Theorem pwinfi3 44008

Description: The powerclass of an infinite set is an infinite set, and vice-versa. Here 𝑇 is a transitive Tarski universe. (Contributed by RP, 21-Mar-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwinfi3	⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))

Proof of Theorem pwinfi3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tskuni 10697	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ 𝑥 ∈ 𝑇)
2	1	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → ∪ 𝑥 ∈ 𝑇))
3		tskpw 10667	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)
4	3	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑇 ∈ Tarski → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
6	2, 5	jcad 512	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝑥 ∈ 𝑇 → (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇)))
7	6	ralrimiv 3129	. 2 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇))
8		pwinfig 44006	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑇 (∪ 𝑥 ∈ 𝑇 ∧ 𝒫 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))
9	7, 8	syl 17	1 ⊢ ((𝑇 ∈ Tarski ∧ Tr 𝑇) → (𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin) ↔ 𝒫 𝐴 ∈ (𝑇 ∖ Fin)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052   ∖ cdif 3887  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851  Tr wtr 5193  Fincfn 8886  Tarskictsk 10662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-ac2 10376

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-smo 8279  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-oi 9418  df-har 9465  df-r1 9679  df-card 9854  df-aleph 9855  df-cf 9856  df-acn 9857  df-ac 10029  df-wina 10598  df-ina 10599  df-tsk 10663

This theorem is referenced by: (None)