Theorem pwinfi3 43525

Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. Here 𝑇 is a transitive Tarski universe. (Contributed by RP, 21-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwinfi3	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))

Proof of Theorem pwinfi3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tskuni 10712	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑇)
2	1	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑇))
3		tskpw 10682	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
6	2, 5	jcad 512	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)))
7	6	ralrimiv 3124	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
8		pwinfig 43523	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑇 (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))
9	7, 8	syl 17	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∖ cdif 3908  𝒫 cpw 4559  ∪ cuni 4867  Tr wtr 5209  Fincfn 8895  Tarskictsk 10677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-ac2 10392

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-smo 8292  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-oi 9439  df-har 9486  df-r1 9693  df-card 9868  df-aleph 9869  df-cf 9870  df-acn 9871  df-ac 10045  df-wina 10613  df-ina 10614  df-tsk 10678

This theorem is referenced by: (None)