Theorem pwssfi 42266

Description: Every element of the power set of 𝐴 is finite if and only if 𝐴 is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwssfi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

Proof of Theorem pwssfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
2		elpwi 4522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
3	2	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
4		ssfi 8851	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
5	1, 3, 4	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
6	5	ralrimiva 3105	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
7		dfss3 3888	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
8	6, 7	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))
10		pwidg 4535	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
11	10	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
12	7	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
13	12	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
14		eleq1 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
15	14	rspcva 3535	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
16	11, 13, 15	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
17	16	ex 416	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
18	9, 17	impbid 215	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061   ⊆ wss 3866  𝒫 cpw 4513  Fincfn 8626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-om 7645  df-1o 8202  df-en 8627  df-fin 8630

This theorem is referenced by: (None)