Theorem pmapglb2N 37785

Description: The projective map of the GLB of a set of lattice elements 𝑆. Variant of Theorem 15.5.2 of [MaedaMaeda] p. 62. Allows 𝑆 = ∅. (Contributed by NM, 21-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmapglb2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
pmapglb2.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
pmapglb2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmapglb2.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmapglb2N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem pmapglb2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlop 37376	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
2		pmapglb2.g	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
3		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
4	2, 3	glb0N 37207	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝐺‘∅) = (1.‘𝐾))
5	4	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = (𝑀‘(1.‘𝐾)))
6		pmapglb2.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7		pmapglb2.m	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
8	3, 6, 7	pmap1N 37781	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(1.‘𝐾)) = 𝐴)
9	5, 8	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴)
11		2fveq3 6779	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝑀‘(𝐺‘∅)))
12		riin0 5011	. . . . 5 ⊢ (𝑆 = ∅ → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = 𝐴)
13	11, 12	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ∅ → ((𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) ↔ (𝑀‘(𝐺‘∅)) = 𝐴))
14	10, 13	syl5ibrcom 246	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
15	14	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 = ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
16		pmapglb2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
17	16, 2, 7	pmapglb 37784	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
18		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑆)
19		simpll 764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ HL)
20		ssel2 3916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
21	20	adantll 711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝐵)
22	16, 6, 7	pmapssat 37773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
23	19, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
24	18, 23	jca 512	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
25	24	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝑆 → (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)))
26	25	eximdv 1920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆 → ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)))
27		n0 4280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝑆)
28		df-rex 3070	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ ∃𝑥(𝑥 ∈ 𝑆 ∧ (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
29	26, 27, 28	3imtr4g 296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → ∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴))
30	29	3impia 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
31		iinss 4986	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
32	30, 31	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴)
33		sseqin2 4149	. . . . 5 ⊢ (∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥) ⊆ 𝐴 ↔ (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
34	32, 33	sylib 217	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)) = ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))
35	17, 34	eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑆 ≠ ∅) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))
36	35	3expia 1120	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ≠ ∅ → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥))))
37	15, 36	pm2.61dne 3031	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑀‘(𝐺‘𝑆)) = (𝐴 ∩ ∩ 𝑥 ∈ 𝑆 (𝑀‘𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∃wrex 3065   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ∩ ciin 4925  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  glbcglb 18028  1.cp1 18142  OPcops 37186  Atomscatm 37277  HLchlt 37364  pmapcpmap 37511

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-proset 18013  df-poset 18031  df-lub 18064  df-glb 18065  df-join 18066  df-meet 18067  df-p1 18144  df-lat 18150  df-clat 18217  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-ats 37281  df-hlat 37365  df-pmap 37518

This theorem is referenced by: (None)