Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabrexfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabrexfi 32525
Description: Conditions for a class abstraction with a restricted existential quantification to be finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jul-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rabrexfi.1 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
rabrexfi.2 ((𝜑𝑦𝐵) → {𝑥𝐴𝜓} ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rabrexfi (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝜓} ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝜓(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem rabrexfi
StepHypRef Expression
1 iunrab 5052 . 2 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝜓} = {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝜓}
2 rabrexfi.1 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
3 rabrexfi.2 . . . 4 ((𝜑𝑦𝐵) → {𝑥𝐴𝜓} ∈ Fin)
43ralrimiva 3146 . . 3 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝜓} ∈ Fin)
5 iunfi 9383 . . 3 ((𝐵 ∈ Fin ∧ ∀𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝜓} ∈ Fin) → 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝜓} ∈ Fin)
62, 4, 5syl2anc 584 . 2 (𝜑 𝑦𝐵 {𝑥𝐴𝜓} ∈ Fin)
71, 6eqeltrrid 2846 1 (𝜑 → {𝑥𝐴 ∣ ∃𝑦𝐵 𝜓} ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436   ciun 4991  Fincfn 8985
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989
This theorem is referenced by:  constrfin  33787
  Copyright terms: Public domain W3C validator