Theorem pwssfi 9174

Description: Every element of the power set of 𝐴 is finite if and only if 𝐴 is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwssfi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

Proof of Theorem pwssfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4564	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
2		ssfi 9170	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3	1, 2	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
4	3	ralrimiva 3154	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
5		dfss3 3920	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
6	4, 5	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
7		pwidg 4577	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
8	5	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
9		eleq1 2848	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
10	9	rspcva 3574	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
11	7, 8, 10	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
12	11	ex 418	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
13	6, 12	impbid2 229	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4557  Fincfn 8955

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398  ax-un 7737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-om 7864  df-1o 8458  df-en 8956  df-fin 8959

This theorem is used by:  exsslsb  34110