Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmapglb2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmapglb2N 38234
Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements 𝑆. Variant of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. Allows 𝑆 = ∅. (Contributed by NM, 21-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmapglb2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapglb2.g 𝐺 = (glb‘𝐾)
pmapglb2.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapglb2.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmapglb2N ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem pmapglb2N
StepHypRef Expression
1 hlop 37824 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2 pmapglb2.g . . . . . . . 8 𝐺 = (glb‘𝐾)
3 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
42, 3glb0N 37655 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ OP → (𝐺‘∅) = (1.‘𝐾))
54fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = (𝑀‘(1.‘𝐾)))
6 pmapglb2.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7 pmapglb2.m . . . . . . 7 𝑀 = (pmap‘𝐾)
83, 6, 7pmap1N 38230 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(1.‘𝐾)) = 𝐴)
95, 8eqtrd 2776 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
101, 9syl 17 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
11 2fveq3 6847 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝑀‘(𝐺‘∅)))
12 riin0 5042 . . . . 5 (𝑆 = ∅ → (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝐴)
1311, 12eqeq12d 2752 . . . 4 (𝑆 = ∅ → ((𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴))
1410, 13syl5ibrcom 246 . . 3 (𝐾 ∈ HL → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
1514adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
16 pmapglb2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
1716, 2, 7pmapglb 38233 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑆)
19 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
20 ssel2 3939 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆𝐵𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
2120adantll 712 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝐵)
2216, 6, 7pmapssat 38222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥𝐵) → (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
2319, 21, 22syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
2418, 23jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
2524ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑥𝑆 → (𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)))
2625eximdv 1920 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (∃𝑥 𝑥𝑆 → ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)))
27 n0 4306 . . . . . . . 8 (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝑆)
28 df-rex 3074 . . . . . . . 8 (∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥𝑆 ∧ (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
2926, 27, 283imtr4g 295 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴))
30293impia 1117 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
31 iinss 5016 . . . . . 6 (∃𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
3230, 31syl 17 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴)
33 sseqin2 4175 . . . . 5 ( 𝑥𝑆 (𝑀𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
3432, 33sylib 217 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)) = 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))
3517, 34eqtr4d 2779 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
36353expia 1121 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥))))
3715, 36pm2.61dne 3031 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐵) → (𝑀‘(𝐺𝑆)) = (𝐴 𝑥𝑆 (𝑀𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  cin 3909  wss 3910  c0 4282   ciin 4955  cfv 6496  Basecbs 17083  glbcglb 18199  1.cp1 18313  OPcops 37634  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  pmapcpmap 37960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-ats 37729  df-hlat 37813  df-pmap 37967
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator