Theorem rabrexfi 32525

Description: Conditions for a class abstraction with a restricted existential quantification to be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rabrexfi.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
rabrexfi.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
rabrexfi	⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓} ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rabrexfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunrab 5052	. 2 ⊢ ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} = {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓}
2		rabrexfi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Fin)
3		rabrexfi.2	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
4	3	ralrimiva 3146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
5		iunfi 9383	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin) → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
6	2, 4, 5	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ 𝜓} ∈ Fin)
7	1, 6	eqeltrrid 2846	1 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝜓} ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  ∪ ciun 4991  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989

This theorem is referenced by:  constrfin  33787