Theorem pmapglb2N 37781

Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements 𝑆. Variant of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. Allows 𝑆 = ∅. (Contributed by NM, 21-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapglb2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapglb2.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
pmapglb2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapglb2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapglb2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem pmapglb2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 37372	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2		pmapglb2.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
3		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
4	2, 3	glb0N 37203	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐺‘∅) = (1.‘𝐾))
5	4	fveq2d 6775	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = (𝑀‘(1.‘𝐾)))
6		pmapglb2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		pmapglb2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
8	3, 6, 7	pmap1N 37777	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(1.‘𝐾)) = 𝐴)
9	5, 8	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
11		2fveq3 6776	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝑀‘(𝐺‘∅)))
12		riin0 5016	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = 𝐴)
13	11, 12	eqeq12d 2756	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → ((𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴))
14	10, 13	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
15	14	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
16		pmapglb2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
17	16, 2, 7	pmapglb 37780	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
18		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
19		simpll 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
20		ssel2 3921	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	20	adantll 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	16, 6, 7	pmapssat 37769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
23	19, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
24	18, 23	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
25	24	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)))
26	25	eximdv 1924	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)))
27		n0 4286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
28		df-rex 3072	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
29	26, 27, 28	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
30	29	3impia 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
31		iinss 4991	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
33		sseqin2 4155	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
34	32, 33	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
35	17, 34	eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))
36	35	3expia 1120	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
37	15, 36	pm2.61dne 3033	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  ∃wrex 3067   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  ∩ ciin 4931  ‘cfv 6432  Basecbs 16910  glbcglb 18026  1.cp1 18140  OPcops 37182  Atomscatm 37273  HLchlt 37360  pmapcpmap 37507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-proset 18011  df-poset 18029  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-ats 37277  df-hlat 37361  df-pmap 37514

This theorem is referenced by: (None)