Theorem rabrexfi 32595

Description: Conditions for a class abstraction with a restricted existential quantification to be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabrexfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
rabrexfi.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
rabrexfi	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rabrexfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrab 4983	. 2 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓}
2		rabrexfi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
3		rabrexfi.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
4	3	ralrimiva 3131	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
5		iunfi 9244	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
6	2, 4, 5	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrrid 2844	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  ∪ ciun 4922  Fincfn 8884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7808  df-en 8885  df-fin 8888

This theorem is referenced by:  constrfin  33939