Theorem pwssfi 40867

Description: Every element of the power set of 𝐴 is finite if and only if 𝐴 is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pwssfi	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

Proof of Theorem pwssfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
2		elpwi 4469	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝑥 ⊆ 𝐴)
3	2	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐴)
4		ssfi 8591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
5	1, 3, 4	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
6	5	ralrimiva 3151	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
7		dfss3 3884	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
8	6, 7	sylibr 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))
10		pwidg 4474	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
11	10	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
12	7	biimpi 217	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
13	12	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
14		eleq1 2872	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
15	14	rspcva 3559	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
16	11, 13, 15	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
17	16	ex 413	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
18	9, 17	impbid 213	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2083  ∀wral 3107   ⊆ wss 3865  𝒫 cpw 4459  Fincfn 8364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-br 4969  df-opab 5031  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-om 7444  df-er 8146  df-en 8365  df-fin 8368

This theorem is referenced by: (None)