Theorem rabrexfi 32534

Description: Conditions for a class abstraction with a restricted existential quantification to be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabrexfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
rabrexfi.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
rabrexfi	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rabrexfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrab 5057	. 2 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓}
2		rabrexfi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
3		rabrexfi.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
4	3	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
5		iunfi 9381	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrrid 2844	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433  ∪ ciun 4996  Fincfn 8984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-en 8985  df-fin 8988

This theorem is referenced by:  constrfin  33751