Theorem pwinfi2 43552

Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. Here 𝑈 is a weak universe. (Contributed by RP, 21-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwinfi2	⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin)))

Proof of Theorem pwinfi2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iswun 10726	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
2	1	ibi 267	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)))
3		3simpa 1148	. . . 4 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈) → (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈))
4	3	ralimi 3072	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈))
5	4	3ad2ant3 1135	. 2 ⊢ ((Tr 𝑈 ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)) → ∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈))
6		pwinfig 43551	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑈 (∪ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑈) → (𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin)))
7	2, 5, 6	3syl 18	1 ⊢ (𝑈 ∈ WUni → (𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050   ∖ cdif 3928  ∅c0 4313  𝒫 cpw 4580  {cpr 4608  ∪ cuni 4887  Tr wtr 5239  Fincfn 8967  WUnicwun 10722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-om 7870  df-1o 8488  df-en 8968  df-dom 8969  df-fin 8971  df-wun 10724

This theorem is referenced by: (None)