Theorem pwinfi3 42872

Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. Here 𝑇 is a transitive Tarski universe. (Contributed by RP, 21-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwinfi3	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))

Proof of Theorem pwinfi3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tskuni 10777	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑇)
2	1	3expia 1118	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑇))
3		tskpw 10747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
6	2, 5	jcad 512	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)))
7	6	ralrimiv 3139	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
8		pwinfig 42870	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑇 (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))
9	7, 8	syl 17	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   ∖ cdif 3940  𝒫 cpw 4597  ∪ cuni 4902  Tr wtr 5258  Fincfn 8938  Tarskictsk 10742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-smo 8344  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-oi 9504  df-har 9551  df-r1 9758  df-card 9933  df-aleph 9934  df-cf 9935  df-acn 9936  df-ac 10110  df-wina 10678  df-ina 10679  df-tsk 10743

This theorem is referenced by: (None)