Theorem pwssfi 9081

Description: Every element of the power set of 𝐴 is finite if and only if 𝐴 is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwssfi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

Proof of Theorem pwssfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4552	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
2		ssfi 9077	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
3	1, 2	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
4	3	ralrimiva 3124	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
5		dfss3 3918	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
6	4, 5	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
7		pwidg 4565	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
8	5	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
9		eleq1 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
10	9	rspcva 3570	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
11	7, 8, 10	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
12	11	ex 412	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
13	6, 12	impbid2 226	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4545  Fincfn 8864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-om 7792  df-1o 8380  df-en 8865  df-fin 8868

This theorem is referenced by:  exsslsb  33601