Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwinfi2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwinfi2 43551
Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. Here 𝑈 is a weak universe. (Contributed by RP, 21-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
pwinfi2 (𝑈 ∈ WUni → (𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin)))

Proof of Theorem pwinfi2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswun 10741 . . 3 (𝑈 ∈ WUni → (𝑈 ∈ WUni ↔ (Tr 𝑈𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈))))
21ibi 267 . 2 (𝑈 ∈ WUni → (Tr 𝑈𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)))
3 3simpa 1147 . . . 4 (( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈) → ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈))
43ralimi 3080 . . 3 (∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈) → ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈))
543ad2ant3 1134 . 2 ((Tr 𝑈𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑈 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝑈)) → ∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈))
6 pwinfig 43550 . 2 (∀𝑥𝑈 ( 𝑥𝑈 ∧ 𝒫 𝑥𝑈) → (𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin)))
72, 5, 63syl 18 1 (𝑈 ∈ WUni → (𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑈 ∖ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  cdif 3959  c0 4338  𝒫 cpw 4604  {cpr 4632   cuni 4911  Tr wtr 5264  Fincfn 8983  WUnicwun 10737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-en 8984  df-dom 8985  df-fin 8987  df-wun 10739
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator