Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabfodom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rabfodom 32524
Description: Domination relation for restricted abstract class builders, based on a surjective function. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rabfodom.1 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
rabfodom.2 (𝜑𝐴𝑉)
rabfodom.3 (𝜑𝐹:𝐴onto𝐵)
Assertion
Ref Expression
rabfodom (𝜑 → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝜓,𝑦   𝜒,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑥)   𝜒(𝑦)

Proof of Theorem rabfodom
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3484 . . . . . 6 𝑎 ∈ V
21rabex 5339 . . . . 5 {𝑥𝑎𝜓} ∈ V
3 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥))
4 rabfodom.3 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴onto𝐵)
5 fof 6820 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝐴onto𝐵𝐹:𝐴𝐵)
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
76feqmptd 6977 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
87ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → 𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
98reseq1d 5996 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝐹𝑎) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝑎))
10 elpwi 4607 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ 𝒫 𝐴𝑎𝐴)
1110ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → 𝑎𝐴)
1211resmptd 6058 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ 𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)))
139, 12eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)))
14 f1oeq1 6836 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) → ((𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵 ↔ (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵))
1514biimpa 476 . . . . . . 7 (((𝐹𝑎) = (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵)
1613, 15sylancom 588 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → (𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)):𝑎1-1-onto𝐵)
17 simp1ll 1237 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝜑)
18113ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑎𝐴)
19 simp2 1138 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑥𝑎)
2018, 19sseldd 3984 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑥𝐴)
21 simp3 1139 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → 𝑦 = (𝐹𝑥))
22 rabfodom.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
2317, 20, 21, 22syl3anc 1373 . . . . . 6 ((((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) ∧ 𝑥𝑎𝑦 = (𝐹𝑥)) → (𝜒𝜓))
243, 16, 23f1oresrab 7147 . . . . 5 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → ((𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ {𝑥𝑎𝜓}):{𝑥𝑎𝜓}–1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒})
25 f1oeng 9011 . . . . 5 (({𝑥𝑎𝜓} ∈ V ∧ ((𝑥𝑎 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ {𝑥𝑎𝜓}):{𝑥𝑎𝜓}–1-1-onto→{𝑦𝐵𝜒}) → {𝑥𝑎𝜓} ≈ {𝑦𝐵𝜒})
262, 24, 25sylancr 587 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ≈ {𝑦𝐵𝜒})
2726ensymd 9045 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑦𝐵𝜒} ≈ {𝑥𝑎𝜓})
28 rabfodom.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
29 rabexg 5337 . . . . . 6 (𝐴𝑉 → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
3028, 29syl 17 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
3130ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝐴𝜓} ∈ V)
32 rabss2 4078 . . . . 5 (𝑎𝐴 → {𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓})
3311, 32syl 17 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓})
34 ssdomg 9040 . . . 4 ({𝑥𝐴𝜓} ∈ V → ({𝑥𝑎𝜓} ⊆ {𝑥𝐴𝜓} → {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓}))
3531, 33, 34sylc 65 . . 3 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
36 endomtr 9052 . . 3 (({𝑦𝐵𝜒} ≈ {𝑥𝑎𝜓} ∧ {𝑥𝑎𝜓} ≼ {𝑥𝐴𝜓}) → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
3727, 35, 36syl2anc 584 . 2 (((𝜑𝑎 ∈ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵) → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
38 foresf1o 32523 . . 3 ((𝐴𝑉𝐹:𝐴onto𝐵) → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵)
3928, 4, 38syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ 𝒫 𝐴(𝐹𝑎):𝑎1-1-onto𝐵)
4037, 39r19.29a 3162 1 (𝜑 → {𝑦𝐵𝜒} ≼ {𝑥𝐴𝜓})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  𝒫 cpw 4600   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cres 5687  wf 6557  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  cen 8982  cdom 8983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-r1 9804  df-rank 9805  df-card 9979  df-ac 10156
This theorem is referenced by:  locfinreflem  33839
  Copyright terms: Public domain W3C validator