Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabfodom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabfodom 32330
Description: Domination relation for restricted abstract class builders, based on a surjective function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rabfodom.1 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
rabfodom.2 (𝜑𝐴𝑉)
rabfodom.3 (𝜑𝐹:𝐴onto𝐵)
Assertion
Ref Expression
rabfodom (𝜑 → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem rabfodom
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3477 . . . . . 6 𝑎 ∈ V
21rabex 5338 . . . . 5 {𝑥𝑎𝜓} ∈ V
3 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥))
4 rabfodom.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴onto𝐵)
5 fof 6816 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76feqmptd 6972 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
87ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
98reseq1d 5988 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝐹𝑎) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝑎))
10 elpwi 4613 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
1110ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → 𝑎𝐴)
1211resmptd 6049 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)))
139, 12eqtrd 2768 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)))
14 f1oeq1 6832 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵 ↔ (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵))
1514biimpa 475 . . . . . . 7 (((𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵)
1613, 15sylancom 586 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵)
17 simp1ll 1233 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝜑)
18113ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑎𝐴)
19 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑥𝑎)
2018, 19sseldd 3983 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑥𝐴)
21 simp3 1135 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑦 = (𝐹𝑥))
22 rabfodom.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
2317, 20, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
243, 16, 23f1oresrab 7142 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → ((𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ {𝑥𝑎𝜓}):{𝑥𝑎𝜓}–1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒})
25 f1oeng 9000 . . . . 5 (({𝑥𝑎𝜓} ∈ V ∧ ((𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ {𝑥𝑎𝜓}):{𝑥𝑎𝜓}–1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒}) → {𝑥𝑎𝜓} ≈ {𝑦𝐵𝜒})
262, 24, 25sylancr 585 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ≈ {𝑦𝐵𝜒})
2726ensymd 9034 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑦𝐵𝜒} ≈ {𝑥𝑎𝜓})
28 rabfodom.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
29 rabexg 5337 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
3028, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
3130ad2antrr 724 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
32 rabss2 4075 . . . . 5 (𝑎𝐴 → {𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓})
3311, 32syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓})
34 ssdomg 9029 . . . 4 ({𝑥𝐴𝜓} ∈ V → ({𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓} → {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓}))
3531, 33, 34sylc 65 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
36 endomtr 9041 . . 3 (({𝑦𝐵𝜒} ≈ {𝑥𝑎𝜓} ∧ {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓}) → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
3727, 35, 36syl2anc 582 . 2 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
38 foresf1o 32329 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴onto𝐵) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵)
3928, 4, 38syl2anc 582 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵)
4037, 39r19.29a 3159 1 (𝜑 → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3067  {crab 3430  Vcvv 3473  wss 3949  𝒫 cpw 4606   class class class wbr 5152  cmpt 5235  cres 5684  wf 6549  ontowfo 6551  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  cen 8969  cdom 8970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-reg 9625  ax-inf2 9674  ax-ac2 10496
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-r1 9797  df-rank 9798  df-card 9972  df-ac 10149
This theorem is referenced by:  locfinreflem  33482
  Copyright terms: Public domain W3C validator