		df-rex 3054	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
29	26, 27, 28	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
30	29	3impia 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
31		iinss 5020	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
33		sseqin2 4186	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
34	32, 33	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
35	17, 34	eqtr4d 2767	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))
36	35	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
37	15, 36	pm2.61dne 3011	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ∩ ciin 4956  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  glbcglb 18271  1.cp1 18383  OPcops 39165  Atomscatm 39256  HLchlt 39343  pmapcpmap 39491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p1 18385  df-lat 18391  df-clat 18458  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-ats 39260  df-hlat 39344  df-pmap 39498

This theorem is referenced by: (None)