Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwinfi3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwinfi3 43024
Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. Here 𝑇 is a transitive Tarski universe. (Contributed by RP, 21-Mar-2020.)
Assertion
Ref Expression
pwinfi3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))

Proof of Theorem pwinfi3
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tskuni 10814 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇𝑥𝑇) → 𝑥𝑇)
213expia 1118 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥𝑇 𝑥𝑇))
3 tskpw 10784 . . . . . 6 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥𝑇) → 𝒫 𝑥𝑇)
43ex 411 . . . . 5 (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥𝑇 → 𝒫 𝑥𝑇))
54adantr 479 . . . 4 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥𝑇 → 𝒫 𝑥𝑇))
62, 5jcad 511 . . 3 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥𝑇 → ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇)))
76ralrimiv 3142 . 2 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → ∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇))
8 pwinfig 43022 . 2 (∀𝑥𝑇 ( 𝑥𝑇 ∧ 𝒫 𝑥𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))
97, 8syl 17 1 ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wcel 2098  wral 3058  cdif 3946  𝒫 cpw 4606   cuni 4912  Tr wtr 5269  Fincfn 8970  Tarskictsk 10779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-ac2 10494
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-smo 8373  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-oi 9541  df-har 9588  df-r1 9795  df-card 9970  df-aleph 9971  df-cf 9972  df-acn 9973  df-ac 10147  df-wina 10715  df-ina 10716  df-tsk 10780
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator