Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabfodom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabfodom 31738
Description: Domination relation for restricted abstract class builders, based on a surjective function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rabfodom.1 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
rabfodom.2 (𝜑𝐴𝑉)
rabfodom.3 (𝜑𝐹:𝐴onto𝐵)
Assertion
Ref Expression
rabfodom (𝜑 → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem rabfodom
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3478 . . . . . 6 𝑎 ∈ V
21rabex 5332 . . . . 5 {𝑥𝑎𝜓} ∈ V
3 eqid 2732 . . . . . 6 (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥))
4 rabfodom.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴onto𝐵)
5 fof 6805 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76feqmptd 6960 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
87ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
98reseq1d 5980 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝐹𝑎) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝑎))
10 elpwi 4609 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
1110ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → 𝑎𝐴)
1211resmptd 6040 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)))
139, 12eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)))
14 f1oeq1 6821 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵 ↔ (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵))
1514biimpa 477 . . . . . . 7 (((𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵)
1613, 15sylancom 588 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵)
17 simp1ll 1236 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝜑)
18113ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑎𝐴)
19 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑥𝑎)
2018, 19sseldd 3983 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑥𝐴)
21 simp3 1138 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑦 = (𝐹𝑥))
22 rabfodom.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
2317, 20, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
243, 16, 23f1oresrab 7124 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → ((𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ {𝑥𝑎𝜓}):{𝑥𝑎𝜓}–1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒})
25 f1oeng 8966 . . . . 5 (({𝑥𝑎𝜓} ∈ V ∧ ((𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ {𝑥𝑎𝜓}):{𝑥𝑎𝜓}–1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒}) → {𝑥𝑎𝜓} ≈ {𝑦𝐵𝜒})
262, 24, 25sylancr 587 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ≈ {𝑦𝐵𝜒})
2726ensymd 9000 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑦𝐵𝜒} ≈ {𝑥𝑎𝜓})
28 rabfodom.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
29 rabexg 5331 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
3028, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
3130ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
32 rabss2 4075 . . . . 5 (𝑎𝐴 → {𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓})
3311, 32syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓})
34 ssdomg 8995 . . . 4 ({𝑥𝐴𝜓} ∈ V → ({𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓} → {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓}))
3531, 33, 34sylc 65 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
36 endomtr 9007 . . 3 (({𝑦𝐵𝜒} ≈ {𝑥𝑎𝜓} ∧ {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓}) → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
3727, 35, 36syl2anc 584 . 2 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
38 foresf1o 31737 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴onto𝐵) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵)
3928, 4, 38syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵)
4037, 39r19.29a 3162 1 (𝜑 → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  wss 3948  𝒫 cpw 4602   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cres 5678  wf 6539  ontowfo 6541  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  cen 8935  cdom 8936
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-reg 9586  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-r1 9758  df-rank 9759  df-card 9933  df-ac 10110
This theorem is referenced by:  locfinreflem  32815
  Copyright terms: Public domain W3C validator