Theorem pwinfi3 41059

Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. Here 𝑇 is a transitive Tarski universe. (Contributed by RP, 21-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwinfi3	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))

Proof of Theorem pwinfi3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tskuni 10470	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑇)
2	1	3expia 1119	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑇))
3		tskpw 10440	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
6	2, 5	jcad 512	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)))
7	6	ralrimiv 3106	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
8		pwinfig 41057	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑇 (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))
9	7, 8	syl 17	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063   ∖ cdif 3880  𝒫 cpw 4530  ∪ cuni 4836  Tr wtr 5187  Fincfn 8691  Tarskictsk 10435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-ac2 10150

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-smo 8148  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-har 9246  df-r1 9453  df-card 9628  df-aleph 9629  df-cf 9630  df-acn 9631  df-ac 9803  df-wina 10371  df-ina 10372  df-tsk 10436

This theorem is referenced by: (None)