Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pwssfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwssfi 43234
Description: Every element of the power set of 𝐴 is finite if and only if 𝐴 is finite. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
pwssfi (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))

Proof of Theorem pwssfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝐴 ∈ Fin)
2 elpwi 4567 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥𝐴)
32adantl 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥𝐴)
4 ssfi 9116 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
51, 3, 4syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ∈ Fin)
65ralrimiva 3143 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
7 dfss3 3932 . . . 4 (𝒫 𝐴 ⊆ Fin ↔ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
86, 7sylibr 233 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin)
98a1i 11 . 2 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin → 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))
10 pwidg 4580 . . . . 5 (𝐴𝑉𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
1110adantr 481 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝐴)
127biimpi 215 . . . . 5 (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
1312adantl 482 . . . 4 ((𝐴𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin)
14 eleq1 2825 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ Fin))
1514rspcva 3579 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝑥 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1611, 13, 15syl2anc 584 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin) → 𝐴 ∈ Fin)
1716ex 413 . 2 (𝐴𝑉 → (𝒫 𝐴 ⊆ Fin → 𝐴 ∈ Fin))
189, 17impbid 211 1 (𝐴𝑉 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝐴 ⊆ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wral 3064  wss 3910  𝒫 cpw 4560  Fincfn 8882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7671
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-om 7802  df-1o 8411  df-en 8883  df-fin 8886
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator