Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwssfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssfi 44985
Description: Every element of the power set of 𝐴 is finite if and only if 𝐴 is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
pwssfi (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

Proof of Theorem pwssfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
2 elpwi 4612 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
32adantl 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥𝐴)
4 ssfi 9212 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
51, 3, 4syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
65ralrimiva 3144 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
7 dfss3 3984 . . . 4 (𝒫 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
86, 7sylibr 234 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
98a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))
10 pwidg 4625 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
1110adantr 480 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
127biimpi 216 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
1312adantl 481 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
14 eleq1 2827 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
1514rspcva 3620 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1611, 13, 15syl2anc 584 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1716ex 412 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
189, 17impbid 212 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wral 3059  wss 3963  𝒫 cpw 4605  Fincfn 8984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-en 8985  df-fin 8988
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator