MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwssfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssfi 9218
Description: Every element of the power set of 𝐴 is finite if and only if 𝐴 is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
pwssfi (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

Proof of Theorem pwssfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 4606 . . . . 5 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
2 ssfi 9214 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
31, 2sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
43ralrimiva 3145 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
5 dfss3 3971 . . 3 (𝒫 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
64, 5sylibr 234 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
7 pwidg 4619 . . . 4 (𝐴𝑉𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
85biimpi 216 . . . 4 (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
9 eleq1 2828 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
109rspcva 3619 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
117, 8, 10syl2an 596 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1211ex 412 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
136, 12impbid2 226 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wcel 2107  wral 3060  wss 3950  𝒫 cpw 4599  Fincfn 8986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-om 7889  df-1o 8507  df-en 8987  df-fin 8990
This theorem is referenced by:  exsslsb  33648
  Copyright terms: Public domain W3C validator